圓冪定理與著名幾何問題的聯(lián)系及解題妙用

杭州第十四中學(310006) 朱成萬

在平面幾何中, 相交弦定理、切割線定理及割線定理統(tǒng)稱為圓冪定理. 該定理表示過一定點作兩條直線與圓相交,則定點到每條直線與圓的交點的兩條線段的積相等,且積為定值. 即設圓O半徑為r, 過一定點P作兩條直線分別與圓O相交于A,B和C,D, 則PA·PB=PC ·PD這個定值為叫做點P關(guān)于⊙O的冪.

當點P在圓內(nèi)時,為相交弦定理(圖1);當點P在圓外時為切割線定理,即點C,D重合時,為切線定理(圖2),否則為割線定理(圖3).

圖1

圖2

圖3

圓冪定理與許多數(shù)學問題有緊密聯(lián)系, 比如極化恒等式、米勒問題、四點共圓問題等,研究它們的聯(lián)系,能加深對問題的理解,揭示問題的本質(zhì)所在.

一、極化恒等式與圓冪定理

設a,b是兩個平面向量,則:

我們稱式(1)為極化恒等式. 如圖4 所示,式(1)也可表述為:

圖4

我們可以用極化恒等式來證明圓冪定理, 如圖5 所示,設PB是圓O的切線,B為切點,則

圖5

顯然,式子(2)(3)不論是代數(shù)表述,還是幾何含義都是一致的. 不僅揭示了三角形的中線與邊長的關(guān)系,更揭示了圓冪定理和極化恒等式的內(nèi)在聯(lián)系.

下面試舉兩例,體會它們在解題中的妙用.

例1(2020年江蘇重點中學聯(lián)考試題改編) 設橢圓+y2= 1,F是橢圓C的右焦點, 點M是直線l:x= 2 上的動點,過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N,求線段ON的長.

解法一(圓冪定理) 如圖6, 因為OM⊥NF于Q,OP⊥l于P, 所以P,F,Q,M四點共圓, 由圓冪定理有OQ · OM=OF · OP= 1×2 = 2, 由題知ON2=|OQ||OM|= 2, 所以

圖6

解法二(極化恒等式)設F(1,0),M(2,m),則MF的中點由題知

本題的兩種解法,用圓冪定理與用極化恒等式本質(zhì)上是一致的. 相比較而言,用圓冪定理求解更簡潔.

例2(2017年高考浙江卷第21 題)如圖7,已知拋物線x2=y.點拋物線上的點P(x,y),過點B作直線AP的垂線,垂足為Q.

圖7

(1)求直線AP斜率的取值范圍;

(2)求|PA||PQ|的最大值.

解(1)略.

(2) 因為QB⊥AQ,所以Q在以AB為直徑的圓上,則AB中點為根據(jù)圓冪定理有

令t(x)=-x4+則t′(x)=-4x3+3x+1 =-(x-1)(2x+1)2,顯然當x= 1 時,|PA|·|PQ|最大,最大值為

本題關(guān)鍵是得到式子(4), 用圓冪定理幾乎可以做到秒殺, 比之其他的方法, 比如分別用兩點間距離求|PA|和|PQ|,運用圓冪的優(yōu)勢是顯而易見的.

二、米勒問題與圓冪定理

幾何學史上著名的米勒問題即張角最大問題:“設點M,N是銳角∠AOB的一邊OA上的兩點,試在OB邊上找一點P,使得∠MPN最大. ”其結(jié)論是“點P為過M,N兩點且和射線OB相切的圓的切點”,如圖8 所示. 由圓冪定理|OP|2=|OM||ON|,則可度量點P的位置.

圖8

例3(2005年高考浙江卷理科第17 題) 如圖9, 已知橢圓的中心在坐標原點, 焦點F1,F2在x軸上, 長軸A1A2的長為4, 直線l:x=與x軸的交點為M,|MA1|:|A1F1|=2:1.

圖9

(1)求橢圓的方程;

(2)若直線l1:x=m(|m| ＞1),P為l1上的動點,使∠F1PF2最大的點P記為Q,求點Q的坐標(用m表示).

解(1)解略(答案為=1).

(2) 如圖10, 過F1,F2作圓與直線l相切, 設切點為Q,則∠F1QF2是∠F1PF2的最大值. (因為對于l1上其他點P′,則有∠F1QF2= ∠F1EF2＞∠F1P′F2, 這 也 就 證 明 了 米 勒問題.) 設P(m,y0),|m| ＞1, 由圓冪定理有|y0|2=NF1· NF2= (m -1)(m+1), 即=|y0|, 所以

圖10

例4(2006年高考全國卷理科第16 題) 已知橢圓= 1 的左右焦點分別為F1,F2, 點P在直線l:x-= 0 上. 當∠F1PF2取最大值時,求的值.

解由米勒問題知, 要使∠F1PF2最大, 則過F1,F2,P三點的圓必定和直線l相切于P點. 設直線l交x軸于A(-8-0), 則∠APF1= ∠AF2P, 即ΔAPF1∽ΔAF2P,即

又由圓冪定理有

而從而有由①②得

例5(2005年高考天津卷理科第20 題) 某人在一山坡P處觀看對面山項上的一座鐵塔, 如圖11 所示, 塔高BC= 80(米),塔所在的山高OB= 220(米),OA= 200(米),圖中所示的山坡可視為直線l且點P在直線l上,l與水平地面的夾角為α,tanα=試問此人距水平地面多高時,觀看塔的視角∠BPC最大(不計此人的身高).

圖11

解如圖12,過點B,C作圓M與直線l相切,則切點P的縱坐標即為所求. 設直線l與y軸交于點Q,易得Q(0,-100). 由圓冪定理得|QP|2=|QB|·|QC|=320×400, 則|QP|=由 于tanα=所 以sinα=所以yP+ 100 =|QP|sinα=所以yP=60.

圖12

學生學過了解析幾何,一見到坐標系就習慣性地選解析法去做. 殊不知解析幾何的根在平面幾何,而平面幾何的一些定理正是減少解析幾何計算量的強大武器. 比如本題采用圓冪定理與米勒問題,使得該問題的計算量大大減少.

三、圓冪定理與四點共圓

如果平面上存在點A,B,P,Q,M,使得式子|AM||MB|=|PM||MQ|成立,則A,B,P,Q四點在同一圓上. 這是圓冪定理的逆運用,即用它來解決四點共圓問題.

例6(2011年高考全國卷理科第21 題)已知O為坐標原點,F為橢圓C:x2+=1 在y軸正半軸上的焦點,過F且斜率為的直線l與C交與A,B兩點,點P滿足

(1)證明: 點P在C上;

(2)設點P關(guān)于點O的對稱點為Q,證明:A,P,B,Q四點在同一圓上.

解(1)設l:y=+1,將其橢圓C方程聯(lián)立得到:解得

(2)因為P,Q關(guān)于點O對稱,所以由題意知線段AB與PQ相交于AB的中點M,則可得|AM|=|BM|= 所以|AM||MB|=|PM||MQ|.

由圓冪定理可知,A,B,P,Q四點在同一圓上.

例7(2014年高考全國卷理科第21 題) 已知拋物線C:y2=2px(p ＞0)的焦點為F,直線y= 4 與y軸的交點為P,與C的交點為Q,且|QF|=

(1)求C的方程;

(2)過F的直線l與C相交于A,B兩點,若AB的垂直平分線l′與C相較于M,N兩點,且A,M,B,N四點在同一圓上,求l的方程.

解(1)解略(答案為y=4x2);

(2)設直線l與l′交于點Q(x0,y0), 故可設l的方程為y-y0=k(x-x0),代入y=4x2得-y+y0-kx0=0.

設A(x1,y1),B(x2,y2),則

四、圓冪定理與代數(shù)結(jié)構(gòu)|PT|2 =λ|PA|·|PB|

顯然,代數(shù)式結(jié)構(gòu)“|PT|2=λ|PA|·|PB|”可以看作是圓冪定理的推廣,特別地,當λ= 1 時,則是切割線定理. 所以遇到這種代數(shù)結(jié)構(gòu),可以考慮用圓冪定理求解.

例8(2016年高考浙江卷理科第16 題(1))在ΔABC中, 內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c. 已知b+c=2acosB. (1)證明:A=2B.

分析b+c=2acosB=,即a2-b2=bc,即a2=b(b+c). 又a2=b(b+c)恰似圓冪定理的形式,故可用圓冪定理證明.

證明如圖13, 過B作BC的垂線,和AB的中垂線交于點O, 以O為圓心,OB為半徑作圓,則CB與圓O相切于點B,且圓O過點A. 延長CA交圓于另一點F.

圖13

根據(jù)圓冪定理有BC2=AC ·CF,即a2=b(b+AF),又有a2=b(b+c), 所以AF=c. 因此AB=AF, 所以∠ABF= ∠AFB. 而由平面幾何知識知∠AFB= ∠ABC,所以∠ABF= ∠AFB= ∠ABC. 而∠CAB= ∠ABF+∠AFB=2∠ABC,所以A=2B. 命題得證.

例9(2016年高考四川卷理科第20 題) 已知橢圓E:= 1(a ＞b ＞0) 的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點,直線l:y=-x+3 與橢圓E有且只有一個公共點T.

(1)求橢圓E的方程及點T的坐標;

(2)設O是坐標原點,直線l′平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點A,B,且與直線l交于點P. 證明: 存在常數(shù)λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.

解(1)橢圓E的方程為=1. 點T(2,1).

則橢圓變?yōu)閳Ax′2+y′2=6,如圖14,圖15 所示,由圓冪定理有|P′T′|2=|P′A||P′B|.則所以所以所以因此存在λ且λ=

圖14

圖15

上述幾個例題都是用圓冪定理解決問題,比起純粹代數(shù)運算,圓冪定理充分揭示了問題背后的幾何問題,將表面紛繁蕪雜的問題,化為簡約明了的幾何直觀. 本文旨在以四類問題為載體,培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng),發(fā)揮數(shù)學的內(nèi)在的價值,以數(shù)學的方式育人.