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    選用合適的方法,求拋物線的方程

    2024-02-20 00:00:00丁子藝
    關(guān)鍵詞:方程組交點開口

    拋物線的方程主要有三種表示形式:(1)頂點式;(2)兩點式;(3)一般式.在求拋物線的方程時,往往需結(jié)合所給的條件,選擇合適的方法進(jìn)行求解.接下來,通過幾個例題,介紹一下拋物線方程的幾種求法.

    一、設(shè)頂點式方程

    拋物線頂點式方程為[y=a(x-h)2+k],它的取值決定著拋物線的開口方向,當(dāng)agt;0時,拋物線的開口向上;當(dāng)alt;0時,拋物線的開口向下,其中h和k分別是拋物線頂點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo).若已知拋物線的頂點坐標(biāo),以及拋物線上另外一個點的坐標(biāo),則可根據(jù)頂點的坐標(biāo)設(shè)出拋物線的頂點式方程,再把另一個點的坐標(biāo)代入方程求出a,即可得到拋物線的方程.

    例1.求頂點為(-2,3),且過點(0,-1)的拋物線的方程.

    解:設(shè)拋物線的方程為[y=a(x-h)2+k],

    因為拋物線的頂點為(-2,3),

    則h=-2和k=3.

    所以拋物線的方程為[y=a(x+2)2+3]

    將點(0,-1)代入上述方程中,得[-1=4a+3],

    解得[a=-1],

    因此拋物線的方程為[y=-(x+2)2+3.]

    由于已知拋物線的頂點坐標(biāo)和另外一個點的坐標(biāo),所以直接設(shè)出拋物線的頂點式方程,將頂點坐標(biāo)和另外一點的坐標(biāo)代入方程,解方程求得a、h、k,即可求得拋物線的方程.

    二、設(shè)兩點式方程

    拋物線的兩點式方程為[y=a(x-m)(x-n)].令[y=0],可得[a(x-m)(x-n)=0],解得[x1=m],[x2=n],則點(m,0)、(n,0)在拋物線上,且是拋物線與x軸的交點.因此若已知拋物線與x軸的交點的坐標(biāo),以及拋物線上另一個點的坐標(biāo),即可根據(jù)交點的坐標(biāo)設(shè)出拋物線的兩點式方程,再把另一個點的坐標(biāo)代入該方程,求出a,就能得到拋物線的方程.

    例2.已知拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)分別為(-3,0)和(1,0),且拋物線過點(-1,-4),求拋物線的方程.

    解:設(shè)拋物線的方程為[y=a(x-m)(x-n)],

    因為(-3,0)和(1,0)為拋物線與[x]軸的交點,

    所以拋物線的方程為[y=a(x+3)(x-1)],

    將點(-1,-4)代入上述方程,

    得[-4=a(-1+3)(-1-1)],

    解得[a=1],

    所以拋物線方程為[y=(x+3)(x-1)],

    即[y=x2+2x-3.]

    我們根據(jù)題中拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo),設(shè)出拋物線的兩點式方程,然后將交點、另一個點的坐標(biāo)代入方程,得到a的值,即可得到拋物線的方程.

    三、設(shè)一般式方程

    拋物線的一般式方程為[y=ax2+bx+c],其中a表示拋物線的開口方向,令[x=0],可得[y=c],即(0,c)為拋物線與y軸的交點.若已知拋物線上任意三個點的坐標(biāo),則需先設(shè)出拋物線的一般式方程;再把這三個點的坐標(biāo)代入一般式方程中,建立關(guān)于a、b、c的三元一次方程;通過解方程組,求出a、b、c,進(jìn)而得到拋物線的方程.

    例3.已知拋物線上的三個點的坐標(biāo)分別A(-1,4),B(0,1),C(1,4),求拋物線的方程.

    解:設(shè)拋物線的方程為[y=ax2+bx+c],

    因為A(-1,4),B(0,1),C(1,4)在拋物線上,

    所以這三個點的坐標(biāo)滿足拋物線的方程,

    則[a(-1)2+b(-1)+c=4];

    [a×0+b×0+c=1];

    [a×1+b×1+c=4],

    解方程組得[a=3],[b=0],[c=1].

    則拋物線的方程為[y=3x2+1].

    先設(shè)出拋物線的一般式方程;再將三個點的坐標(biāo)代入到一般式方程中,得到三元一次方程組,即可通過解方程組求出參數(shù)a、b、c,得到拋物線方程.

    可見,求拋物線的方程,關(guān)鍵是判斷已知點是否為頂點、與x軸的交點,根據(jù)已知點的坐標(biāo),選擇與之相應(yīng)的拋物線方程形式進(jìn)行求解.一般來說,拋物線的一般式方程的適用范圍較廣,若無法判斷出點的位置,則通常用拋物線的一般式方程求解.

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