橢圓與兩焦點(diǎn)弦有關(guān)的幾個(gè)重要性質(zhì)及其推論

山東省鄒平雙語學(xué)校(256200) 姜坤崇

我們把過圓錐曲線焦點(diǎn)的弦稱為它的焦點(diǎn)弦,焦點(diǎn)弦是圓錐曲線中的重要線段,許多性質(zhì)都與它有關(guān). 本文給出橢圓與兩條滿足一定條件的焦點(diǎn)弦有關(guān)的幾個(gè)重要性質(zhì)及其推論. 由于橢圓具有軸對(duì)稱性,因此以下對(duì)于只涉及一個(gè)焦點(diǎn)的結(jié)論,不失一般性,我們均設(shè)焦點(diǎn)弦為左焦點(diǎn)弦.

定理1給定橢圓E:= 1(a ＞b ＞0),AB、CD是過E左焦點(diǎn)F1(-c,0)(c=以下同)的兩條互相垂直的弦,則為定值

證明(1) 如圖1, 當(dāng)AB不為E的長軸和垂徑(過焦點(diǎn)且垂直于焦點(diǎn)軸的弦) 時(shí),CD亦不為E的長軸和垂徑,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB、CD的斜率分別為k1、k2, 則直線AB、CD的方程分別為y=k1(x+c)、y=k2(x+c), 將y=k1(x+c) 代入E的方程整理得(a2k21+b2)x2+2a2ck21x+a2(c2k21-b2)=0.

圖1

由于x1,x2為以上關(guān)于x的二次方程的兩個(gè)根,故由韋達(dá)定理得x1+x2=所以,

同理,

由于AB⊥CD,故k1k2=-1(k1k2/= 0),從而k21k22=1,于是

(2)當(dāng)AB為E的長軸(垂徑)且CD為E的垂徑(長軸)時(shí),不難驗(yàn)證亦成立,從略.

綜合(1)、(2),定理1 得證.

推論1如圖2,給定橢圓=1(a ＞b ＞0),F1(-c,0)、F2(c,0)是E的左、右焦點(diǎn),AB、CD分別是E過F1、F2且互相垂直的弦,則為定值

圖2

證明過F1作與CD平行的弦C′D′,則由橢圓的中心對(duì)稱性知|C′D′|=|CD|,又由AB⊥CD得AB⊥C′D′,于是由定理1 的結(jié)論知

推論2如圖3,給定橢圓E:=1(a ＞b ＞0),F1(-c,0)、F2(c,0)是E的左、右焦點(diǎn),P是以F1F2為直徑的圓E1:x2+y2=a2-b2上異于F1、F2的任一點(diǎn),直線PF1和PF2與E的交點(diǎn)分別為A、B和C、D,則為定值

圖3

證明由F1F2為E1的直徑知PF1⊥PF2,于是由定理1 推論1 的結(jié)論可得

推論3如圖4,給定橢圓E:=1(a ＞b ＞0),AB、CD是E的過左焦點(diǎn)F1(-c,0)的兩條弦,kAB·kCD=1(kAB、kCD分別為直線AB、CD的斜率,以下同)或AB、CD分別為E的長軸與垂徑, 則為定值

圖4

證明當(dāng)AB、CD有一條與x軸垂直(即AB、CD分別為E的長軸與垂徑) 時(shí), 由定理1 知結(jié)論成立; 當(dāng)AB、CD均不與x軸垂直時(shí),作弦CD關(guān)于x軸的對(duì)稱弦C′D′,則由橢圓的軸對(duì)稱性知|C′D′|=|CD|,kCD=-kC′D′,kAB·kC′D′=-kAB·kCD=-1,從而AB⊥C′D′,于是由定理1 的結(jié)論知

推論4如圖5,給定橢圓=1(a ＞b ＞0),F1(-c,0)、F2(c,0)是E的左、右焦點(diǎn),AB、CD分別是E過F1、F2的弦,kAB ·kCD=1 或AB、CD分別為E的長軸與垂徑,則為定值

圖5

證明當(dāng)AB、CD有一條與x軸垂直(即AB、CD分別為E的長軸與垂徑) 時(shí), 由定理1 知結(jié)論成立; 當(dāng)AB、CD均不與x軸垂直時(shí),作弦CD關(guān)于x軸的對(duì)稱弦C′D′,則由橢圓的軸對(duì)稱性知|C′D′|=|CD|,kCD=-kC′D′,kAB ·kC′D′=-kAB ·kCD=-1,從而AB⊥C′D′,于是由定理1 推論1 的結(jié)論知

推論5如圖6,給定橢圓=1(a ＞b ＞0),F1(-c,0)、F2(c,0)是E的左、右焦點(diǎn),P是以F1、F2為兩頂點(diǎn)的等軸雙曲線E1:x2-y2=a2-b2上異于F1、F2的任一點(diǎn), 直線PF1和PF2與E的交點(diǎn)分別為A、B和C、D,則

圖6

證明設(shè)P(x0,y0), 則由點(diǎn)P在E1上知x20- y20=a2-b2,即y20=x20-a2+b2,于是

說明以上由定理1 證明5 個(gè)推論所用的方法同樣適合于由下面的兩個(gè)定理證明其相應(yīng)的推論,因此限于篇幅以下各定理的推論的證明均不再給出.

定理2給定橢圓= 1(a ＞b ＞0),AB、CD是E的過焦點(diǎn)F1(-c,0)的兩條弦,kAB ·kCD=或AB、CD分別為E的長軸與垂徑,則|AB|·|CD|為定值4b2.

證明(1)如圖7,當(dāng)AB不為E的長軸和垂徑時(shí),CD亦不為E的長軸和垂徑,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),kAB=k1,kCD=k2,則直線AB、CD的方程分別為y=k1(x+c)、y=k2(x+c), 同定理1 的證明一樣得到①、②式. 因?yàn)閗1k2=所以于是

圖7

(2)當(dāng)AB為E的長軸(垂徑)且CD為E的垂徑(長軸)時(shí),不難驗(yàn)證|AB|·|CD|=4b2亦成立,從略.

綜合(1)、(2),定理2 得證.

推論1給定橢圓E:= 1(a ＞b ＞0),F1(-c,0)、F2(c,0)是E的左、右焦點(diǎn),AB、CD分別是E過F1、F2的弦,kAB·kCD=或AB、CD分別為E的長軸與垂徑,則|AB|·|CD|為定值4b2.

推論2給定橢圓E:= 1(a ＞b ＞0),P是以E的兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2為頂點(diǎn)且離心率為的橢圓= 1(其中c2=a2-b2)上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),直線PF1和PF2與E的交點(diǎn)分別為A、B和C、D,則|AB|·|CD|為定值4b2.

推論3給定橢圓E:= 1(a ＞b ＞0),AB、CD是E的過焦點(diǎn)F1(-c,0)的兩條弦,kAB ·kCD=或AB、CD分別為E的長軸與垂徑, 則|AB|·|CD|為定值4b2.

推論4給定橢圓E:= 1(a ＞b ＞0),F1(-c,0)、F2(c,0)是E的左、右焦點(diǎn),AB、CD分別是E過F1、F2的弦,kAB·kCD=或AB、CD分別為E的長軸與垂徑,則|AB|·|CD|為定值4b2.

推論5給定橢圓E:= 1(a ＞b ＞0),P是以E的兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2為頂點(diǎn)且離心率為的雙曲線=1(其中c2=a2-b2)上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),直線PF1和PF2與E的交點(diǎn)分別為A、B和C、D,則|AB|·|CD|為定值4b2.

定理3給定橢圓E := 1(a ＞b ＞0),AB、CD 是E 的過焦點(diǎn)F1(-c,0)的兩條弦,kAB·kCD=或AB、CD 分別為E 的長軸與垂徑,則|AB|+|CD|為定值

證明(1) 如圖8, 當(dāng)AB不為E 的長軸和垂徑時(shí),CD亦不為E 的長軸和垂徑, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),kAB=k1,kCD= k2, 則直線AB、CD 的方程分別為y =k1(x + c)、y = k2(x + c), 同定理1 的證明一樣得到①、②式.

圖8

因?yàn)閗1k2=(k1k2/=0),所以k21k22=于是

(2)當(dāng)AB 為E 的長軸(垂徑)時(shí),CD 為E 的垂徑(長軸),不難驗(yàn)證|AB|+|CD|=亦成立,從略.

綜合(1)和(2),定理3 得證.

推論1給定橢圓= 1(a ＞b ＞0),F1(-c,0)、F2(c,0)是E 的左、右焦點(diǎn),AB、CD 是E 的分別過F1、F2的弦,kAB·kCD=或AB、CD 分別為E 的長軸與垂徑,則|AB|+|CD|為定值

推論2給定橢圓E :=1(a ＞b ＞0),P 是以E 的兩焦點(diǎn)F1、F2為長軸的兩端點(diǎn)且與E 同離心率的橢圓E1:=1(其中c2=a2-b2)上異于F1、F2的任一點(diǎn),直線PF1和PF2與E 的交點(diǎn)分別為A、B 和C、D,則|AB|+|CD|為定值

推論3給定橢圓E := 1(a ＞b ＞0),AB、CD 是E 的過焦點(diǎn)F1(-c,0)的兩條弦,kAB·kCD=或AB、CD 分別為E 的長軸與垂徑,則|AB|+|CD|為定值

推論4給定橢圓E := 1(a ＞b ＞0),F1(-c,0)、F2(c,0)是E 的左、右焦點(diǎn),AB、CD 分別是E 過F1、F2的兩條弦,kAB·kCD=或AB、CD 分別為E 的長軸與垂徑,則|AB|+|CD|為定值

推論5給定橢圓E := 1(a ＞b ＞0),P 是以E 的兩焦點(diǎn)F1、F2為頂點(diǎn)且離心率為為E 的離心率)的雙曲線= 1(其中c2= a2-b2)上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),直線PF1和PF2與E 的交點(diǎn)分別為A、B 和C、D,則|AB|+|CD|為定值