問題導(dǎo)向 開放探究 助力思維*
——“點與圓上的點的最值問題”微專題復(fù)習(xí)

張 超

(江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)東沙湖實驗中學(xué)，215021)

初三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí),旨在從“碎片化”的基礎(chǔ)知識系統(tǒng)復(fù)習(xí)向重難點專題突破過渡.微專題是對專題復(fù)習(xí)的有效補充.在備考過程中,教師若能將知識“化零為整”,分割成若干個微專題給學(xué)生進行專項突破,往往能夠達到“小身材,大能量”的教學(xué)效果.疫情期間,筆者在線上開設(shè)了一節(jié)市級初三中考復(fù)習(xí)研討課,深度融合信息技術(shù)的課堂,以問題為導(dǎo)向,促進學(xué)生開放探究,為了提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.本文以“點與圓上的點的最值問題”微專題復(fù)習(xí)為例,談?wù)勛约旱囊恍┮娊?

一、設(shè)計流程與思考

1.確立主題方法提煉

提出問題:平面內(nèi),點P到圓上一點的距離最長為6,最短為2,求圓的半徑?

學(xué)生活動:動手畫圖,通過畫線段,測量線段長度等方式,學(xué)生歷經(jīng)動手操作,形成猜想,嘗試說理的過程.

方法提煉

根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知:

|OA-OB|≤AB≤OA+OB, 當O,A,B三點共線時等號成立.

設(shè)計意圖確立本節(jié)課研究主題——點與圓上的點的最值問題.利用分類的思想,找到圖1,圖2兩個基本圖形,同時完成對上述問題的猜想的驗證.揭示平面內(nèi)一點與圓上一動點最值問題的原理,方法的提煉為解決此類問題提供了思維的路徑.

2.聯(lián)想突破方法鞏固

問題1如圖3,Rt?ABC,AB⊥BC,AB=6,BC=4,以AB為直徑的半圓交AC于點D,P是弧BD上一個動點,連結(jié)CP.求CP的最小值?

問題2如圖4,點P坐標(3,4),圓P的半徑為2,B為x軸上任意一點,A是線段OB中點,點M是圓P上的動點,點C是線段MB的中點.求AC的取值范圍?

問題3如圖5,在平面直角坐標系xOy中,設(shè)點P(m,n)是以點C(1,4)為圓心,1為半徑的圓上一動點,二次函數(shù)y=x2-1的圖像與x軸相交于A,B兩點.求PA2+PB2的最大值?

設(shè)計意圖問題1是讓學(xué)生結(jié)合具體圖形套用方法.后面兩個問題都涉及轉(zhuǎn)化思想,其中問題2是利用中點構(gòu)造三角形中位線進行轉(zhuǎn)化,而問題3是通過坐標表示線段長度實現(xiàn)轉(zhuǎn)化.低起點、有梯度的問題探究使得學(xué)生的思維螺旋上升,并激發(fā)了探究的興趣.

方法鞏固的三個問題,體現(xiàn)找尋連圓心、畫線段、求距離的基本套路.問題2和問題3都沒有直接指向點與圓上的點的最值.讓學(xué)生結(jié)合題設(shè)條件產(chǎn)生合情、合理的聯(lián)想實現(xiàn)轉(zhuǎn)化成為解題的關(guān)鍵.對問題2,由圖形中A,C兩點是中點,學(xué)生聯(lián)想到中位線,連結(jié)OM,實現(xiàn)轉(zhuǎn)化.問題3的目標導(dǎo)向,由線段平方的和,讓學(xué)生聯(lián)想到勾股定理,通過點P(m,n)表示出PA2+PB2=2(m2+n2)+2,再由“數(shù)”的表示引導(dǎo)學(xué)生對應(yīng)到“形”,學(xué)生順勢聯(lián)想到線段OP2,最終轉(zhuǎn)化為點與圓上的點的最值問題.以問題為導(dǎo)向,通過對題設(shè)條件的“聚焦”,幫助學(xué)生積累“聯(lián)想”的經(jīng)驗.

3.多元表征方法應(yīng)用

問題4如圖6,在?ABC中,∠ACB=90°,BC=6,AC=8,D是AC的中點,P是BC上的一個動點,將?DCP沿DP所在的直線翻折得到?DC′P.你能提出哪些問題?

變式現(xiàn)將?ABC繞頂點C旋轉(zhuǎn)α°(0°≤α≤360°)形成?A′B′C,如圖7所示,M是A′B'的中點,連結(jié)BM.求BM的取值范圍.

變式如圖9,點P在Rt?ABC內(nèi)部,滿足∠PAB=∠PBC,連結(jié)BP.求CP最小值.

設(shè)計意圖從顯圓到隱圓的過渡,讓學(xué)生找出與上述探究問題的“同”與“不同”.問題4和問題5開放性探究的設(shè)置,讓學(xué)生自主去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題并且嘗試解決問題.學(xué)生在圓的多元表征下追尋動點的運動蹤跡、畫出動點的運動路徑(圓)、應(yīng)用已有方法解決與隱圓相關(guān)的線段最值問題.

學(xué)生歷經(jīng)對圖形信息的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等過程,從發(fā)現(xiàn)隱性圓,到類比探究,再到實現(xiàn)了知識的串聯(lián),從而提高了問題意識.問題4及其變式,展示圖形翻折與旋轉(zhuǎn).問題5及其變式,通過動點P的位置變化,讓學(xué)生探求到動態(tài)過程中隱藏著相等的數(shù)量關(guān)系(線段、角度).在圓的多元表征下,從不同的問題背景中抽象出點圓最值的基本圖形,提高學(xué)生解決問題的能力.

4.揭示模型回溯本源

問題6回顧上述探究過程,你能找到哪些隱圓模型?

學(xué)生活動:獨立思考后各小組學(xué)生合作交流,指定組內(nèi)代表發(fā)言.

師生相互補充,共同歸納出圖10——13四種常見隱圓模型.

設(shè)計意圖本節(jié)課不僅在于學(xué)生掌握點與圓上的點的最值問題的解題策略,更重要的是領(lǐng)悟數(shù)量關(guān)系和幾何圖形的對應(yīng),形成軌跡意識.隱圓也只是探究的個例,所隱的也不僅限于圓,也可以是線段、雙曲線….具體到本節(jié)課,圓只是解決此類問題的工具,當揭示模型,化隱為顯時,學(xué)生利用幾何直觀,迅速識別問題本源——點與圓上的點的最值.

二、 教學(xué)立意的闡釋

1.基于問題導(dǎo)向,技術(shù)助力教學(xué)

探究始于問題,問題在哪里?聯(lián)想、推廣、因果互逆思考、尋求關(guān)聯(lián)等,都是發(fā)現(xiàn)問題的良策.方法鞏固階段,針對問題目標的間接性,設(shè)置有梯度的問題串,因果互逆,鼓勵學(xué)生展開聯(lián)想,尋求問題的突破;方法應(yīng)用階段,在圓的多元表征下,依據(jù)動態(tài)問題中數(shù)量關(guān)系的變與不變,確立尋模型——現(xiàn)隱圓——明路徑——解最值的基本思路,放手課堂,學(xué)生自主去發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題.

課堂中融合信息技術(shù),實現(xiàn)高效教學(xué).課前,借助易加學(xué)院、教師云端備課、前學(xué)發(fā)布研究問題,讓學(xué)生先行思考、帶著問題進入課堂.共學(xué)指向課堂練習(xí),由學(xué)生在線作答,再由數(shù)據(jù)跟蹤分析,能精準診斷課堂教學(xué)效果.延學(xué)用作課后拓展,引用與本專題相關(guān)的微課,促學(xué)生課后自主探究.騰訊會議的互動批注功能,能實時呈現(xiàn)課堂中師生的互動探究.進一步，還可以借用幾何畫板來呈現(xiàn)動點軌跡.線上教學(xué)限于知識難易程度、學(xué)習(xí)環(huán)境等方面的制約,學(xué)生很難長時間專注,而騰訊會議的錄屏功能,可以讓學(xué)生可以循環(huán)學(xué)習(xí),從而打破課堂時間、空間的壁壘.運用信息技術(shù)服務(wù)線上教學(xué)、互動學(xué)習(xí)、多項感官體驗,提升學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣的同時,實現(xiàn)了課堂的高效．

2.基于多元變式,驅(qū)動思維發(fā)展

點圓最值相關(guān)問題是近年中考熱門問題,也是學(xué)生易于丟分、難以理解的問題.如果僅僅停留在就題論題,不利于理解問題的本質(zhì),學(xué)生也難以體會不同問題之間的關(guān)聯(lián).為突破這一瓶頸,課堂中以問題1為切入口,套用方法,重在解其理.問題2和問題3是對點圓最值問題的變式探究,借助題設(shè)條件,轉(zhuǎn)化問題目標,找到基本圖形,實現(xiàn)得其法.問題4和問題5及其變式,經(jīng)歷有圓到無圓、顯圓到隱圓的過程,讓學(xué)生充分感受到數(shù)與形的對應(yīng),并感受悟其道.

數(shù)學(xué)思維的發(fā)展需要學(xué)生對問題反復(fù)、持續(xù)進行探究.本節(jié)課探究的生長點是圓的多元表征.在問題的設(shè)問中,學(xué)生體會到直觀感知——操作猜想——邏輯推理——演繹計算四步驟的解題策略.低起點、多維度、深層次的變式教學(xué),讓他們感悟思想方法、提升數(shù)學(xué)思維.

3.基于微專題探究,致力素養(yǎng)形成

微專題教學(xué)的本質(zhì)是“為遷移而教”,且?guī)椭鷮W(xué)生實現(xiàn)知識的遷移需要塑造良好的認知結(jié)構(gòu).因而,微專題教學(xué)既要重視學(xué)生原有的知識經(jīng)驗、貼合學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)設(shè)計問題,又要激發(fā)聯(lián)想、梳理思路、提煉方法、構(gòu)建解決這一類問題清晰的“路線圖”.回顧本節(jié)微專題的教學(xué)設(shè)計,包含顯性和隱性兩條教學(xué)主線.問題教學(xué)是顯線,即通過問題提出、合作探究、找尋基本圖形、提煉解題方法,使學(xué)生獲得解決此類問題的知識與技能.數(shù)學(xué)思維能力的提升和學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)是隱線,即用問題驅(qū)動教學(xué)、探究引領(lǐng)課堂,讓學(xué)生歷經(jīng)問題提出——方法提煉——方法鞏固——方法應(yīng)用四個過程.以環(huán)環(huán)相扣的問題線索激發(fā)聯(lián)想,從而推動學(xué)生建構(gòu)關(guān)于本專題的知識結(jié)構(gòu)、方法邏輯,實現(xiàn)得一法、會一類、通一片的目的.

三、微專題復(fù)習(xí)的實施小結(jié)與教學(xué)建議

1.切口小,方法精,注重理解

中考二輪復(fù)習(xí)注重知識的綜合運用,因而學(xué)生專項知識能力的培養(yǎng)尤為重要.以知識、方法和題型為主題的大專題,由于知識點分布面廣,且綜合運用性強,學(xué)生的理解往往缺乏關(guān)聯(lián)性和整體性.若將一個大專題分割成若干個微專題供學(xué)生專項探究,有利于促進學(xué)生的理解和對知識的整體建構(gòu).微專題的設(shè)計,既入口小,又指向明確.如本課中微專題的指向就是平面內(nèi)的點與圓上的點的線段最值.貫穿課堂始終的主題是,引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)基本圖形、提煉解題方法、理解這一類問題的本質(zhì).

2.重過程,通思維,培養(yǎng)能力

微專題教學(xué)適用于問題教學(xué),即通過問題導(dǎo)向、例題精講、方法指引、變式應(yīng)用四個方面推動課堂教學(xué).設(shè)置什么樣的問題引入、選擇什么類型的例題進行精講、例題精講是否就是就題講題、學(xué)生在微專題的學(xué)習(xí)中獲得哪些思想方法，這些都是設(shè)計時需要認真考慮的方面.

尋找基本圖形、提煉解題方法、理解點與圓上的點的產(chǎn)生最值問題的原理,是本課教學(xué)的重點也是難點.精講問題1到問題5,從直接方法套用到轉(zhuǎn)化問題目標,甚至是問題串的設(shè)計,學(xué)生始終在教師指導(dǎo)下圍繞核心問題展開探究.每個問題解決后,學(xué)生對解題方法的總結(jié)與反思，可以促進他們自然語言、數(shù)學(xué)語言、圖形語言之間的自由轉(zhuǎn)換.因此,微專題的復(fù)習(xí)的側(cè)重點是課堂中過程性的探究和生成,既要構(gòu)建清晰的思考路徑和知識結(jié)構(gòu),又要注重學(xué)生關(guān)鍵能力的培養(yǎng).