芻議初中數(shù)學(xué)解題中的模型思想

王沐蓉

(湖南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,412007)

一、前言

在數(shù)學(xué)解題的過(guò)程中,我們常常會(huì)通過(guò)某種中介工具去構(gòu)建該題與一種已知的、熟悉的數(shù)學(xué)模型之間的聯(lián)系,使之能夠通過(guò)這個(gè)模型來(lái)解答問(wèn)題．為了解決一個(gè)難題,經(jīng)常會(huì)先證明幾個(gè)重要的結(jié)論作為“引理”,這種“引理”其實(shí)也是模型,它往往是問(wèn)題解決中的思考方向和關(guān)鍵工具[1].建立模型的主要目的就是為了解決問(wèn)題,而建立模型可以縮短問(wèn)題的推理過(guò)程,甚至能引導(dǎo)學(xué)生更直接地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)[1].教師要在主要知識(shí)點(diǎn)通過(guò)多種方式來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的模型思想.

二、 數(shù)學(xué)模型思想相關(guān)概述

數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的范式總結(jié)，是為了方便解決問(wèn)題而提煉出來(lái)的.通俗地說(shuō),數(shù)學(xué)模型可以是形狀、公式、定理、概念、法則等．在義務(wù)教育階段,用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號(hào)所建立起來(lái)的不等式、代數(shù)式、方程等都是數(shù)學(xué)模型．?dāng)?shù)學(xué)模型思想本質(zhì)上是培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際中的問(wèn)題的能力,是一種數(shù)學(xué)的基本思想．

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容,采用‘問(wèn)題情境-建立模型-解釋、應(yīng)用與拓展’的模式展開(kāi),讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成與應(yīng)用過(guò)程…[2].模型思想可以讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中形成解決問(wèn)題的一種思維方式,也可以啟發(fā)學(xué)生的解題方向,不致于讓他們?cè)谂龅叫路f題目時(shí)無(wú)從下手．?dāng)?shù)學(xué)模型最終能使學(xué)生理解概念的本質(zhì).教師要讓學(xué)生逐步地從學(xué)習(xí)模型思想,到自己歸納、總結(jié)模型,最后使自己體會(huì)建立模型的樂(lè)趣,從而提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)．

三、數(shù)學(xué)模型思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

下面我們例談數(shù)學(xué)模型思想解決常見(jiàn)實(shí)際問(wèn)題．

1.構(gòu)建函數(shù)模型

函數(shù)是整個(gè)初中的重點(diǎn)內(nèi)容,指因變量隨著自變量的變化而變化,它反映了現(xiàn)實(shí)世界眾多的關(guān)系和規(guī)律．例如計(jì)劃決策,方案投資、居民用度等,都可建立函數(shù)模型加以解決．其基本步驟是發(fā)現(xiàn)函數(shù)模型→建立函數(shù)模型→求解函數(shù)模型→確定實(shí)際問(wèn)題的解．

例1某市為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水,采用分段計(jì)費(fèi)的方法按月計(jì)算每戶家庭的水費(fèi),月用水量不超過(guò)20立方米時(shí),按2元/立方米計(jì)費(fèi);月用水量超過(guò)20立方米時(shí),其中的20立方米仍按2元/立方米計(jì)費(fèi),超過(guò)部分按2.6元/立方米計(jì)費(fèi)．小明家小明家第二季度用水情況如下表:

月份四月份五月份六月份用水量152124

小明家這個(gè)季度共交水費(fèi)多少元?

解① 分析問(wèn)題:根據(jù)題意,采用分段計(jì)費(fèi),應(yīng)該分別建立模型.由于不同的用水量收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)不同,所以可建立分段函數(shù)模型．假設(shè)每戶家庭月用水量為x立方米,當(dāng)用水量不超過(guò)20立方米時(shí),應(yīng)交水費(fèi)f(x)(元);超過(guò)20立方米時(shí),應(yīng)交水費(fèi)g(x)(元),當(dāng)季度總水費(fèi)為W(元)建立如下函數(shù)模型．

W=四月份水費(fèi)+五月份水費(fèi)+六月份水費(fèi)

其中f(x)=2x,(0≤x≤20)；

g(x)=2×20+2.6(x-20)，(x>20).

② 對(duì)于上述模型,形式比較復(fù)雜,可以適當(dāng)進(jìn)行化簡(jiǎn),便于后期的計(jì)算．通過(guò)化簡(jiǎn)得到

其中f(x)=2x,(0≤x≤20)；

g(x)=2.6x-12，(x>20).

這就是最終的函數(shù)模型,當(dāng)季總的水費(fèi)W是由這兩個(gè)函數(shù)模型計(jì)算得出．

③ 求這個(gè)季度的應(yīng)交水費(fèi)W,只需將相應(yīng)的用水量帶入模型,根據(jù)公式相加即可．

小結(jié)對(duì)于一些分段、分類型、分水平的問(wèn)題,常常采用分段函數(shù)的模型來(lái)解決.值得注意的是分段函數(shù)模型每一段的定義域要符合題目所給的條件,也要準(zhǔn)確地依據(jù)題意建立模型．

2.構(gòu)建方程、不等式(組)模型

方程、不等式(組)是將現(xiàn)實(shí)中的問(wèn)題數(shù)學(xué)化后,利用設(shè)未知數(shù),代入等量或者大小關(guān)系式,再利用解方程(組)、不等式(組)的形式得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決,從而解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題.現(xiàn)實(shí)生活中廣泛存在著數(shù)量之間的等量或不等量關(guān)系,如增長(zhǎng)率、銷售定價(jià)、工程問(wèn)題等問(wèn)題,模型思想的關(guān)鍵是找出等量或不等量關(guān)系,設(shè)定合適的未知數(shù),用未知數(shù)表示出來(lái),就得到了我們的方程或不等式模型,從而得到問(wèn)題的解決．

例2某文教店用1200元購(gòu)進(jìn)了A，B兩種羽毛球拍．已知A種羽毛球拍進(jìn)價(jià)為每副12元,B種羽毛球拍進(jìn)價(jià)為每副10元．文教店在銷售時(shí)A種羽毛球拍售價(jià)為每副15元,B種羽毛球拍售價(jià)為每副12元,全部售完后共獲利270元．

(1)求這個(gè)文教店購(gòu)進(jìn)A，B兩種羽毛球拍各多少副;

(2)若該文教店以原進(jìn)價(jià)再次購(gòu)進(jìn)A，B兩種羽毛球拍,且購(gòu)進(jìn)A種羽毛球拍的數(shù)量不變,而購(gòu)進(jìn)B種羽毛球拍的數(shù)量是第一次的2倍,B種羽毛球拍按原售價(jià)銷售,而A種羽毛球拍降價(jià)銷售．當(dāng)兩種羽毛球拍銷售完畢時(shí)要使再次購(gòu)進(jìn)的羽毛球拍獲利不少于340元,A種羽毛球拍最低售價(jià)每副應(yīng)為多少元?

解① 分析問(wèn)題:題目中出現(xiàn)了許多名詞,如進(jìn)價(jià)、售價(jià)、獲利,我們需要找到它們之間的等量關(guān)系,以此來(lái)建立方程(組)模型．題中的獲利即利潤(rùn),利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià),根據(jù)題意,我們可得到兩個(gè)等量關(guān)系組:

又A種羽毛球拍的獲利=A種羽毛球拍的數(shù)量×每副B種羽毛球拍的獲利.

同理可得：

B種羽毛球拍的獲利=B種羽毛球拍的數(shù)量×每副B種羽毛球拍的獲利．

② 對(duì)于上述等量關(guān)系,我們不妨設(shè)文教店購(gòu)進(jìn)A種羽毛球拍x副,B種羽毛球拍y副,得到：

上述模型就是我們依據(jù)題目的等量關(guān)系建立的方程模型,要求文教店購(gòu)進(jìn)A，B兩種羽毛球拍各多少副,解出上述模型的未知數(shù)即可．

3.構(gòu)建幾何模型

幾何模型是中考的重要知識(shí)點(diǎn),對(duì)學(xué)生的空間想象能力要求比較高,還需要學(xué)生對(duì)各類模型有一定的熟悉度才能靈活運(yùn)用．生活中隨處可見(jiàn)幾何,如航海、測(cè)量、道路橋梁設(shè)計(jì)等.隨著知識(shí)量的增加,幾何模型的應(yīng)用范圍更廣、難度也更大．

例3如圖1,在等邊?ABC中,AB=6，N為線段AB上的任意一點(diǎn),∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D,M是AD的動(dòng)點(diǎn),連結(jié)MB，MN.求MB+MN的最小值．

解① 分析:題中涉及到“動(dòng)點(diǎn)”“最小值”等字眼,啟示學(xué)生去思考能不能轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”或者“垂線段最短”來(lái)解決問(wèn)題.這里就涉及到了“將軍飲馬”模型,將同側(cè)的定點(diǎn)轉(zhuǎn)化為異側(cè),利用以上兩個(gè)定理來(lái)解決問(wèn)題．

② 找B點(diǎn)關(guān)于定直線AD的對(duì)稱點(diǎn),即點(diǎn)C,當(dāng)C，M，N三點(diǎn)共線,且CN⊥AB,MB+MN有最小值,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB,垂足為點(diǎn)E,則最小值為CE的長(zhǎng)．

以上模型屬于將軍飲馬問(wèn)題中的“兩定一動(dòng)”型,還有“兩動(dòng)一定”“三動(dòng)型”等等,其本質(zhì)都是通過(guò)“兩點(diǎn)之間線段最短”以及“垂線段最短”來(lái)解決問(wèn)題．類似于上述的幾何模型還有很多,比如“一線三等角”“費(fèi)馬點(diǎn)定理”等等,許多題目都不是直接將模型呈現(xiàn)出來(lái),而是需要學(xué)生以熟悉的幾何模型作為切入點(diǎn),再要克服思維定勢(shì),才能最終找到適合的解題方法．

4.構(gòu)建概率模型

隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值叫做概率.函數(shù)是研究變量之間確定的關(guān)系,而概率是研究變量之間不確定的關(guān)系．概率模型是最貼近生活的模型,因?yàn)殡S機(jī)事件發(fā)生的可能性幾乎充盈在生活的每一個(gè)角落.如，“拋一枚硬幣,正面朝上的可能性有多大”“擲一枚骰子,骰到六點(diǎn)的可能性有多大”等.構(gòu)建概率模型,能使上述問(wèn)題更加直觀,且具有說(shuō)服力．

例4甲、乙兩名同學(xué)玩一個(gè)游戲:在一個(gè)不透明的口袋中裝有標(biāo)號(hào)分別為1,2,3,4的四個(gè)小球(處標(biāo)號(hào)外無(wú)其他差異).從口袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球,記下標(biāo)號(hào)后放回口袋中,充分搖勻后,再?gòu)目诖须S機(jī)摸出一個(gè)小球,記下該小球的標(biāo)號(hào),兩次記下的標(biāo)號(hào)分別用x,y表示，若x+y為奇數(shù)，則甲獲勝；若x+y為偶數(shù)，則乙獲勝你認(rèn)為這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平么?

解① 分析問(wèn)題:將此問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題即為x+y為奇數(shù)和偶數(shù)的概率分別是多少?哪個(gè)概率大?

∴P(甲獲勝)=P(乙獲勝)

既然獲勝的概率是一樣的,所以這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平．

在初中階段的概率模型中,古典概型是最常見(jiàn)的.準(zhǔn)確地應(yīng)用具體的概率模型是描述事件可能性的中心環(huán)節(jié)．

四、結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)以上例題的分析,我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型思想在解題中的有效應(yīng)用,不僅可以降低解題的難度、提高了解題效率,也能更好地讓學(xué)生理解解題過(guò)程的合理性.這對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的的培育有著積極作用.教師的關(guān)注點(diǎn)應(yīng)該放在如何引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中的模型和建立模型上.讓學(xué)生經(jīng)歷感知模型、建立模型、拓展模型歸納模型、遷移模型這一過(guò)程,不僅可以提高學(xué)生思維的質(zhì)量,還可以全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．