平面幾何視角下解析幾何問題的簡解

湖北 李紅春

解析幾何是一門用代數(shù)方法研究幾何問題的學科，在高中階段具有重要的地位，高考中解析幾何試題有著較大的區(qū)分度，面對繁瑣的計算不少學生望而生畏，其實不少解析幾何問題如果能有效利用平面幾何性質，多一點想，就能少一點算，達到事半功倍的目的．

1.利用解三角形的知識

由三角形中已知邊和角求其余的邊和角的過程，稱為解三角形．解三角形通常需要包含一條邊在內的三個已知條件，求解過程中通常需要運用正弦定理和余弦定理．

余弦定理：在△ABC中，A,B,C所對的邊分別為a,b,c，則a2=b2+c2-2bc·cosA，b2=c2+a2-2ac·cosB，c2=a2+b2-2ab·cosC．

點評：從圖形直觀出發(fā)，借助橢圓定義，運用余弦定理和直角三角形邊角關系，回避了直線方程代入橢圓方程的繁瑣，簡潔至極．

穿孔問題在深水鉆孔樁施工過程中較為常見，其主要是指樁基鉆進工作進行中，鋼護筒內部泥漿以較快速度流失，孔內的水位高度出現(xiàn)了明顯的下降，嚴重情況下會下降到正常水面之下的現(xiàn)象。經(jīng)過對11#-1鉆孔樁出現(xiàn)穿孔問題的原因進行了認真地分析，主要是由于11#-1鉆孔樁鋼護筒在埋設工作中，存在著明顯的傾斜問題，鋼護筒底部的偏位情況較為明顯，護筒的半徑無法滿足實際需求。鉆孔工作過程中，鉆頭和鋼護筒的底腳部位摩擦較為明顯，導致鋼護筒埋設深度范圍內的砂層穩(wěn)定性減弱，進而導致穿孔問題的出現(xiàn)[1]。

2.利用三角形相似

如果兩個三角形的形狀相同，則稱兩個三角形相似．如果兩個三角形三條邊對應成比例，或者有兩個角對應相等，則兩個三角形相似；對于直角三角形而言，如果有一個銳角對應相等，或者斜邊和一條直角邊對應成比例，則這兩個直角三角形相似．

點評：由A是△BCD的垂心，結合圖形，容易發(fā)現(xiàn)圖形中的線線垂直關系，進而挖掘出三角形相似，得到對應邊成比例，極大地縮短了思維流程．

3.利用相交弦定理

相交弦定理：如果AB,CD為圓O的兩條相交弦，交點為M，則AM·MB=CM·MD．

點評：先過點P作出直徑CD，再依據(jù)中線長定理和橢圓的定義，借助相交弦定理搭起由PA·PB通向PF1·PF2的橋梁，避免了傳統(tǒng)解析幾何方法計算的繁瑣，讓人拍案叫好．

4.利用外角平分線的性質

【例4】AB是拋物線y2=2px(p>0)過焦點F的弦，點P是拋物線上異于A,B的任意一點，直線PA,PB分別交拋物線準線l于M,N，則點M,N的縱坐標之積為定值-p2．

證明：作AH,PJ,BK垂直準線于點H,J,K,

點評：從拋物線定義出發(fā)，建立比例關系，借助外角平分線的性質巧妙解題，妙不可言．

5.利用四點共圓定理

四點共圓定理：對角互補的四邊形四個頂點共圓．

點評：依據(jù)對角互補的四邊形四個頂點共圓，尋求證明對角互補是破解本題的關鍵點．

6.利用切割線定理

切割線定理：點A為圓O外一點，AM為圓O的切線，M為切點，AC為圓O的割線，交圓于B,C兩點，則AM2=AB·AC．

點評：先借助切割線定理，建立等積式，進而得出兩三角形相似，再借助相似三角形性質解題，思路清晰，計算量?。?/p>

從以上幾例不難發(fā)現(xiàn)，平面幾何注重直觀，偏向于“形”，解析幾何依賴計算，側重于“數(shù)”，若能將“形”與“數(shù)”有機結合起來，充分考慮所給問題的幾何屬性，善于從圖形的幾何關系中抓住幾何本質，挖掘其幾何內涵，并進行適當?shù)倪\用，便能有效減少解析幾何計算量、縮短思維流程，優(yōu)化解題過程．