Weideman公式的證明

林谷佳

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

JAC Weideman曾推測(cè)出一個(gè)關(guān)于調(diào)和級(jí)數(shù)的恒等式[1]：

(1)

要證得該恒等式成立具有一定的難度，以至于它的證明被Chu等人稱為組合數(shù)學(xué)中最難的挑戰(zhàn)之一[2-4]，Schneider[5]利用計(jì)算機(jī)代數(shù)包Sigma得到過它的證明，Chu等人利用超幾何級(jí)數(shù)、部分分式法和求導(dǎo)法等也得到了該猜想的證明.受到Chu等人證明方法的啟發(fā)，筆者利用Dougall-Dixon公式也得到了Weideman調(diào)和級(jí)數(shù)恒等式的證明.

1 預(yù)備知識(shí)

超幾何級(jí)數(shù)的定義為[6]

2 Dougall-Dixon公式與調(diào)和級(jí)數(shù)恒等式

Dougall-Dixon公式[7]

當(dāng)(2+a-2b-2c)的實(shí)部大于零時(shí)公式收斂.

現(xiàn)取a=λx+θy-n，b=λ'x+θ'y-n，c=-n.(其中λ,λ',θ,θ'∈Ζ)得

(2)

(3)

其中

考慮恒等式(3)中x=y=0的情況：

(4)

令

W(x,y)=-(λ-λ')Hk(λx-λ'x+θy-θ'y)-λHk(λx+θy) +λ'Hn-k(-λ'x-θ'y)+λHn-k(-λx-θy);

通過計(jì)算可得

DxΛk(x,y)=Λk(x,y)W(x,y);DxU*(x,y)=U*(x,y)Ω(x,y);

DxV*(x,y)=V*(x,y)L(x,y).

將Dx作用于恒等式(3)得

(5)

在恒等式(5)中，當(dāng)x=y=0時(shí)得

將Dx作用于恒等式(5)且取x=y=0得

(6)

其中

而恒等式(6)中Λk(0,0)=U*(0,0)=V*(0,0)=1;W(0,0)=(λ'-2λ)Hk+(λ'+λ)Hn-k;

因此恒等式(6)即為

(7)

現(xiàn)在考慮將Dy作用于恒等式(5)所得的結(jié)果，令

DyΛk(x,y)=Λk(x,y)N(x,y);DyU*(x,y)=U*(x,y)M(x,y);DyV*(x,y)=V*(x,y)Q(x,y).其中

則Dy作用于恒等式(5)且取x=y=0所得的結(jié)果為

(8)

其中

而恒等式(8)中,Λk(0,0)=U*(0,0)=V*(0,0)=1,N(0,0)=(θ'-2θ)Hk+(θ'+θ)Hn-k;

因此恒等式(8)即為

(9)

通過對(duì)比恒等式(7)與恒等式(9),不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)恒等式(9)中取θ=λ時(shí)得到恒等式(7)，因此恒等式(7)是恒等式(9)的推論.

恒等式(9)中取λ=2λ'≠0,θ=2θ'≠0得

(10)

在Dougall-Dixon公式中取a=-n，b=λx+θy-n，c=λ'x+θ'y-n,得

(11)

(12)

其中

令DxDk(x,y)=Dk(x,y)G(x,y);DxF(x,y)=F(x,y)J(x,y).

其中

將Dx作用于恒等式(12)得

(13)

令DyDk(x,y)=Dk(x,y)R(x,y);DyF(x,y)=F(x,y)S(x,y).

其中

將Dy作用于恒等式(13)且取x=y=0得

(14)

其中

而恒等式(14)中

Dk(0,0)=F(0,0)=1.R(0,0)=(θ'+θ)(Hk+Hn-k);

G(0,0)=(λ'+λ)(Hk+Hn-k);S(0,0)=(θ'+θ)(2H2m+Hm-H3m);

J(0,0)=(λ'+λ)(2H2m+Hm-H3m).

因此恒等式(14)即為

(15)

恒等式(15)中取λ'=θ=1,λ=θ'=0得

(16)

取λ=λ'=θ=θ'=1得

(17)

恒等式(17)減去恒等式(16)的兩倍得

(18)

恒等式(10)減去恒等式(18)的兩倍就得到了恒等式(1),證明了Weideman的猜想是正確的.

這種對(duì)超幾何級(jí)數(shù)恒等式進(jìn)行參數(shù)替換然后求導(dǎo)的方法可以構(gòu)造或證明出很多組合恒等式，本文只利用了Dougall-Dixon公式，利用Pfaff-Saalschütz公式、Kummer公式等也能得出漂亮的組合恒等式.