追根溯源 “圓”來如此

文武益燕

（作者單位：江蘇省無錫市蠡園中學）

圓作為初中數(shù)學里一個重要的幾何圖形，其知識點眾多。圓中的弧、弦、圓心角、圓周角、切線等有很多常用的性質(zhì)，在處理圓的相關(guān)問題時常常要結(jié)合數(shù)學中的其他知識綜合解決。因此，同學們在解題時需結(jié)合圖形，認真分析隱含條件，追根溯源，結(jié)合已有的學習經(jīng)驗，聯(lián)想相關(guān)知識，作出輔助線，發(fā)現(xiàn)此類問題“圓”來如此。

一、圓中重要的角——圓周角與圓心角

例1 如圖1，△ABC內(nèi)接于⊙O，若∠A=α，則∠OBC等于（ ）。

圖1

A.180°-2α B.2α

C.90°+α D.90°-α

【分析】本題要求∠OBC，觀察發(fā)現(xiàn)它既不是圓周角也不是圓心角。首先想到將其放到一個三角形中，于是連接半徑OC，這樣∠OBC就是等腰△OBC中的一個底角，只需求出頂角∠BOC即可；而頂角是一個圓心角，于是想到同弧所對的圓周角∠A，這樣∠OBC的度數(shù)即可求出。

解：如圖2，連接OC，

圖2

∵△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A=α，

∴∠BOC=2∠A=2α，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB=90°-α。

故選：D。

【點評】本題考查了圓周角的性質(zhì)，“同弧所對的圓周角是圓心角的一半”。其實在圓中，圓周角和圓心角猶如一對“雙胞胎”，形影不離。在做題時我們要能夠靈活地進行相互轉(zhuǎn)化。當然，圓中的輔助線——“連半徑”也是常作的輔助線，這里就構(gòu)造出了等腰三角形。

例2 如圖3，△ABC內(nèi)接于半徑為5的⊙O，圓心O到弦BC的距離等于3，則∠A的正切值等于（ ）。

圖3

【分析】求∠A的正切值，可是∠A并不在一個直角三角形中，它是一個圓周角，于是想到同弧BC所對的圓心角。連接半徑OB、OC，再利用垂徑定理，可以進行相等角的轉(zhuǎn)化，最后解直角三角形即可。

解：如圖4，過點O作OD⊥BC，垂足為D，連接OB、OC。

圖4

故選：D。

【點評】在非直角三角形中求一個角的三角函數(shù)值，我們的常用方法是構(gòu)造直角三角形或是通過相等角的轉(zhuǎn)化思想來解決問題。

二、圓中重要的定理——垂徑定理

例3 如圖5，AB是⊙O的直徑，且經(jīng)過弦CD的中點H，已知BD=5，則OH的長度為 _____。

圖5

【分析】由條件“直徑經(jīng)過弦CD的中點H”，根據(jù)垂徑定理得出AB⊥CD，連接OD。在Rt△BDH中，由三角函數(shù)求出DH=4，由勾股定理得出BH=3，設OH=x，則OD=OB=x+3，在Rt△ODH中，由勾股定理得出方程，解方程即可。

解：如圖6，連接OD。

圖6

∵AB是⊙O的直徑，且經(jīng)過弦CD的中點H，

∴AB⊥CD，

∴∠OHD=∠BHD=90°。

∴DH=4，

∴BH=3，

設OH=x，則OD=OB=x+3，

在Rt△ODH中，由勾股定理得：

x2+42=（x+3）2，

【點評】垂徑定理是一個非常重要的定理，它揭示的是圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系。在圓中，常常會添加與垂徑定理相關(guān)的輔助線，比如連接半徑、過圓心作弦的垂線段等，目的都是為了構(gòu)造直角三角形這個基本圖形，而勾股定理的運用在問題的解決中往往發(fā)揮著不可替代的作用。

例4 如圖7，Rt△ABC內(nèi)接于⊙O，BC為直徑，AB=4，AC=3，D是弧AB的中點，CD與AB的交點為E，則等于_______。

圖7

【分析】由D是弧AB的中點，聯(lián)想到連接OD，交AB于點F，利用垂徑定理的推論得出DO⊥AB，AF=BF，發(fā)現(xiàn)FO是△ABC的中位線，進而得出DF的長和△DEF∽△CEA，再利用相似三角形的性質(zhì)求出即可。

解：如圖8，連接DO，交AB于點F。

圖8

∵D是弧AB的中點，

∴DO⊥AB，AF=BF，

∴FO是△ABC的中位線，AC∥DO。

∵BC為直徑，AB=4，AC=3，

∴DO=2.5，

∴DF=2.5-1.5=1。

∵AC∥DO，

∴△DEF∽△CEA，

【點評】圓中出現(xiàn)弧的中點以及弦，該中點和圓心連接的這條半徑肯定要作出來，因為正好可以利用垂徑定理，得出平分弦、垂直于弦的結(jié)論。線段的比例問題，常常需聯(lián)想相似。本題根據(jù)已知得出△DEF∽△CEA是解題關(guān)鍵。

三、圓中重要的位置關(guān)系——點與圓、直線與圓

例5 如圖9，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以頂點D為圓心作半徑為r的圓，若要求另外三個頂點A、B、C中至少有一個點在圓內(nèi)，且至少有一個點在圓外，則r的取值范圍是_______。

圖9

【分析】要確定點與圓的位置關(guān)系，主要根據(jù)點與圓心的距離d與半徑r的大小關(guān)系來進行判斷。當d＞r時，點在圓外；當d=r時，點在圓上；當d＜r時，點在圓內(nèi)。

解：連接BD，在Rt△ABD中，AB=4，AD=3，則BD=

由圖可知3＜r＜5。故答案為：3＜r＜5。

【點評】本題主要考查了點與圓的位置關(guān)系，其評判標準主要是看d與r的大小關(guān)系。

例6 以坐標原點O為圓心，作半徑為2的圓，若直線y=-x+b與⊙O相交，則b的取值范圍是_______。

【分析】本題是幾何問題，但題目沒有給出圖形，所以我們第一步應先畫出半徑為2的圓。直線y=-x+b這個解析式中k=-1，已經(jīng)暗示了直線的特征，單調(diào)遞減，傾斜角是135°。直線與圓相交的情況太多了，所以應聯(lián)想到臨界狀態(tài)，直線與圓相切時的情形。求出直線y=-x+b與圓相切的兩個b值，則相交時b的值在相切時的兩個b值之間。

解：當直線y=-x+b與圓在第一象限相切，且直線經(jīng)過一、二、四象限時，如圖10。

圖10

在y=-x+b中，令x=0時，y=b，則與y軸的交點是（0，b），

當y=0時，x=b，則直線與x軸的交點是（b，0），則OA=OB，即△OAB是等腰直角三角形。

連接圓心O和切點C，則OC=2，

同理，當直線y=-x+b與圓在第三象限相切，且直線經(jīng)過二、三、四象限

【點評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，其中直線與圓相切是最特殊的位置關(guān)系，是中考考查的重點。遇36 難點突破切線，我們有句口訣，“見切點，連半徑，得垂直”，然后解直角三角形即可。當然我們也要注意，當題目中沒有給出圖形時，自己畫圖過程中要考慮是否有多種情形，不要漏解。