指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)圖象的交點(diǎn)的探究性學(xué)習(xí)

鄒云

高三總復(fù)習(xí)已進(jìn)行了一段時(shí)間.一天，我在做練習(xí)時(shí)遇到下題：

a>1，y=a2與其反函數(shù)的圖象（ ）

A. 沒有交點(diǎn) B.有且只一個(gè)交點(diǎn)

C.有且只有兩個(gè)交點(diǎn) D.至多有兩個(gè)交點(diǎn)

我思考：根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)，若a>y，y=ax與其反函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)少于3個(gè)，則a>1，y=ax的圖象與直線y=x必有交點(diǎn)，且它們的交點(diǎn)相同.試著解方程ax=x，結(jié)果無從下手；又試著畫函數(shù)圖象，還是一籌莫展.請(qǐng)教老師，老師提示：取特殊值試試！于是我試著取a=2，y=2x， 的圖象全在直線y=x的上方，再取a=1.1，發(fā)現(xiàn)它們的圖象相交了！上題選（D）無疑.

高興之余，我的思考沒有止步.因a（a>1）取不同值時(shí)，y=ax的圖象與直線y=x可以沒有交點(diǎn)，也可以有兩個(gè)交點(diǎn)，那么當(dāng)a取某個(gè)特殊值時(shí)，y=ax的圖象與直線y=x必然只有一個(gè)交點(diǎn)，這個(gè)值是多少呢？這個(gè)問題引起了我強(qiáng)烈的探究欲望.于是開始了下面的探究之旅.

1.y=ax（a>1）的圖象與直線y=x有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的值.

解 設(shè)y=ax（a>1）的圖象與直線y=x的唯一交點(diǎn)為A（t，at），

則y′|x=t=atlna，于是

atlna=1，

at=t.（1）

（2）

由（1）得：t=loga1lna，

代入（2）得：1lna=loga1lna，a=e1/e.

∴y=ax（a>1）的圖象與直線y=x，當(dāng)a=e1/e時(shí)，有唯一交點(diǎn)，當(dāng)1e1/e時(shí)沒有交點(diǎn).

2.我又想，把直線y=x改成拋物線y=x2情況又如何呢？于是又有了下面的問題：

y=ax（a>1）的圖象與拋物線y=x2在y軸的右邊有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的值.

分析 設(shè)y=ax（a>1）的圖象與拋物線y=x2在y軸的右邊的交點(diǎn)為A（t，at），有at=t2，但仿前用斜率無法再列出第二個(gè)方程.能否換一個(gè)思路呢？

解 當(dāng)x>0時(shí)，ax=x2logax=x2，令f（x）=logax，g（x）=x2x.它們?cè)趛軸右邊應(yīng)當(dāng)有唯一交點(diǎn).設(shè)唯一交點(diǎn)為

A（t，at），則：

f ′（t）=1tlna=1n，

logat=1nt.（1）

（2）

由（1）得，t=2tlna代入（2）可得：loga2tlna， a=e2/e.

∴y=ax（a>1）的圖象與拋物線y=x2，當(dāng)a=e2/e時(shí)，在y軸右邊有唯一交點(diǎn)，當(dāng)1e2/e時(shí)在y軸右邊沒有交點(diǎn).

3.一般情況呢？猜想：當(dāng)a=en/e時(shí)，y=ax（a>1）與冪函數(shù)y=xn（n∈N*）的圖象在y軸右邊有且只有一個(gè)交點(diǎn).

解 當(dāng)x>0時(shí)，ax=xnlogax=

1nx，令f（x）=logax，g（x）=1nx，設(shè)它們?cè)趛軸右邊的唯一交點(diǎn)為A（t，at），則：

f ′（t）=1tlna=1n，

logat=1nt.（1）

（2）

由（1）得t=ntlna，

代入（2）可得：logantlna=1tlna， a=en/e.

∴y=ax（a>1）的圖象與拋物線y=xn，當(dāng)a=en/e時(shí)，在y軸右邊有唯一交點(diǎn)，當(dāng)1en/e時(shí)在y軸右邊沒有交點(diǎn).

綜上，y=ax（a>1）與冪函數(shù)y=xn（n∈N*）的圖象的交點(diǎn)情況如下：

n是奇數(shù)時(shí)：（y軸左邊沒有交點(diǎn)）

當(dāng)1

當(dāng)a=en/e時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)a>en/e時(shí)，沒有交點(diǎn).

n是偶數(shù)時(shí)：（y軸左邊一定有一個(gè)交點(diǎn)）

當(dāng)1

當(dāng)a=en/e時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)a>en/e時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn).

總復(fù)習(xí)時(shí)，有好多同學(xué)陷在知識(shí)與題海中，只見樹木，不見森林，被動(dòng)復(fù)習(xí)，疲于應(yīng)付，體會(huì)不到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，復(fù)習(xí)效果不好.讀數(shù)學(xué)書與讀文學(xué)書一樣，既要讀進(jìn)去，又要讀出來.這讀出來的訣巧就是主動(dòng)思考，探究學(xué)習(xí).探究性學(xué)習(xí)可以提高復(fù)習(xí)效率，改善所掌握知識(shí)的質(zhì)量，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新能力，體驗(yàn)數(shù)學(xué)成功，提高決勝高考的把握.

他的手機(jī)收上來，然后再好好地給他們講道理，最有效的辦法是幫他們補(bǔ)課，學(xué)生在這時(shí)會(huì)非常感動(dòng)的，真的會(huì)大大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力的.其實(shí)學(xué)生的學(xué)習(xí)除了老師的教育外，也非常需要一個(gè)良好的家庭環(huán)境.仔細(xì)觀察每年班里的問題學(xué)生大多都是再婚家庭或是父母不和的家庭，前幾天我班上有一個(gè)女生，在做10道填空題時(shí)錯(cuò)了8題，上課時(shí)總是心不在焉，通過了解原來是她的父親在前幾年病逝了，她母親再婚后，這幾天又在鬧離婚所以就沒心思學(xué)習(xí)了.于是我就又和她講，讓她重新恢復(fù)了學(xué)習(xí)的動(dòng)力.我覺得學(xué)校與家庭都應(yīng)該給學(xué)生一個(gè)好的學(xué)習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生沒有學(xué)習(xí)的后顧之憂，這樣學(xué)生才能認(rèn)真的學(xué)習(xí)，這就要求我們教師要關(guān)心好學(xué)生課堂外的時(shí)間，去真正地了解學(xué)生.

作為數(shù)學(xué)教師我深深地體會(huì)到，無論我們面對(duì)怎樣基礎(chǔ)的學(xué)生，我們都應(yīng)該動(dòng)足腦筋，充分挖掘各方面的因素，去提高學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力，學(xué)生只要有了學(xué)習(xí)的動(dòng)力，學(xué)習(xí)肯定會(huì)上去的.

高三總復(fù)習(xí)已進(jìn)行了一段時(shí)間.一天，我在做練習(xí)時(shí)遇到下題：

a>1，y=a2與其反函數(shù)的圖象（ ）

A. 沒有交點(diǎn) B.有且只一個(gè)交點(diǎn)

C.有且只有兩個(gè)交點(diǎn) D.至多有兩個(gè)交點(diǎn)

我思考：根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)，若a>y，y=ax與其反函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)少于3個(gè)，則a>1，y=ax的圖象與直線y=x必有交點(diǎn)，且它們的交點(diǎn)相同.試著解方程ax=x，結(jié)果無從下手；又試著畫函數(shù)圖象，還是一籌莫展.請(qǐng)教老師，老師提示：取特殊值試試！于是我試著取a=2，y=2x， 的圖象全在直線y=x的上方，再取a=1.1，發(fā)現(xiàn)它們的圖象相交了！上題選（D）無疑.

高興之余，我的思考沒有止步.因a（a>1）取不同值時(shí)，y=ax的圖象與直線y=x可以沒有交點(diǎn)，也可以有兩個(gè)交點(diǎn)，那么當(dāng)a取某個(gè)特殊值時(shí)，y=ax的圖象與直線y=x必然只有一個(gè)交點(diǎn)，這個(gè)值是多少呢？這個(gè)問題引起了我強(qiáng)烈的探究欲望.于是開始了下面的探究之旅.

1.y=ax（a>1）的圖象與直線y=x有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的值.

解 設(shè)y=ax（a>1）的圖象與直線y=x的唯一交點(diǎn)為A（t，at），

則y′|x=t=atlna，于是

atlna=1，

at=t.（1）

（2）

由（1）得：t=loga1lna，

代入（2）得：1lna=loga1lna，a=e1/e.

∴y=ax（a>1）的圖象與直線y=x，當(dāng)a=e1/e時(shí)，有唯一交點(diǎn)，當(dāng)1e1/e時(shí)沒有交點(diǎn).

2.我又想，把直線y=x改成拋物線y=x2情況又如何呢？于是又有了下面的問題：

y=ax（a>1）的圖象與拋物線y=x2在y軸的右邊有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的值.

分析 設(shè)y=ax（a>1）的圖象與拋物線y=x2在y軸的右邊的交點(diǎn)為A（t，at），有at=t2，但仿前用斜率無法再列出第二個(gè)方程.能否換一個(gè)思路呢？

解 當(dāng)x>0時(shí)，ax=x2logax=x2，令f（x）=logax，g（x）=x2x.它們?cè)趛軸右邊應(yīng)當(dāng)有唯一交點(diǎn).設(shè)唯一交點(diǎn)為

A（t，at），則：

f ′（t）=1tlna=1n，

logat=1nt.（1）

（2）

由（1）得，t=2tlna代入（2）可得：loga2tlna， a=e2/e.

∴y=ax（a>1）的圖象與拋物線y=x2，當(dāng)a=e2/e時(shí)，在y軸右邊有唯一交點(diǎn)，當(dāng)1e2/e時(shí)在y軸右邊沒有交點(diǎn).

3.一般情況呢？猜想：當(dāng)a=en/e時(shí)，y=ax（a>1）與冪函數(shù)y=xn（n∈N*）的圖象在y軸右邊有且只有一個(gè)交點(diǎn).

解 當(dāng)x>0時(shí)，ax=xnlogax=

1nx，令f（x）=logax，g（x）=1nx，設(shè)它們?cè)趛軸右邊的唯一交點(diǎn)為A（t，at），則：

f ′（t）=1tlna=1n，

logat=1nt.（1）

（2）

由（1）得t=ntlna，

代入（2）可得：logantlna=1tlna， a=en/e.

∴y=ax（a>1）的圖象與拋物線y=xn，當(dāng)a=en/e時(shí)，在y軸右邊有唯一交點(diǎn)，當(dāng)1en/e時(shí)在y軸右邊沒有交點(diǎn).

綜上，y=ax（a>1）與冪函數(shù)y=xn（n∈N*）的圖象的交點(diǎn)情況如下：

n是奇數(shù)時(shí)：（y軸左邊沒有交點(diǎn)）

當(dāng)1

當(dāng)a=en/e時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)a>en/e時(shí)，沒有交點(diǎn).

n是偶數(shù)時(shí)：（y軸左邊一定有一個(gè)交點(diǎn)）

當(dāng)1

當(dāng)a=en/e時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)a>en/e時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn).

總復(fù)習(xí)時(shí)，有好多同學(xué)陷在知識(shí)與題海中，只見樹木，不見森林，被動(dòng)復(fù)習(xí)，疲于應(yīng)付，體會(huì)不到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，復(fù)習(xí)效果不好.讀數(shù)學(xué)書與讀文學(xué)書一樣，既要讀進(jìn)去，又要讀出來.這讀出來的訣巧就是主動(dòng)思考，探究學(xué)習(xí).探究性學(xué)習(xí)可以提高復(fù)習(xí)效率，改善所掌握知識(shí)的質(zhì)量，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新能力，體驗(yàn)數(shù)學(xué)成功，提高決勝高考的把握.

他的手機(jī)收上來，然后再好好地給他們講道理，最有效的辦法是幫他們補(bǔ)課，學(xué)生在這時(shí)會(huì)非常感動(dòng)的，真的會(huì)大大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力的.其實(shí)學(xué)生的學(xué)習(xí)除了老師的教育外，也非常需要一個(gè)良好的家庭環(huán)境.仔細(xì)觀察每年班里的問題學(xué)生大多都是再婚家庭或是父母不和的家庭，前幾天我班上有一個(gè)女生，在做10道填空題時(shí)錯(cuò)了8題，上課時(shí)總是心不在焉，通過了解原來是她的父親在前幾年病逝了，她母親再婚后，這幾天又在鬧離婚所以就沒心思學(xué)習(xí)了.于是我就又和她講，讓她重新恢復(fù)了學(xué)習(xí)的動(dòng)力.我覺得學(xué)校與家庭都應(yīng)該給學(xué)生一個(gè)好的學(xué)習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生沒有學(xué)習(xí)的后顧之憂，這樣學(xué)生才能認(rèn)真的學(xué)習(xí)，這就要求我們教師要關(guān)心好學(xué)生課堂外的時(shí)間，去真正地了解學(xué)生.

作為數(shù)學(xué)教師我深深地體會(huì)到，無論我們面對(duì)怎樣基礎(chǔ)的學(xué)生，我們都應(yīng)該動(dòng)足腦筋，充分挖掘各方面的因素，去提高學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力，學(xué)生只要有了學(xué)習(xí)的動(dòng)力，學(xué)習(xí)肯定會(huì)上去的.

高三總復(fù)習(xí)已進(jìn)行了一段時(shí)間.一天，我在做練習(xí)時(shí)遇到下題：

a>1，y=a2與其反函數(shù)的圖象（ ）

A. 沒有交點(diǎn) B.有且只一個(gè)交點(diǎn)

C.有且只有兩個(gè)交點(diǎn) D.至多有兩個(gè)交點(diǎn)

我思考：根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)，若a>y，y=ax與其反函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)少于3個(gè)，則a>1，y=ax的圖象與直線y=x必有交點(diǎn)，且它們的交點(diǎn)相同.試著解方程ax=x，結(jié)果無從下手；又試著畫函數(shù)圖象，還是一籌莫展.請(qǐng)教老師，老師提示：取特殊值試試！于是我試著取a=2，y=2x， 的圖象全在直線y=x的上方，再取a=1.1，發(fā)現(xiàn)它們的圖象相交了！上題選（D）無疑.

高興之余，我的思考沒有止步.因a（a>1）取不同值時(shí)，y=ax的圖象與直線y=x可以沒有交點(diǎn)，也可以有兩個(gè)交點(diǎn)，那么當(dāng)a取某個(gè)特殊值時(shí)，y=ax的圖象與直線y=x必然只有一個(gè)交點(diǎn)，這個(gè)值是多少呢？這個(gè)問題引起了我強(qiáng)烈的探究欲望.于是開始了下面的探究之旅.

1.y=ax（a>1）的圖象與直線y=x有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的值.

解 設(shè)y=ax（a>1）的圖象與直線y=x的唯一交點(diǎn)為A（t，at），

則y′|x=t=atlna，于是

atlna=1，

at=t.（1）

（2）

由（1）得：t=loga1lna，

代入（2）得：1lna=loga1lna，a=e1/e.

∴y=ax（a>1）的圖象與直線y=x，當(dāng)a=e1/e時(shí)，有唯一交點(diǎn)，當(dāng)1e1/e時(shí)沒有交點(diǎn).

2.我又想，把直線y=x改成拋物線y=x2情況又如何呢？于是又有了下面的問題：

y=ax（a>1）的圖象與拋物線y=x2在y軸的右邊有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的值.

分析 設(shè)y=ax（a>1）的圖象與拋物線y=x2在y軸的右邊的交點(diǎn)為A（t，at），有at=t2，但仿前用斜率無法再列出第二個(gè)方程.能否換一個(gè)思路呢？

解 當(dāng)x>0時(shí)，ax=x2logax=x2，令f（x）=logax，g（x）=x2x.它們?cè)趛軸右邊應(yīng)當(dāng)有唯一交點(diǎn).設(shè)唯一交點(diǎn)為

A（t，at），則：

f ′（t）=1tlna=1n，

logat=1nt.（1）

（2）

由（1）得，t=2tlna代入（2）可得：loga2tlna， a=e2/e.

∴y=ax（a>1）的圖象與拋物線y=x2，當(dāng)a=e2/e時(shí)，在y軸右邊有唯一交點(diǎn)，當(dāng)1e2/e時(shí)在y軸右邊沒有交點(diǎn).

3.一般情況呢？猜想：當(dāng)a=en/e時(shí)，y=ax（a>1）與冪函數(shù)y=xn（n∈N*）的圖象在y軸右邊有且只有一個(gè)交點(diǎn).

解 當(dāng)x>0時(shí)，ax=xnlogax=

1nx，令f（x）=logax，g（x）=1nx，設(shè)它們?cè)趛軸右邊的唯一交點(diǎn)為A（t，at），則：

f ′（t）=1tlna=1n，

logat=1nt.（1）

（2）

由（1）得t=ntlna，

代入（2）可得：logantlna=1tlna， a=en/e.

∴y=ax（a>1）的圖象與拋物線y=xn，當(dāng)a=en/e時(shí)，在y軸右邊有唯一交點(diǎn)，當(dāng)1en/e時(shí)在y軸右邊沒有交點(diǎn).

綜上，y=ax（a>1）與冪函數(shù)y=xn（n∈N*）的圖象的交點(diǎn)情況如下：

n是奇數(shù)時(shí)：（y軸左邊沒有交點(diǎn)）

當(dāng)1

當(dāng)a=en/e時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)a>en/e時(shí)，沒有交點(diǎn).

n是偶數(shù)時(shí)：（y軸左邊一定有一個(gè)交點(diǎn)）

當(dāng)1

當(dāng)a=en/e時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)a>en/e時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn).

總復(fù)習(xí)時(shí)，有好多同學(xué)陷在知識(shí)與題海中，只見樹木，不見森林，被動(dòng)復(fù)習(xí)，疲于應(yīng)付，體會(huì)不到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，復(fù)習(xí)效果不好.讀數(shù)學(xué)書與讀文學(xué)書一樣，既要讀進(jìn)去，又要讀出來.這讀出來的訣巧就是主動(dòng)思考，探究學(xué)習(xí).探究性學(xué)習(xí)可以提高復(fù)習(xí)效率，改善所掌握知識(shí)的質(zhì)量，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新能力，體驗(yàn)數(shù)學(xué)成功，提高決勝高考的把握.

他的手機(jī)收上來，然后再好好地給他們講道理，最有效的辦法是幫他們補(bǔ)課，學(xué)生在這時(shí)會(huì)非常感動(dòng)的，真的會(huì)大大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力的.其實(shí)學(xué)生的學(xué)習(xí)除了老師的教育外，也非常需要一個(gè)良好的家庭環(huán)境.仔細(xì)觀察每年班里的問題學(xué)生大多都是再婚家庭或是父母不和的家庭，前幾天我班上有一個(gè)女生，在做10道填空題時(shí)錯(cuò)了8題，上課時(shí)總是心不在焉，通過了解原來是她的父親在前幾年病逝了，她母親再婚后，這幾天又在鬧離婚所以就沒心思學(xué)習(xí)了.于是我就又和她講，讓她重新恢復(fù)了學(xué)習(xí)的動(dòng)力.我覺得學(xué)校與家庭都應(yīng)該給學(xué)生一個(gè)好的學(xué)習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生沒有學(xué)習(xí)的后顧之憂，這樣學(xué)生才能認(rèn)真的學(xué)習(xí)，這就要求我們教師要關(guān)心好學(xué)生課堂外的時(shí)間，去真正地了解學(xué)生.

作為數(shù)學(xué)教師我深深地體會(huì)到，無論我們面對(duì)怎樣基礎(chǔ)的學(xué)生，我們都應(yīng)該動(dòng)足腦筋，充分挖掘各方面的因素，去提高學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力，學(xué)生只要有了學(xué)習(xí)的動(dòng)力，學(xué)習(xí)肯定會(huì)上去的.