立足“三個(gè)理解” 促進(jìn)“四能”發(fā)展
——以“垂徑定理”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例

趙紅琴

(江蘇省太倉市實(shí)驗(yàn)中學(xué),215400)

章建躍博士提出的“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)是課改的三大基石”引起了數(shù)學(xué)教師的廣泛共鳴,也為課堂教學(xué)改革提供了理論依據(jù).好的教學(xué)設(shè)計(jì)就是要充分解讀教材,尊重學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu),采用恰當(dāng)?shù)奶骄炕顒?dòng)去設(shè)置教學(xué)環(huán)節(jié),充分發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力.下面筆者以“垂徑定理(第一課時(shí))”為例談?wù)劵凇叭齻€(gè)理解”的教學(xué)設(shè)計(jì).

一、“三個(gè)理解”理念下的“垂徑定理”的教學(xué)價(jià)值

1.高位理解數(shù)學(xué),把握知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)

理解數(shù)學(xué),就是要求教師深度解讀教材、高位理解教材用意、溯本求源、把握知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn),梳理清楚數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性和邏輯結(jié)構(gòu).

垂徑定理是蘇科版九年級(jí)上冊(cè)的第二章的內(nèi)容,是繼八年級(jí)下冊(cè)“中心對(duì)稱圖形平行四邊形”之后的幾何章節(jié),也可以理解為對(duì)特殊的中心對(duì)稱圖形進(jìn)一步的深入研究.垂徑定理是圓的軸對(duì)稱性的具體化結(jié)論,更是本章的重要性質(zhì),而這個(gè)定理揭示了滿足條件的直徑、弦、弧的相互關(guān)系，也是今后證明線段相等、角相等、弧相等以及線段垂直關(guān)系等內(nèi)容的重要依據(jù),又為圓內(nèi)的計(jì)算、作圖等提供了依據(jù)和思路,而且在解決實(shí)際問題中也起到重要的作用.垂徑定理的教學(xué)目標(biāo)是:感悟圓的軸對(duì)稱性,探索并證明垂徑定理,積累重要的幾何基本圖形和解題經(jīng)驗(yàn).

2充分理解學(xué)生,遵循學(xué)生的需求

理解學(xué)生,就是要從學(xué)生角度理解知識(shí),熟悉學(xué)生的思維階段、方式及特點(diǎn),還要對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、已有的認(rèn)知、學(xué)生的情緒狀態(tài)都應(yīng)予以關(guān)注.

九年級(jí)的學(xué)生思維比較活躍,也具備了探究學(xué)習(xí)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ).學(xué)生在學(xué)習(xí)垂徑定理之前已經(jīng)掌握了軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)、圓的基本知識(shí)、勾股定理等,數(shù)學(xué)知識(shí)有了一定的積累,但對(duì)于圓里面的相關(guān)性質(zhì)結(jié)論應(yīng)用還比較陌生,探索過程與程序可能會(huì)有一點(diǎn)散亂.因此教師要明確本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn),重點(diǎn)就是垂徑定理的證明,難點(diǎn)是從較復(fù)雜圖形中或者生活實(shí)際中抽象出基本圖形,轉(zhuǎn)化為可以用垂徑定理解決的幾何問題.

3.深刻理解教學(xué),符合教學(xué)的生長(zhǎng)規(guī)律

理解教學(xué),是指要遵循教學(xué)的生長(zhǎng)規(guī)律,注重知識(shí)的生成過程,開展有深度、有價(jià)值的教學(xué)活動(dòng),使學(xué)生以主人翁的精神來參與活動(dòng)，讓學(xué)生在獲得知識(shí)的同時(shí)，也使思維和情感及數(shù)學(xué)思想方法得到培育及提升.

隨著教改的推進(jìn),對(duì)幾何定理的教學(xué)早已不再是冷冰冰地給出“結(jié)論—證明—應(yīng)用”的模式.本節(jié)課通過對(duì)垂徑定理的探究,讓學(xué)生經(jīng)歷從感性到理性、從具體到抽象、由猜想到論證的過程,充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)類比、轉(zhuǎn)化、方程、建模等數(shù)學(xué)思想方法,努力發(fā)展學(xué)生“四能”,培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì).

二、“三個(gè)理解”教學(xué)價(jià)值指引下的“垂徑定理”的教學(xué)設(shè)計(jì)

1.動(dòng)手嘗試,創(chuàng)設(shè)情境,發(fā)現(xiàn)問題

活動(dòng)1 一張圓形紙片,大家有沒有辦法找到圓心?

設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)了簡(jiǎn)單易操作的問題情境,觸動(dòng)學(xué)生動(dòng)手的愿望,激活探究興趣.學(xué)生通過兩次折紙找圓心,可進(jìn)一步讓學(xué)生在紙片上畫出圓心(圖1).基于小學(xué)對(duì)圓的初步認(rèn)識(shí),學(xué)生會(huì)將結(jié)論進(jìn)行一定的描述,也會(huì)對(duì)描述相互的補(bǔ)充和更正.可歸納整理得出:圓是軸對(duì)稱圖形,過圓心的任意一條直線都是圓的對(duì)稱軸,圓有無數(shù)條對(duì)稱軸.

2.抽象轉(zhuǎn)化,猜想歸納,提出問題

活動(dòng)2 在上面圖中任意畫一條弦(圖2),上圖還是軸對(duì)稱圖形嗎?對(duì)稱軸是什么?

設(shè)計(jì)意圖在活動(dòng)1的基礎(chǔ)上學(xué)生可以繼續(xù)折紙,再用文字語言來描述這條折痕,可以把學(xué)生所描述的關(guān)鍵詞寫在黑板上,進(jìn)一步讓學(xué)生在紙上畫出折痕,通過這樣一個(gè)過程,將實(shí)驗(yàn)操作抽象為幾何圖形的翻折變換(圖3),加深對(duì)圓的軸對(duì)稱性的理解,培養(yǎng)了學(xué)生的抽象能力.

(1)啟發(fā)探究:這是具有特殊位置的兩條弦,必然會(huì)有一些特殊的結(jié)論,你能發(fā)現(xiàn)嗎?

設(shè)計(jì)意圖設(shè)置了一個(gè)開放性的問題,在具有特殊位置兩條弦的條件下,引導(dǎo)學(xué)生去猜想、探索和發(fā)現(xiàn)線段之間、弧之間存在的關(guān)系.讓學(xué)生寫在黑板上,并啟發(fā)學(xué)生判斷以上各猜想是否正確.

3.分析問題,探究本質(zhì),推理證明

(1)證明猜想

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度來分析，進(jìn)一步證實(shí)猜想.一方面可以用圓的軸對(duì)稱性,用圖形運(yùn)動(dòng)的方法,沿直徑翻折,使兩個(gè)半圓重合,相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)、線段、弧重合來解釋;另一方面可以利用等腰三角形性質(zhì)或者全等三角形進(jìn)行推理證明.教師可以和學(xué)生一起,結(jié)合圖形,書寫證明過程.

(2)描述定理

設(shè)計(jì)意圖幾何教學(xué)中,對(duì)圖形用文字語言、符號(hào)語言描述可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的概括性以及表達(dá)能力,讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想以及數(shù)學(xué)語言的簡(jiǎn)潔美.

(3)用垂徑定理對(duì)圓的軸對(duì)稱性加以解釋

設(shè)計(jì)意圖溯本求源,構(gòu)建知識(shí)間的本質(zhì)聯(lián)系,增加知識(shí)的系統(tǒng)性和一致性.垂徑定理是圓的軸對(duì)稱性的具體化體現(xiàn),垂徑定理的證明過程也可以來解釋圓的軸對(duì)稱性,進(jìn)一步體現(xiàn)了知識(shí)的相互關(guān)聯(lián).

(4)根據(jù)圖4—7的標(biāo)注,是否可以根據(jù)垂徑定理找到相等的線段或相等的弧?

設(shè)計(jì)意圖一方面鞏固加深對(duì)定理的理解,對(duì)直徑變形為“過圓心”有了體會(huì),同時(shí)讓學(xué)生熟悉圖形,為下面進(jìn)一步解決相關(guān)問題做準(zhǔn)備.

4.強(qiáng)化建模,關(guān)聯(lián)呼應(yīng),解決問題

例題1如圖8，已知在⊙O中,弦AB的長(zhǎng)為24cm,圓心O到AB的距離為5cm,則⊙O的半徑=______.

變式如圖9,一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(圖中的弧ACB),點(diǎn)O是這段弧的圓心,C是AB上一點(diǎn),OC⊥AB,垂足為D,AB=600m,CD=100m,求這段彎路的半徑.

設(shè)計(jì)意圖設(shè)置了一個(gè)典型的基礎(chǔ)題,鼓勵(lì)不同層次的學(xué)生一起參與課堂活動(dòng),引導(dǎo)學(xué)生添加輔助線,經(jīng)歷構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程.變式題是生活實(shí)際問題,輔助線多,構(gòu)圖要求高.這樣的設(shè)計(jì)由淺入深,提煉出垂徑定理的基本模型,一起分析歸納模型的結(jié)構(gòu)特征:一個(gè)圖形(直角三角形)、兩條輔助線(弦心距和半徑)、四個(gè)量(半徑、弦、弦心距和弓高)之間的關(guān)系.這樣的整理和思考能有效地提高學(xué)生對(duì)圖形的分析認(rèn)識(shí)能力,也可以鼓勵(lì)學(xué)生自己編題訓(xùn)練.

例題2如圖10:已知在圓O中,AB，CD兩弦互相垂直于點(diǎn)P,CP=6,DP=2,圓心O到CD的距離為3.則圓O半徑為______，圓心O到AB的距離為______，弦AB長(zhǎng)______.

變式如圖11,CD為圓O的直徑,弦AB交CD于E, ∠CEB=30°,DE=6,CE=2,求弦AB的長(zhǎng).

設(shè)計(jì)意圖例2可看成是將例1圖形中的弦的平移,變式題也可以看成是對(duì)例1圖形一般化,逐步增加題目難度,啟發(fā)學(xué)生思考，加深對(duì)基本模型的認(rèn)識(shí),構(gòu)建知識(shí)間的關(guān)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)中的特殊到一般的思想,讓學(xué)生經(jīng)歷圖形的一種動(dòng)態(tài)的變化,使他們能多角度、多層次地理解定理.

例題3求證:平行弦所夾的弧相等.

變式已知⊙O的半徑為10cm,⊙O的弦AB∥CD且AB=12cm,CD=16cm,在圖12中畫出弦CD,則兩弦之間的距離是______.

設(shè)計(jì)意圖例3是以前教材作為垂徑定理的一個(gè)推論,現(xiàn)在是作為一個(gè)問題提出,也可以理解為是圓中兩條弦的另一種特殊位置平行時(shí)的性質(zhì);設(shè)置為一個(gè)證明題可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力,也可以鍛煉學(xué)生證明書寫能力.例3的變式題對(duì)學(xué)生能力要求變高,滲透了分類討論思想,作輔助線的難度也增加,讓學(xué)生在動(dòng)手操作中體會(huì),進(jìn)一步加深對(duì)基本模型的理解.

5.圖形小結(jié),歸納梳理,反思深化

設(shè)計(jì)意圖利用結(jié)構(gòu)圖形的形式總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容,形象直觀.既是對(duì)本節(jié)課模型的整理、對(duì)數(shù)學(xué)思想的整理,也是對(duì)圖形關(guān)聯(lián)關(guān)系的整理.縱然圖形可以變化,但解決問題的思想方法可以融會(huì)貫通.同時(shí)還可以引導(dǎo)學(xué)生歸納垂徑定理的主要用處:① 在圓中進(jìn)行計(jì)算;② 證明線段相等;③ 證明弧相等;④ 找到弧的中點(diǎn)等.

三、教學(xué)反思

1.構(gòu)建教學(xué)環(huán)節(jié)的關(guān)聯(lián)呼應(yīng),促進(jìn)學(xué)生思維生長(zhǎng)

基于對(duì)教學(xué)內(nèi)容的深度理解,精準(zhǔn)把握知識(shí)點(diǎn)間的邏輯關(guān)系,教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)關(guān)聯(lián)呼應(yīng),可以幫助學(xué)生更好理解新知,促進(jìn)學(xué)生邏輯思維的培養(yǎng)和發(fā)展.本設(shè)計(jì)在活動(dòng)1和活動(dòng)2動(dòng)手操作,安排了活動(dòng)的呼應(yīng);在證明垂徑定理后,反過來對(duì)圓的軸對(duì)稱性進(jìn)行推理證明,是知識(shí)點(diǎn)間的呼應(yīng);證明定理后的練習(xí)和例2的變式題,是圖形的呼應(yīng);最后設(shè)置圖形導(dǎo)圖對(duì)本節(jié)課進(jìn)行小結(jié),是對(duì)整節(jié)課的主要結(jié)論、圖形變化、思想方法的整體呼應(yīng).這樣的關(guān)聯(lián)呼應(yīng),使整個(gè)設(shè)計(jì)環(huán)環(huán)相扣,思路清晰,邏輯一以貫之.

2.注重例、習(xí)題間的自然過度,轉(zhuǎn)變學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式

例、習(xí)題的巧妙選擇不僅是對(duì)知識(shí)的應(yīng)用和鞏固,更可以促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的優(yōu)化和學(xué)習(xí)水平的提高.垂徑定理的應(yīng)用對(duì)運(yùn)算和推理都有要求.因此本節(jié)課通過圖形的運(yùn)動(dòng)對(duì)例、習(xí)題進(jìn)行變式,是為了三個(gè)環(huán)節(jié)——由基本的運(yùn)算到推理,到解決實(shí)際問題;由基本圖形到兩弦垂直、相交、平行;從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從特殊到一般——平滑自然過渡.學(xué)生出于自主探究的學(xué)習(xí)狀態(tài),在同一模型、不同形式的題目探究中既升華了知識(shí),又促進(jìn)了知識(shí)點(diǎn)的正向遷移.

3.加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的滲透,培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

本節(jié)課引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建了垂徑定理基本模型,把復(fù)雜的問題理想化和簡(jiǎn)單化.因此平時(shí)教學(xué)中，教師要對(duì)教材自然加工,靈活構(gòu)建,滲透數(shù)學(xué)思想,多層次、全方位地培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成.