試析高中數(shù)學(xué)中橢圓與雙曲線交點的問題

劉欽澤

摘 要：橢圓與雙曲線問題是高中數(shù)學(xué)中非常重要的兩個知識點并且在考試的時候也是重要的考點，所以在學(xué)習(xí)的過程中學(xué)生對于橢圓與雙曲線交點的問題一定要做到心中有數(shù)，對于每一種交點的情況應(yīng)該非常熟悉，能夠結(jié)合實際問題情境，采用橢圓與雙曲線交點的知識解決問題，因為很多題目都是圍繞橢圓與雙曲線相交或者相切的問題再延伸。在讀題的過程中要善于識別并且找準(zhǔn)解題突破點，本文就高中數(shù)學(xué)中橢圓與雙曲線交點問題的種種情況進(jìn)行了細(xì)致的探究，并且就如何解決相關(guān)的應(yīng)用題提出了幾點建立。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；橢圓；雙曲線；交點；相切；相交

一、高中數(shù)學(xué)中橢圓與雙曲線交點的問題

高中數(shù)學(xué)中橢圓與雙曲線的交點問題主要涉及到四種情形，分別是當(dāng)橢圓和雙曲線的長軸都在x軸上時；橢圓與雙曲線的長軸都在y軸上時；橢圓的長軸在x軸上，雙曲線的交點在y軸上時；橢圓的長軸在y軸上，雙曲線的長軸在x軸上；這四種情況的解題思路是類似的，前提都是建立在對橢圓和雙曲線性質(zhì)熟練掌握的基礎(chǔ)上的，設(shè)四種情況下橢圓的長軸長均為a，短軸長均為b，雙曲線的長軸長均為d，虛短軸長均為e。設(shè)它們在有交點的情況下的交點為M。下面對于這四種交點問題進(jìn)行細(xì)致的探究。

（一）橢圓和雙曲線的長軸都在x軸上

當(dāng)橢圓與雙曲線的長軸都在x軸上時又分為以下三種情況：當(dāng)ad時，橢圓與雙曲線有四個交點，根據(jù)橢圓與雙曲線關(guān)于x軸、y軸對稱的性質(zhì)，四個交點關(guān)于x軸、y軸對稱。所以可設(shè)在第一象限的交點為M1（x0，y0），第二象限內(nèi)交點M2（-x0，y0），第三象限內(nèi)交點M3（-x0，-y0），第四象限內(nèi)交點M4（x0，-y0）。首先，聯(lián)立橢圓與雙曲線的方程解出橢圓和雙曲線的四個交點分別為M1（ad，be），M2（-ad，be），M3（-ad，- be），M4（ad，- be）。

（二）橢圓與雙曲線的長軸都在y軸上

當(dāng)橢圓與雙曲線的長軸都在y軸上時又分為以下三種情況：當(dāng)ad時，橢圓與雙曲線的圖像存在四個交點，交點存在對稱性，所以可設(shè)在第一象限的交點為M1（x0，y0），第二象限內(nèi)交點M2（-x0，y0），第三象限內(nèi)交點M3（-x0，-y0），第四象限內(nèi)交點M4（x0，-y0）。根據(jù)交點情況，結(jié)合橢圓與雙曲線的方程得出橢圓和雙曲線的四個交點，分別為M1（be，ad），M2（-be，ad），M3（-be，- ad），M4（be，-ad）。

（三）橢圓的長軸在x軸上，雙曲線的交點在y軸上

橢圓的長軸在x軸上，雙曲線的交點在y軸上，兩者的位置關(guān)系同樣根據(jù)兩者的長短軸的關(guān)系分為三種情況：當(dāng)bd時，橢圓與雙曲線的圖像存在四個交點，四個交點分別存在于第一、二、三、四象限內(nèi)，設(shè)在第一象限的交點為M1（x0，y0），第二象限內(nèi)交點M2（-x0，y0），第三象限內(nèi)交點M3（-x0，-y0），第四象限內(nèi)交點M4（x0，-y0）根據(jù)兩者的交點情況，結(jié)合橢圓與雙曲線的方程，聯(lián)立得出橢圓和雙曲線的四個交點為M1（ae，bd），M2（-ae，bd），M3（-ae，-bd）， M4（ae，-bd）。

（四）橢圓的長軸在y軸上，雙曲線的長軸在x軸

當(dāng)橢圓的長軸在y軸上，雙曲線的長軸在x軸上時，兩者的位置關(guān)系同樣根據(jù)兩者的長短軸的關(guān)系分為三種情況：當(dāng)bd時，橢圓與雙曲線的圖像有四個交點，我們?nèi)匀豢梢栽O(shè)在第一象限的交點為M1（x0，y0），第二象限內(nèi)交點M2（-x0，y0），第三象限內(nèi)交點M3（-x0，-y0），第四象限內(nèi)交點M4（x0，-y0）（根據(jù)兩者的交點情況，結(jié)合橢圓與雙曲線的方程，聯(lián)立得出橢圓和雙曲線的四個交點為M1（bd，ae），M2（- bd，ae），M3（-bd，-ae）， M4（bd，- ae）。

二、結(jié)語

綜上所述，對于橢圓與雙曲線的交點問題是高中數(shù)學(xué)經(jīng)常考察的內(nèi)容，所以在遇到此類問題的時候一定要善于辨析，找出兩者的位置關(guān)系充分結(jié)合橢圓與雙曲線的圖形，對于不同情況下圖像的表示情況，結(jié)合兩者的方程，接觸問題，對于橢圓與雙曲線的交點問題，什么情況下有幾個交點，怎么根據(jù)具體的方程式解出答案都是值得仔細(xì)思考的，對于兩者的交點問題能夠在理解的基礎(chǔ)上，結(jié)合圖像，加強記憶，這樣對于很多涉及到橢圓與雙曲線交點的問題就能迎刃而解。

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