垂徑
- 張衛(wèi)明：專(zhuān)題復(fù)習(xí) 圖形的認(rèn)識(shí)
直，故D錯(cuò)誤；由垂徑定理可得C正確。故選C?！军c(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理的運(yùn)用，需要借助圓的軸對(duì)稱(chēng)性才能真正理解垂徑定理。對(duì)于一個(gè)圓和一條直線來(lái)說(shuō)，如果一條直線具備：①經(jīng)過(guò)圓心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直徑），④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧，⑤平分弦所對(duì)的劣弧，這五個(gè)條件中的任何兩個(gè)，那么也就具備其他三個(gè)條件。二、圓中位置關(guān)系分類(lèi)不清例2 已知⊙O的直徑CD=10，AB是⊙O的弦，AB=8，且AB⊥CD，垂足為M，則AC的長(zhǎng)為（）。A.[25] B.[45]C.[25
初中生世界·九年級(jí) 2023年5期2023-06-14
- 尋根求源 變式探究
論?！窘馕觥繕?gòu)造垂徑定理基本圖形。如圖4，連接OD，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AF于點(diǎn)H，易證四邊形ODEH為矩形，所以O(shè)D=EH?！逴H⊥AF，∴HF=[12]AF?！郞D=EH=EF+HF=EF+[12]AF，∴2OD=2EF+AF，即AB=2EF+AF?！军c(diǎn)評(píng)】本題是2017年鹽城市中考題第25題的第（3）小題。我們利用垂徑定理也能解決長(zhǎng)度的計(jì)算問(wèn)題。（作者單位：江蘇省鹽城市康居路初級(jí)中學(xué)）
初中生世界·九年級(jí) 2023年5期2023-06-14
- 追根溯源探本質(zhì) 思維提升辨易混
，故D 錯(cuò)誤；由垂徑定理可得C正確。故選C。【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理的運(yùn)用，需要借助圓的軸對(duì)稱(chēng)性才能真正理解垂徑定理。對(duì)于一個(gè)圓和一條直線來(lái)說(shuō)，如果一條直線具備：①經(jīng)過(guò)圓心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直徑），④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧，⑤平分弦所對(duì)的劣弧，這五個(gè)條件中的任何兩個(gè)，那么也就具備其他三個(gè)條件。二、圓中位置關(guān)系分類(lèi)不清例2已知⊙O的直徑CD=10，AB是⊙O的弦，AB=8，且AB⊥CD，垂足為M，則AC的長(zhǎng)為（ ）?！窘馕觥窟B接OA?！逜B⊥CD，∴A
初中生世界 2023年19期2023-05-25
- 操作活動(dòng)背景下一道圓的作圖題的拓展
OM過(guò)圓心，根據(jù)垂徑定理，得（2）作法一：連接OA，取格點(diǎn)C，連接MC并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)M＇，交AB于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求，見(jiàn)圖5。圖5證明：可證OA⊥MM＇，∴∴∠AMP=∠ABM。又∠MAP=∠BAM，∴△APM∽△AMB。∴AM2=AP·AB。作法二：取格點(diǎn)C、D，連接CD交AB于P，則點(diǎn)P即為所求，見(jiàn)圖6。圖6總結(jié)本題用到的知識(shí)較為廣泛，有全等三角形、垂徑定理、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等，是一道以操作活動(dòng)為背景的綜合題。除這道題外，各地2
初中生世界 2023年19期2023-05-25
- 喚醒結(jié)構(gòu)意識(shí) 探尋生長(zhǎng)路徑*
——以圓“垂徑定理”的結(jié)構(gòu)化教學(xué)設(shè)計(jì)為例
下面以“圓”中“垂徑定理”的內(nèi)容為素材進(jìn)行結(jié)構(gòu)化教學(xué)設(shè)計(jì)和分析.1 垂徑定理的結(jié)構(gòu)化特征分析垂徑定理是圓的重要性質(zhì)，是圓中證明線段相等、角相等以及垂直關(guān)系的重要依據(jù)，同時(shí)也為與圓有關(guān)的其他計(jì)算、證明、作圖等提供重要的方法和依據(jù).垂徑定理的結(jié)構(gòu)化特征主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面，即外聯(lián)模塊結(jié)構(gòu)化特征與內(nèi)部元素結(jié)構(gòu)化特征.1.1 垂徑定理的外聯(lián)模塊結(jié)構(gòu)化圓有許多重要性質(zhì)，其中最主要的性質(zhì)是圓的對(duì)稱(chēng)性(軸對(duì)稱(chēng)性和旋轉(zhuǎn)不變性)，它是探索其他性質(zhì)的基礎(chǔ)前提.垂徑定理正是圓的軸
中學(xué)數(shù)學(xué) 2023年2期2023-03-23
- 喚醒結(jié)構(gòu)意識(shí) 探尋生長(zhǎng)路徑*
——以圓“垂徑定理”的結(jié)構(gòu)化教學(xué)設(shè)計(jì)為例
下面以“圓”中“垂徑定理”的內(nèi)容為素材進(jìn)行結(jié)構(gòu)化教學(xué)設(shè)計(jì)和分析.1 垂徑定理的結(jié)構(gòu)化特征分析垂徑定理是圓的重要性質(zhì)，是圓中證明線段相等、角相等以及垂直關(guān)系的重要依據(jù)，同時(shí)也為與圓有關(guān)的其他計(jì)算、證明、作圖等提供重要的方法和依據(jù).垂徑定理的結(jié)構(gòu)化特征主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面，即外聯(lián)模塊結(jié)構(gòu)化特征與內(nèi)部元素結(jié)構(gòu)化特征.1.1 垂徑定理的外聯(lián)模塊結(jié)構(gòu)化圓有許多重要性質(zhì)，其中最主要的性質(zhì)是圓的對(duì)稱(chēng)性(軸對(duì)稱(chēng)性和旋轉(zhuǎn)不變性)，它是探索其他性質(zhì)的基礎(chǔ)前提.垂徑定理正是圓的軸
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2023年2期2023-02-15
- 立足“三個(gè)理解” 促進(jìn)“四能”發(fā)展
——以“垂徑定理”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例
力.下面筆者以“垂徑定理(第一課時(shí))”為例談?wù)劵凇叭齻€(gè)理解”的教學(xué)設(shè)計(jì).一、“三個(gè)理解”理念下的“垂徑定理”的教學(xué)價(jià)值1.高位理解數(shù)學(xué),把握知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)理解數(shù)學(xué),就是要求教師深度解讀教材、高位理解教材用意、溯本求源、把握知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn),梳理清楚數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性和邏輯結(jié)構(gòu).垂徑定理是蘇科版九年級(jí)上冊(cè)的第二章的內(nèi)容,是繼八年級(jí)下冊(cè)“中心對(duì)稱(chēng)圖形平行四邊形”之后的幾何章節(jié),也可以理解為對(duì)特殊的中心對(duì)稱(chēng)圖形進(jìn)一步的深入研究.垂徑定理是圓的軸對(duì)稱(chēng)性的具體化結(jié)論,更是
初中數(shù)學(xué)教與學(xué) 2022年18期2022-12-02
- 深入題目本質(zhì)，避免題海戰(zhàn)術(shù)系列談之一
——垂徑定理及其推論的應(yīng)用小妙招
途徑.下面，我以垂徑定理及其推論的相關(guān)應(yīng)用題的解題規(guī)律為例，淺談上述問(wèn)題.簡(jiǎn)單說(shuō)，此類(lèi)題大多數(shù)需要作輔助線來(lái)解決，學(xué)生只需要作輔助線構(gòu)造“一個(gè)那樣的直角三角形”，再應(yīng)用垂徑定理及其推論和勾股定理，就可解題了.因此，學(xué)生只要記住如何作出“一個(gè)那樣的直角三角形”，就能解決大部分此類(lèi)問(wèn)題，達(dá)到事半功倍的效果.下面舉兩個(gè)例子說(shuō)明.例1 (人教版教材九上90頁(yè)12題)，如圖1，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(圖1中的弧ACB)，點(diǎn)O是這段弧所在圓的圓心，AB=300 m
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究 2022年5期2022-06-19
- 弄清問(wèn)題 踩點(diǎn)得分
的弦，則考慮使用垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對(duì)的兩條弧。直接由[BD]=[CD]推出圓周角相等。（1）證明：∵AD是⊙O的直徑，AD⊥BC，（1分）∴BD=CD，∴∠BAD=∠CAD。（2分）【點(diǎn)評(píng)】運(yùn)用垂徑定理需要注意寫(xiě)出直徑和垂直于直徑的弦，缺一不可?！痉治觥浚?）解題的關(guān)鍵是證明△AFO∽△CFG，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出OF。（2）解：在Rt△BOE中，∠BEO=90°，【點(diǎn)評(píng)】我們來(lái)看得分點(diǎn)：運(yùn)用勾股定理，要指明直角三角形，寫(xiě)出已知
初中生世界·九年級(jí) 2022年5期2022-05-27
- 圓中有“法” 線段可“度”
解析】（1）根據(jù)垂徑定理得到，根據(jù)圓周角定理證明結(jié)論。（2）根據(jù)勾股定理求出BE=4，由垂徑定理求出BC=8，由圓周角定理得到∠BCG=90°，再次根據(jù)勾股定理求出GC=6，利用AD∥GC，證明△AFO∽△CFG，利用相似三角形的性質(zhì)求出【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理、垂徑定理、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、垂徑定理是解題的關(guān)鍵。例2（2021·湖北鄂州）如圖2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，O為BC邊上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心
初中生世界 2022年19期2022-04-19
- 弄清問(wèn)題 踩點(diǎn)得分
的弦，則考慮使用垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對(duì)的兩條弧。直接由推出圓周角相等。（1）證明：∵AD是⊙O的直徑，【點(diǎn)評(píng)】運(yùn)用垂徑定理需要注意寫(xiě)出直徑和垂直于直徑的弦，缺一不可?！痉治觥浚?）解題的關(guān)鍵是證明△AFO∽△CFG，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出OF。（2）解：在Rt△BOE中，∠BEO=90°，【點(diǎn)評(píng)】我們來(lái)看得分點(diǎn)：運(yùn)用勾股定理，要指明直角三角形，寫(xiě)出已知的邊長(zhǎng)；運(yùn)用圓周角定理，要寫(xiě)出直徑；證明相似三角形，運(yùn)用相似的性質(zhì)，注意要對(duì)應(yīng)。在
初中生世界 2022年19期2022-04-19
- “圓”來(lái)如此
——圓中典型易錯(cuò)題分析
M、ON。圖3由垂徑定理，得OM⊥AB，ON⊥AC?！摺螧AC=48°，∴∠MON=132°。（2）當(dāng)圓心在兩條弦所夾角的外部時(shí)。如圖4，連接OM、ON。圖4由垂徑定理，得OM⊥AB，ON⊥AC?！摺螧AC=48°，∴∠MON=∠BAC=48°。綜上可得，∠MON=132°或48°。三、圓心與圓內(nèi)接三角形的位置關(guān)系例3已知△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB=AC，⊙O半徑為6，圓心O到底邊BC的距離為2，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)_______。【錯(cuò)誤分析】一些同學(xué)在解決此題
初中生世界 2022年19期2022-04-19
- 圓的常見(jiàn)考點(diǎn)展示
所幫助.考點(diǎn)1：垂徑定理例1（2021·四川·自貢）如圖1，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)F，OE⊥AC于點(diǎn)E，若OE = 3，OB = 5，則CD的長(zhǎng)度為（ ）.A. 9.6? ? ? ? ? B. 4[5]? ? ? ? C. 5[3]? ? ? ? D. 10分析：由垂徑定理可知AE = CE，由AO = BO，OE = 3，可求出BC和AC，再運(yùn)用面積法求出CF，即可由垂徑定理得到CD的長(zhǎng)度.解：如圖1，連接BC. ∵AB是⊙O的直徑，∴∠A
初中生學(xué)習(xí)指導(dǎo)·中考版 2021年12期2021-12-12
- 圓錐曲線中的垂徑定理
中考查類(lèi)似于圓的垂徑定理的題目不時(shí)出現(xiàn)，值得深入探究.垂徑定理是數(shù)學(xué)平面幾何(圓)中的一個(gè)定理，它的通俗表達(dá)是：垂直于弦的直徑平分弦且平分這條弦所對(duì)的兩條弧.垂徑定理是圓的重要性質(zhì)之一，它是證明圓內(nèi)線段、角相等、垂直關(guān)系的重要依據(jù)，也為圓中的計(jì)算、證明和作圖提供了依據(jù)、思路和方法.如果能將圓的垂徑定理所涉及的思想和方法遷移到橢圓、雙曲線、拋物線上，那無(wú)疑是一種創(chuàng)新的研究思路.一、試題呈現(xiàn)題1 已知某橢圓的焦點(diǎn)是F1(-4,0),F2(4,0)，過(guò)點(diǎn)F2并垂
數(shù)理化解題研究 2021年31期2021-11-24
- 橢圓與兩焦點(diǎn)弦有關(guān)的幾個(gè)重要性質(zhì)及其推論
B不為E的長(zhǎng)軸和垂徑(過(guò)焦點(diǎn)且垂直于焦點(diǎn)軸的弦) 時(shí),CD亦不為E的長(zhǎng)軸和垂徑,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB、CD的斜率分別為k1、k2, 則直線AB、CD的方程分別為y=k1(x+c)、y=k2(x+c), 將y=k1(x+c) 代入E的方程整理得(a2k21+b2)x2+2a2ck21x+a2(c2k21-b2)=0.圖1由于x1,x2為以上關(guān)于x的二次方程的兩個(gè)根,故由韋達(dá)定理得x1+x2=所以,同理,由于AB⊥CD,故k1k2=-
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2021年19期2021-11-19
- 淺談初中數(shù)學(xué)章節(jié)復(fù)習(xí)課的有效性
——以圓的基本性質(zhì)復(fù)習(xí)為例
想到什么？生1：垂徑定理。加一條弦和AB垂直。教師：給出圖形。如圖1，在⊙O中，直徑AB⊥弦CD于點(diǎn)E，OE=3，CD=8，求圓的半徑。圖 1圖 2生2：連接OC，根據(jù)直徑AB⊥弦CD，得CE=ED=4（垂徑定理），根據(jù)勾股定理可得圓的半徑等于5。教師追問(wèn)：解題依據(jù)？生2：利用垂徑定理。師生共同回顧垂徑定理的相關(guān)內(nèi)容，并將數(shù)學(xué)文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為幾何語(yǔ)言。變式1：如圖1，若已知直徑AB平分弦CD于點(diǎn)E，CD=8，AB=10，試求OE的長(zhǎng)度。生3：利用垂徑定理逆定
科學(xué)咨詢(xún) 2021年30期2021-10-11
- 圓周角定理求角“四結(jié)合”
點(diǎn). [二、結(jié)合垂徑定理、“三個(gè)量”的關(guān)系]過(guò)圓心垂直于弦的直徑，是垂徑定理的條件，同圓中的弧、弧所對(duì)的弦及弧所對(duì)的圓心角這三個(gè)量中若有一組量相等，則其余兩組量分別相等.例2（2020·湖北·荊門(mén)）如圖2，⊙O中，OC⊥AB，∠APC=28°，則∠BOC的度數(shù)為（ ）.A. 14° B. 28° C. 42° D. 56°分析：由OC⊥AB，得[AC] = [BC]，于是∠AOC = ∠BOC. 由圓周角定理得∠AOC = 2∠APC = 56°，進(jìn)而得
初中生學(xué)習(xí)指導(dǎo)·中考版 2021年4期2021-09-10
- 圓周角定理應(yīng)用的“兩融合”
例介紹.一、融合垂徑定理，轉(zhuǎn)化三量關(guān)系過(guò)圓心且垂直于弦的直徑，是垂徑定理的條件，同圓中的弧、弧所對(duì)的弦及弧所對(duì)的圓心角這三個(gè)量中若有一組量相等，則其余兩組量分別相等.例1（2020·湖北·荊門(mén)）如圖1，⊙O中，OC⊥AB，∠APC=28°，則∠BOC的度數(shù)為（ ）.A. 14° B. 28° C. 42° D. 56°分析：由OC⊥AB，得[AC] = [BC]，于是可想到連接OA，得到∠AOC = ∠BOC. 由圓周角定理得∠AOC = 2∠APC=5
初中生學(xué)習(xí)指導(dǎo)·中考版 2021年8期2021-08-28
- 三角形中考綜合考點(diǎn)追蹤
構(gòu)造輔助線，利用垂徑定理證明角相等，繼而利用SAS證明三角形全等，最后根據(jù)角的互換，結(jié)合同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半求解。解：連接OA、OB，作OH⊥AC、OM⊥AB，垂足分別為H、M，如圖3所示?！咴诘冗吶切蜛BC中，OH⊥AC，OM⊥AB，由垂徑定理，得AH=AM。又∵OA=OA，∴△OAH≌△OAM（HL），∴∠OAH=∠OAM?！逴A=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴∠OAD=∠OBE。又∵AD=EB，∴△ODA≌△OEB（SAS），∴∠DOA
初中生世界·九年級(jí) 2021年4期2021-05-14
- 三角形中考綜合考點(diǎn)追蹤
構(gòu)造輔助線，利用垂徑定理證明角相等，繼而利用SAS證明三角形全等，最后根據(jù)角的互換，結(jié)合同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半求解。解：連接OA、OB，作OH⊥AC、OM⊥AB，垂足分別為H、M，如圖3所示。圖3∵在等邊三角形ABC中，OH⊥AC，OM⊥AB，由垂徑定理，得AH=AM。又∵OA=OA，∴△OAH≌△OAM（HL），∴∠OAH=∠OAM?！逴A=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴∠OAD=∠OBE。又∵AD=EB，∴△ODA≌△OEB（SAS），∴∠D
初中生世界 2021年15期2021-04-15
- 圓的兩類(lèi)常見(jiàn)輔助線
接[OA]，根據(jù)垂徑定理得到[OM⊥AB]，然后根據(jù)勾股定理求出[AM]，得到答案.解：如圖1，連接[OA]，∵M(jìn)為弦[AB]的中點(diǎn)，∴[OM⊥AB]，∴[AM=OA2-OM2=52-42=3]，∴[AB=2AM=6]，故填6.點(diǎn)評(píng)：求弦長(zhǎng)時(shí)，常常借助垂徑定理及推論，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理進(jìn)行解題.二、見(jiàn)直徑，構(gòu)直角;見(jiàn)切點(diǎn)，構(gòu)直角例2（2019·北京）如圖2，四邊形ABCD為菱形，以[AD]為直徑作[⊙O]交[AB]于點(diǎn)[F]，連接[DB]交[⊙O
初中生學(xué)習(xí)指導(dǎo)·中考版 2020年11期2020-09-10
- 構(gòu)造圓心角 解題好巧妙
的關(guān)鍵.二、利用垂徑定理等量代換例2（2019·內(nèi)蒙古·赤峰）如圖2，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn)，∠ADC=30°，則∠BOC的度數(shù)為（ ）.A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°解析：如圖2，∵∠ADC = 30°，∴∠AOC = 2∠ADC = 60°.∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于點(diǎn)C，∴[AC] =[ BC].∴∠BOC = ∠AOC = 60°. 故選D.點(diǎn)評(píng)：熟練掌握垂徑定理實(shí)現(xiàn)等量代換是解
初中生學(xué)習(xí)指導(dǎo)·中考版 2020年11期2020-09-10
- 利用“垂徑定理”重觀圓錐曲線中一類(lèi)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題
故也被稱(chēng)為橢圓的垂徑定理.證明如圖1，不妨設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由將兩式作差后整理可得圖1記直線AB 和直線OM 斜率分別為k1，k2，則解法2利用上述垂徑定理，本題中橢圓的兩相關(guān)斜率之積為，若斜率為的平行線束與橢圓相交，則所有弦中點(diǎn)的軌跡必為去掉兩端點(diǎn)的線段，如圖2所示，則直線l：y＝4x＋m 只需與該線段有交點(diǎn)即可(這時(shí)l 是過(guò)交 點(diǎn) 且 斜 率 為的弦的對(duì)稱(chēng)軸)，故圖2上述思考方式是先確定對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的所在弦中點(diǎn)需具備的條件再考慮垂直，利用
高中數(shù)理化 2020年12期2020-08-17
- 由圓周角例題談解題策略
助圓的軸對(duì)稱(chēng)性（垂徑定理）例1如圖1，AD是半圓的直徑，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，∠ADC=55°，則∠BAD是多少？【解析】由點(diǎn)C是的中點(diǎn)，聯(lián)想到垂徑定理，連接OC、BD可得OC⊥BD。方法1：借助等腰△COD，可得∠OCD=55°；由OC⊥BD，得∠CBD=35°，則問(wèn)題解決。方法2：借助圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，求得∠ABC=125°，可得∠CBD=∠CDB=35°，∠ADB=20°，可得∠BAD=70°?！狙由臁咳鐖D2，AB是⊙O的直徑，C為上一點(diǎn)，∠BOC=50
初中生世界 2020年19期2020-06-13
- 由圓周角例題談解題策略
助圓的軸對(duì)稱(chēng)性（垂徑定理）例1 如圖1，AD是半圓的直徑，點(diǎn)C是[BD]的中點(diǎn)，∠ADC=55°，則∠BAD是多少？【解析】由點(diǎn)C是[BD]的中點(diǎn)，聯(lián)想到垂徑定理，連接OC、BD可得OC⊥BD。方法1：借助等腰△COD，可得∠OCD=55°;由OC⊥BD，得∠CBD=35°，則問(wèn)題解決。方法2：借助圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，求得∠ABC=125°，可得∠CBD=∠CDB=35°，∠ADB=20°，可得∠BAD=70°?！窘馕觥靠吹紺A=CB=CP，聯(lián)想到定長(zhǎng);
初中生世界·九年級(jí) 2020年5期2020-06-01
- 幾種常見(jiàn)的有關(guān)圓的最值問(wèn)題
點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理以及勾股定理，難度適中。掌握輔助線的作法，得到當(dāng)OC⊥AB時(shí)，OC最短是關(guān)鍵。二、利用對(duì)稱(chēng)求最值例2 如圖的直徑是AB上一動(dòng)點(diǎn)，則CM+DM的最小值是cm。圖2【分析】如圖3，作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，連接C′D與AB相交于點(diǎn)M，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)確定最短路線問(wèn)題，點(diǎn)M為CM+DM最小時(shí)的位置，根據(jù)垂徑定理可得然后求出C′D為直徑，從而得解。解：作C關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，連接C′D，與AB相交于點(diǎn)M，如圖3，此時(shí)，點(diǎn)M為CM+DM最小時(shí)的
初中生世界 2019年39期2019-11-16
- 追根溯源 “圓”來(lái)如此
B、OC，再利用垂徑定理，可以進(jìn)行相等角的轉(zhuǎn)化，最后解直角三角形即可。解：如圖4，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC，垂足為D，連接OB、OC。圖4故選：D?！军c(diǎn)評(píng)】在非直角三角形中求一個(gè)角的三角函數(shù)值，我們的常用方法是構(gòu)造直角三角形或是通過(guò)相等角的轉(zhuǎn)化思想來(lái)解決問(wèn)題。二、圓中重要的定理——垂徑定理例3 如圖5，AB是⊙O的直徑，且經(jīng)過(guò)弦CD的中點(diǎn)H，已知BD=5，則OH的長(zhǎng)度為 _____。圖5【分析】由條件“直徑經(jīng)過(guò)弦CD的中點(diǎn)H”，根據(jù)垂徑定理得出AB⊥CD，連接O
初中生世界 2019年39期2019-11-16
- 關(guān)于圓的對(duì)稱(chēng)性命題可逆性的研究
握.這里,我們以垂徑定理及推論的教學(xué)設(shè)計(jì)為例,說(shuō)明(圓的性質(zhì)輪換不變性)猜想的教學(xué)價(jià)值.垂徑定理及推論的教學(xué)設(shè)計(jì)如圖1,垂徑定理可以表示如下：根據(jù)(圓的性質(zhì)輪換不變性)猜想,其條件與結(jié)論等量交換后所得逆命題(共九個(gè))皆為真命題(稱(chēng)為推論),于是垂徑定理及九個(gè)推論,可用一句話概括如下：圖1“對(duì)一個(gè)圓和對(duì)一條直線來(lái)說(shuō),如果具備下列條件中的任何兩個(gè),那么也具有其它三個(gè)：(1)過(guò)圓心(2)垂直于弦(3)平分弦(4)平分弦所對(duì)的優(yōu)弧(5)平分弦所對(duì)的劣弧”(經(jīng)證明本
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2019年16期2019-10-19
- 以“不變”應(yīng)“萬(wàn)變”
最短弦問(wèn)題。運(yùn)用垂徑定理和勾股定理，求解步驟如下：解：∵y=kx-3k+4，∴k（x-3）=y-4，∵k有無(wú)數(shù)個(gè)取值，由x-3=0、y-4=0，可得x=3，y=4，∴直線一定過(guò)點(diǎn)D（3，4）。如圖3，根據(jù)勾股定理，可求得OD=5?！咦疃痰南褺C是過(guò)點(diǎn)D且與⊙O垂徑垂直的弦，∴連接OC，OC=OA=13，OD=5，在Rt△COD中，可求得CD=12。∵OD⊥BC，∴BC=2CD=24?！窘忸}感悟】在求解有關(guān)含參數(shù)的函數(shù)表達(dá)式的問(wèn)題時(shí)，往往需要在變化的參數(shù)中找
初中生世界·九年級(jí) 2019年4期2019-05-05
- 再談垂徑定理及其應(yīng)用
，準(zhǔn)確理解、掌握垂徑定理及其推論，會(huì)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算，并會(huì)運(yùn)用垂徑定理及其推論解決現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題，提升學(xué)生分析、探索和證明的能力.課前準(zhǔn)備好三角板、圓規(guī)等部分教具、自制課件和個(gè)人電腦.以下是垂徑定理的應(yīng)用這節(jié)課的課堂實(shí)錄.師：今天我們復(fù)習(xí)圓的垂徑定理及其應(yīng)用！請(qǐng)問(wèn)，圓的重要性質(zhì)是什么？生1：圓既是中心對(duì)稱(chēng)圖形又是軸對(duì)稱(chēng)圖形.師：根據(jù)圓的軸對(duì)稱(chēng)，可得圓的垂徑定理，什么是垂徑定理？生2：在圓中，垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧.教師畫(huà)圖示意.師：垂徑
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2019年4期2019-03-15
- 巧用平面幾何性質(zhì)，解決與圓有關(guān)的問(wèn)題
就比較低。 圓的垂徑定理和蘇教版選修4-1《幾何證明選講》中割線定理、切割線定理、相交弦定理在考試大綱要求中屬于“理解”。如果我們能夠熟練應(yīng)用圓的這幾個(gè)定理，則一定會(huì)為我們解決解析幾何中直線與圓的有關(guān)問(wèn)題提供更為廣闊的思維空間。方法二：取弦AB的中點(diǎn)M，由垂徑定理，設(shè)OA=x，AB=2x，兩次利用勾股定理，得評(píng)注：本題如果設(shè)直線方程后和圓方程聯(lián)立來(lái)求弦長(zhǎng)，AB=2OA這個(gè)條件用起來(lái)比較困難，而且計(jì)算比較復(fù)雜。這里巧妙利用圓的相交弦定理或垂徑定理，使問(wèn)題得到
數(shù)學(xué)大世界 2018年32期2018-12-11
- 圓的對(duì)稱(chēng)性等價(jià)性研究及分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)探索
映圓的軸對(duì)稱(chēng)性的垂徑定理與作為反映圓的旋轉(zhuǎn)不變性的圓心角、弦、弧、弦心距之間的關(guān)系定理應(yīng)具有等價(jià)關(guān)系,應(yīng)可互相證明,即:預(yù)測(cè)2垂徑定理?圓心角、弦、弧、弦心距之間的關(guān)系定理事實(shí)確實(shí)如此,我們既可由垂徑定理推出關(guān)系定理(“圓心角、弦、弧、弦心距之間的關(guān)系定理”,簡(jiǎn)稱(chēng)為“關(guān)系定理”),也可由關(guān)系定理推出垂徑定理(注意,我們是不利用“圓的定義”的前提下,兩個(gè)定理的互推).1、垂徑定理→圓心角、弦、弧、弦心距之間的關(guān)系定理如圖1,已知∠A′OB′=∠AOB,OE⊥
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2018年20期2018-11-08
- 垂徑定理的綜合應(yīng)用
學(xué)目標(biāo)：1.理解垂徑定理的概念，掌握垂徑定理的性質(zhì)，并會(huì)用此性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算和證明；2.進(jìn)一步掌握垂徑定理的基本圖形，并會(huì)綜合運(yùn)用知識(shí)進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算和證明，3.學(xué)習(xí)中注重培養(yǎng)自己的邏輯思維能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。重點(diǎn)難點(diǎn)：綜合運(yùn)用知識(shí)進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算和證明教學(xué)方法：自主、探究、合作交流結(jié)語(yǔ)1.圖形之間的關(guān)系體現(xiàn)從一般到特殊；2.第（3）問(wèn)挖掘隱含條件（1）圖形中隱含線段間關(guān)系或角的關(guān)系（2）利用上述關(guān)系推導(dǎo)出特殊角或圖形形狀（3）考查幾何直觀（滲透
新教育時(shí)代·教師版 2018年13期2018-07-21
- 一道課本練習(xí)題的研究性學(xué)習(xí)案例一則
別為其弦心距.由垂徑定理,在同圓或等圓中,等弦對(duì)等弦心距.所以O(shè)E=OD,故四邊形ADOE是正方形.圖1圖2當(dāng)我們將“AC=AB”這一條件變?yōu)椴幌嗟葧r(shí),我們看:例2 (2005年中考四川省卷第12題4分)如圖2,在⊙O中,AB,AC是互相垂直的兩條弦,OD⊥AB于點(diǎn)D,OE⊥AC于點(diǎn)E,且AB=8cm,AC=6 cm,那么⊙O的半徑OA長(zhǎng)為_(kāi)__.分析與略解這時(shí),正方形ADOE變?yōu)榫匦蜛DOE,AD=4,OD=3,所以⊙O的半徑OA長(zhǎng)為5 cm.當(dāng)我們將垂
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2018年12期2018-07-11
- 分類(lèi)討論 巧妙解題
⊥AC于F，根據(jù)垂徑定理求出AE、FA值，根據(jù)解直角三角形的知識(shí)求出∠OAB和∠OAC.解：有兩種情況：圖1圖2①如圖1所示：連接OA，過(guò)O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∴∠OEA=∠OFA=90°，由垂徑定理得：AE=BE=，同理∠OAF=45°，∴∠BAC=30°+45°=75°；②如圖2所示：∴∠BAC=45°-30°=15°；故答案為：75°或15°.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值和垂徑定理的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出圖形，求出符合條
初中生世界 2018年23期2018-06-21
- 垂徑定理的綜合應(yīng)用
學(xué)目標(biāo):1.理解垂徑定理的概念，掌握垂徑定理的性質(zhì)，并會(huì)用此性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算和證明；2.進(jìn)一步掌握垂徑定理的基本圖形，并會(huì)綜合運(yùn)用知識(shí)進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算和證明，3.學(xué)習(xí)中注重培養(yǎng)自己的邏輯思維能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。重點(diǎn)難點(diǎn):綜合運(yùn)用知識(shí)進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算和證明教學(xué)方法:自主、探究、合作交流教學(xué)流程【合作探究，釋疑解惑】1.垂徑出角分線習(xí)題1、已知：△CDE內(nèi)接于⊙O，半徑OB⊥CD，垂足為H，連接BE(1)求證：∠CEB=∠DEB(2)如圖，BM⊥CE
新教育時(shí)代電子雜志(教師版) 2018年13期2018-06-05
- 浙教版九上第三章圓的軸對(duì)稱(chēng)性復(fù)習(xí)課教學(xué)實(shí)錄及感悟
對(duì)稱(chēng)性2. 運(yùn)用垂徑定理解決相關(guān)問(wèn)題能力目標(biāo)：通過(guò)錯(cuò)題教學(xué)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力情感目標(biāo)：在運(yùn)用圓的知識(shí)解決問(wèn)題的活動(dòng)中，培養(yǎng)學(xué)生樂(lè)于探究的良好品質(zhì)及解決問(wèn)題的能力二、 教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)： 圓的軸對(duì)稱(chēng)性 垂徑定理難點(diǎn)： 運(yùn)用垂徑定理及逆定理解決問(wèn)題三、教學(xué)過(guò)程1.知識(shí)回顧師：圓是怎么樣的圖形？中心對(duì)稱(chēng)圖形還是軸對(duì)稱(chēng)圖形？生：既是中心對(duì)稱(chēng)圖形又是軸對(duì)稱(chēng)圖形師：圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，那么它的對(duì)稱(chēng)軸是什么？生1：直徑。生2：不對(duì)，直徑所
考試與評(píng)價(jià) 2018年5期2018-05-14
- 垂徑定理牽手勾股定理
律解題過(guò)程中涉及垂徑定理和勾股定理．在圖1中，OA是半徑，我們把OE叫做弦心距(即圓心到弦的距離)，AE叫做半弦，求解與垂徑定理相關(guān)的圓類(lèi)計(jì)算問(wèn)題時(shí)，通常需要把相關(guān)數(shù)量集中到由它們所組成的直角三角形中，運(yùn)用勾股定理解決．思考1 將條件與結(jié)論互換位置思考．如圖2，⊙O的半徑為5 cm，CD為直徑，弦AB⊥CD于點(diǎn)E，OE=3 cm，求弦AB的長(zhǎng)．點(diǎn)評(píng)典例是已知半弦、弦心距，求圓的半徑問(wèn)題，而本題是已知半徑、弦心距，求半弦的問(wèn)題．探究幾何問(wèn)題的一種常用方法就是
數(shù)理化解題研究 2018年5期2018-05-09
- 落實(shí)“五步六學(xué)” 打造高效課堂
我以九年級(jí)數(shù)學(xué)《垂徑定理》為例，結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐談?wù)劇拔宀搅鶎W(xué)”教學(xué)法的具體實(shí)施策略。第一步：新課導(dǎo)入——“導(dǎo)學(xué)”。這是一堂課的起始環(huán)節(jié)，大約三到五分鐘一個(gè)藝術(shù)的新課導(dǎo)入，不僅能培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)情感，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和強(qiáng)烈的的求知欲，還能讓學(xué)生從中體會(huì)到本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)。新課導(dǎo)入有好多方式，在教學(xué)中我經(jīng)常采用實(shí)例引入法、溫故知新法等。比如學(xué)習(xí)《垂徑定理》一節(jié)就從大家都感興趣的“你能算出趙州石拱橋的半徑嗎”引入，學(xué)生們自然很好奇，激發(fā)學(xué)生的求知欲，讓學(xué)生體
課程教育研究·學(xué)法教法研究 2017年17期2017-11-18
- 《垂直于弦的直徑》教學(xué)設(shè)計(jì)
）教學(xué)重點(diǎn)：探究垂徑定理及其推論，并運(yùn)用這些結(jié)論解決一些與圓有關(guān)的證明和計(jì)算問(wèn)題。（二）教學(xué)難點(diǎn)：分清垂徑定理及其推論的條件和結(jié)論。（三）教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)：圓的軸對(duì)稱(chēng)性。二、教學(xué)目標(biāo)（一）知識(shí)與技能：理解圓的軸對(duì)稱(chēng)性，掌握?qǐng)A是軸對(duì)稱(chēng)圖形的證明方法；掌握垂徑定理及其推論，并學(xué)會(huì)運(yùn)用這些結(jié)論解決與圓有關(guān)的證明和計(jì)算題。（二）過(guò)程與方法：主要采用設(shè)疑激趣、講授、直觀演示、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)的教法。學(xué)生歷經(jīng)“實(shí)驗(yàn)、觀察、猜想、證明”的探索過(guò)程、體會(huì)探索問(wèn)題的一般方法和由一般化為特
廣西教育·A版 2016年8期2016-09-29
- 微專(zhuān)題：“圓”中常見(jiàn)定理及常見(jiàn)輔助線
知識(shí)和定理：比如垂徑定理及其推論、圓周角定理及其推論、切線的性質(zhì)定理和判定定理、切線長(zhǎng)定理等，導(dǎo)致部分一線教師對(duì)“圓”這一章內(nèi)容的教學(xué)有所淡化，這是極其嚴(yán)重的錯(cuò)誤；當(dāng)然也出現(xiàn)了一個(gè)更為極端的現(xiàn)象，有的教師把已經(jīng)刪掉的內(nèi)容又搬回了課堂.對(duì)于上述兩種極端，在教學(xué)中應(yīng)該引起一線教師的足夠重視.一、原題呈現(xiàn)如圖1，半圓O的直徑AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，則AD的長(zhǎng)為（）.說(shuō)明：所選試題為2013年四川省內(nèi)江市的一道中考選擇題，題目的題干敘述簡(jiǎn)
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年16期2016-09-09
- 淺談提高初中學(xué)生的幾何語(yǔ)言表達(dá)能力
要的知識(shí)內(nèi)容——垂徑定理在應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中時(shí)，有些問(wèn)題的已知條件的呈現(xiàn)順序給學(xué)生把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題的表述帶來(lái)了困難.有好多學(xué)生在解這類(lèi)題目時(shí)，干脆不寫(xiě)出實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，有的即使寫(xiě)了，也是漏洞重重.下面就我在教學(xué)中收集到的解題范例來(lái)談?wù)勛约旱南敕?例 如圖，有一個(gè)拱橋是圓弧形，它的跨度為60 m，拱高為18 m，當(dāng)洪水泛濫時(shí)，跨度小于30 m時(shí)，要采取緊急措施.（1）求拱橋的半徑，（2）若拱頂離水面有4 m時(shí)，問(wèn)是否要采取緊急措施？在上述
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究 2016年7期2016-05-14
- 無(wú)浮托引張線的發(fā)展和技術(shù)特點(diǎn)
析了引張線長(zhǎng)度與垂徑、線體材料特性的關(guān)系，認(rèn)為采用高強(qiáng)度、輕密度的新型材料，可使無(wú)浮托引張線長(zhǎng)度達(dá)到500 m，并提出無(wú)浮托引張線的主要技術(shù)指標(biāo)要求。水平位移；無(wú)浮托引張線；技術(shù)指標(biāo)0 前言水平位移監(jiān)測(cè)是大壩安全監(jiān)測(cè)重要監(jiān)測(cè)項(xiàng)目之一，為準(zhǔn)確掌握大壩水平位移變化情況，經(jīng)過(guò)近幾十年的發(fā)展，目前已有視準(zhǔn)線法、交會(huì)法、引張線法、垂線法等多種監(jiān)測(cè)方法和手段，其中引張線法工作原理是在兩基準(zhǔn)點(diǎn)張拉一根直線鋼絲作為基準(zhǔn)線，用以測(cè)量各被測(cè)點(diǎn)位置的相對(duì)偏移值，由于具有觀測(cè)精度
大壩與安全 2016年5期2016-02-10
- 圓中的考點(diǎn)透視
弧、弦關(guān)系定理和垂徑定理.例2 （2014·廣東珠海）如圖2，線段AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∠CAB=20°，則∠AOD等于（ ）.A. 160° B. 150°C. 140° D. 120°【分析】先求∠BOC，再利用垂徑定理求∠BOD，然后由鄰補(bǔ)角得答案.【點(diǎn)評(píng)】這類(lèi)問(wèn)題常在半徑、邊心距和邊長(zhǎng)之間構(gòu)成的直角三角形中求解.（作者單位：江蘇省興化市戴澤初級(jí)中學(xué)）
初中生世界·九年級(jí) 2015年6期2015-09-10
- 鞏固展示課在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用
）知識(shí)回顧。復(fù)習(xí)垂徑定理及推論。（2）鞏固應(yīng)用。這一部分內(nèi)容主要利用垂徑定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算，題型較全面。（3）綜合應(yīng)用。習(xí)題設(shè)計(jì)分為兩個(gè)層次，1、2題是利用垂徑定理進(jìn)行證明，3題要求學(xué)生能畫(huà)出符合題意的圖形，滲透數(shù)學(xué)分類(lèi)討論思想。（4）提升應(yīng)用。這部分內(nèi)容與實(shí)際聯(lián)系比較緊密，通過(guò)這些知識(shí)的教學(xué)，幫助學(xué)生從實(shí)際中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。（5）習(xí)題超市。這部分內(nèi)容主要是為了尖子生，引導(dǎo)尖子生提高。（6）課堂測(cè)評(píng)。目的是檢查學(xué)生對(duì)本節(jié)內(nèi)容的掌握情
黑河教育 2015年9期2015-09-07
- 關(guān)聯(lián)呼應(yīng)：源自理解數(shù)學(xué)和苦心經(jīng)營(yíng)
——對(duì)“垂徑定理”教學(xué)的再設(shè)計(jì)
心經(jīng)營(yíng) ——對(duì)“垂徑定理”教學(xué)的再設(shè)計(jì)☉江蘇省如東縣岔河中學(xué) 季衛(wèi)東一、寫(xiě)在前面最近參與某區(qū)一次大型教學(xué)研討活動(dòng)（參與聽(tīng)課的來(lái)自該地區(qū)所有初三數(shù)學(xué)教師，200多人），其間開(kāi)設(shè)了一節(jié)初三“垂徑定理”的公開(kāi)課，活動(dòng)流程清晰，學(xué)生思維活動(dòng)量較大，教師“基本功”（傳統(tǒng)意義上的“三字一話”）扎實(shí)，課后是應(yīng)景式的、標(biāo)簽式的、客套式的賞析評(píng)課，一節(jié)優(yōu)秀課就這樣被定義了，似乎各自回到教學(xué)崗位后，以后的新授課就可以這樣上了．然而近年來(lái)筆者閱讀喜歡與涉獵所限，頗受人民教育出版
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2015年22期2015-03-22
- 優(yōu)選“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，注重變式教學(xué)
——以“垂徑定理”教學(xué)為例
式教學(xué) ——以“垂徑定理”教學(xué)為例☉江蘇省海安縣李堡鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué) 陶然“垂徑定理”一直是教學(xué)研究的熱點(diǎn)，過(guò)往的教學(xué)常常是從折紙操作出發(fā)，感受軸對(duì)稱(chēng)圖形，并在此基礎(chǔ)上證明垂徑定理和推論，再以例、習(xí)題應(yīng)用定理的流程進(jìn)行.筆者最近有機(jī)會(huì)執(zhí)教該課，基于軸對(duì)稱(chēng)視角引導(dǎo)學(xué)生研究圓，并從證明圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形出發(fā)，順便獲得垂徑定理和相關(guān)推論，也取得了較好的教學(xué)效果，本文記錄該課的教學(xué)設(shè)計(jì)，并闡釋教學(xué)立意，供研討.一、“垂徑定理”教學(xué)設(shè)計(jì)（一）教學(xué)目標(biāo)（1）從軸對(duì)稱(chēng)角度研究圓，
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2015年10期2015-03-17
- 課例“垂徑定理”教案賞析
它是軸對(duì)稱(chēng)圖形，垂徑定理是圓對(duì)稱(chēng)性衍生出的一個(gè)重要性質(zhì)，在圓的很多問(wèn)題中都需要用到垂徑定理及其推論. 上好這節(jié)課事關(guān)學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)，值得仔細(xì)探究與學(xué)習(xí).[關(guān)鍵詞] 垂徑定理;激疑引趣垂徑定理是蘇教九年級(jí)上冊(cè)圓的對(duì)稱(chēng)性這一節(jié)的重要內(nèi)容，它是圓對(duì)稱(chēng)的具化反映，是圓對(duì)稱(chēng)性的延伸與拓展，揭示了圓的弦與直徑、弧與弧之間的幾何關(guān)系和代數(shù)關(guān)系. 通過(guò)垂徑定理的探究與運(yùn)用，會(huì)向?qū)W生滲透“特殊—一般—特殊”的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生觀察分析、歸納概括的能力.聯(lián)系語(yǔ)文，激疑引趣1.
數(shù)學(xué)教學(xué)通訊·小學(xué)版 2014年11期2014-12-13
- 如何靈活應(yīng)用垂徑定理及其推論
杭靜垂徑定理及其推論，主要應(yīng)用于研究直徑與同圓中的弦、弧之間的垂直平分關(guān)系，其內(nèi)容雖然簡(jiǎn)單，但要靈活應(yīng)用卻非易事.現(xiàn)舉例說(shuō)明.1. 利用垂徑平分弦所對(duì)的弧構(gòu)成相等的圓心（周）角例1 （2013·廣西梧州）如圖1，AB是☉O的直徑，AB垂直于弦CD，∠BOC=70°，則∠ABD=（ ）.A. 20° B. 46°C. 55° D. 70°【解析】連接OD，∵AB垂直于弦CD，∴=，∠BOD=∠BOC=70°；∵OB=OD，∴∠ABD=×（180°-70°）=
初中生世界·九年級(jí) 2014年10期2014-10-29
- 百密不疏防漏解
D⊥AB于D，由垂徑定理得所以∠OAB=30°.同理∠OBD=30°.因?yàn)椤螦OB=120°.因?yàn)橄褹B所對(duì)圓周角等于是∠AOB的一半，所以弦AB所對(duì)圓周角為60°.分析：由于圓周角的頂點(diǎn)位置可能在優(yōu)弧AB上，也可能在劣弧AB上（如圖2），所以弦AB所對(duì)的圓周角有兩種可能.因?yàn)椤螦PB+∠AP1B=180°，所以∠AP1B=120°.所以AB所對(duì)圓周角的度數(shù)為60°或120例 2 如圖3，半徑為2的⊙O中，弦上一點(diǎn)，且PA=PB，求S△ABP.錯(cuò)解：作PD
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2012年2期2012-08-27
- 淺談引張線觀測(cè)的布置與計(jì)算
明，引張線越長(zhǎng)，垂徑f值越大。為了減小引張線的垂徑采用安裝浮托裝置的辦法，以解決垂徑過(guò)大的問(wèn)題。加入浮托裝置后，整個(gè)線段的水平投影仍為一直線，如圖二。圖 二1）懸垂線的垂徑計(jì)算：近似計(jì)算公式： （1）式中：l 為線段長(zhǎng)度，以m計(jì)；g 為懸線單位重（kg/m）；H 為水平張力，近似于錘重，以kg計(jì)。朱莊水庫(kù)的引張線，采用不銹鋼絲φ為0.9毫米，懸線單位重g為0.005kg/m，錘重w是40kg，在沒(méi)有浮托支撐情
城市建設(shè)理論研究 2011年28期2011-12-31
- 垂徑定理在圓錐曲線中的推廣和運(yùn)用
很重要的性質(zhì)叫“垂徑定理”：若AB為⊙O的一條弦，P為AB的中點(diǎn)，則k㎡P?k〢B=-1.這一性質(zhì)可以在圓錐曲線中進(jìn)行推廣，而且有很好的應(yīng)用價(jià)值.(為敘述方便，下文把推廣的結(jié)論都稱(chēng)作定理.)定理1 若點(diǎn)P在橢圓x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的不平行于對(duì)稱(chēng)軸且不過(guò)橢圓中心O的弦AB的中心，則k㎡P?k〢B=-b2a2.定理2 若點(diǎn)P是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的不平行于對(duì)稱(chēng)軸且不過(guò)雙曲線中心O的弦AB的中點(diǎn)，則k㎡P?k〢B=b
中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2008年1期2008-12-10
- 垂徑定理的應(yīng)用
丁廣琳垂徑定理及其推論，是圓一章最重要的定理，在計(jì)算、證明、作圖、生產(chǎn)生活等各個(gè)方面都有廣泛的應(yīng)用.一、確定圓心和半徑確定圓心的常用方法有：① 用垂徑定理 作任意兩條弦的中垂線，這兩條中垂線的交點(diǎn)就是圓心；② 利用垂徑定理的推論 90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，兩條直徑的交點(diǎn)就是圓心.例1 有一塊圓形木板，小軍要在它的正中間打一個(gè)小孔，制一個(gè)玩具，而身邊只有一塊三角板（三角板的斜邊大于圓的直徑），你能幫他找到圓心嗎？解析： 借助三角板的直角，可以利用垂徑定理
中學(xué)生數(shù)理化·中考版 2008年9期2008-12-01