直線與圓重要的位置關(guān)系
——相切

文封霞霖

（作者單位：江南大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)）

直線與圓的位置關(guān)系有三種：相離、相切、相交，其中相切是中考的高頻考點(diǎn)。我們對(duì)直線與圓的位置關(guān)系的研究，反映了圖形的位置關(guān)系與相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系之間的內(nèi)在聯(lián)系：由圖形的位置關(guān)系決定數(shù)量關(guān)系，由數(shù)量關(guān)系判定圖形的位置關(guān)系。這里的數(shù)形結(jié)合，既是重要的知識(shí)內(nèi)容，又是重要的思想方法。

一、切線與函數(shù)

例1 （2019·菏澤）如圖1，直線y=-3交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，以1個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑作⊙P，當(dāng)⊙P與直線AB相切時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是____。

圖1

【分析】考點(diǎn)：一次函數(shù)、切線性質(zhì)。對(duì)于運(yùn)動(dòng)問題，要考慮多解。對(duì)圓心位置分類討論，圓心在A點(diǎn)左側(cè)和右側(cè)，直線都會(huì)與圓相切。根據(jù)相切時(shí)圓心到直線的距離等于半徑，結(jié)合相似或者三角函數(shù)，找到圓心P的位置。

解：∵直線交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，

∴令x=0，得y=-3，令y=0，得x=-4，

∴A（-4，0），B（0，-3），

∴OA=4，OB=3，∴AB=5。

設(shè)⊙P與直線AB相切于D，連接PD，如圖2，P在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)為P1，在A點(diǎn)右側(cè)時(shí)為P2。

圖2

則PD⊥AB，PD=1，

∵∠ADP=∠AOB=90°，

∠PAD=∠BAO，

∴△APD∽△ABO，

∴OP=OA+AP或OA-AP，

【點(diǎn)評(píng)】這道題目中有圓，但要做到心中無圓。如果抓住切線的本質(zhì)，⊙P1和⊙P2不畫出來亦可。我們要抓住的關(guān)鍵是直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于半徑。另外，利用相似求AP的這部分，用三角函數(shù)也可以解決。

二、切線與角度

例2 （2019·天津）已知PA，PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，∠APB=80°，C為⊙O上一點(diǎn)。

圖3

（Ⅰ）如圖3-①，求∠ACB的大?。?/p>

（Ⅱ）如圖3-②，AE為⊙O的直徑，AE與BC相交于點(diǎn)D，若AB=AD，求∠EAC的大小。

【分析】考點(diǎn)：切線的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)。掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵。（Ⅰ）連接OA、OB，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAP=∠OBP=90°，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°計(jì)算；（Ⅱ）連接CE，根據(jù)圓周角定理得到∠ACE=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)計(jì)算即可。

解：（Ⅰ）如圖4，連接OA，OB。

圖4

∵PA，PB是⊙O的切線，

∴OA⊥PA，OB⊥PB，

即∠OAP=∠OBP=90°。

∵∠APB=80°，

∴在四邊形OAPB中，∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠APB=100°。

∴∠ACB=50°。

（Ⅱ）如圖5，連接CE。

圖5

∵AE為⊙O的直徑，∴∠ACE=90°。由（Ⅰ）知，∠ACB=50°，

∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=40°，

∴∠BAE=∠BCE=40°。

∵在△ABD中，AB=AD，

又∠ADB是△ADC的一個(gè)外角，有∠EAC=∠ADB-∠ACB，

∴∠EAC=20°。

【點(diǎn)評(píng)】在圓中求角度，通?？紤]“由角找弧，再由弧找角”，熟練地轉(zhuǎn)化圓周角和圓心角。在第（Ⅱ）題中，求∠BAE的度數(shù)，也可以連接OB，利用等腰三角形的性質(zhì)求解。

三、切線與特殊三角形

例3 （2019·鹽城）如圖6，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，以CD為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)M、N，過點(diǎn)N作NE⊥AB，垂足為E。

圖6

（2）求證：NE與⊙O相切。

【分析】考點(diǎn)：切線、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、等腰三角形“三線合一”、中位線性質(zhì)。本題需要添加輔助線，構(gòu)造過切點(diǎn)的半徑和直徑所對(duì)的圓周角。

（1）解：連接ON、DN，

圖7

∵CD是Rt△ABC斜邊上的中線，

∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，∴BC=8。

∵CD為直徑，∴∠CND=90°。

∵在△BCD中，

BD=CD，∠CND=90°，

（2）證明：∵O，N為CD，BC的中點(diǎn)，

∴ON∥BD，∴∠ONE+∠DEN=180°，

∵∠DEN=90°，

∴∠ONE=90°，即ON⊥NE，

又∵ON為半徑，

∴NE與⊙O相切。

【點(diǎn)評(píng)】本題以圓的切線為主線，綜合考查了特殊三角形的性質(zhì)。三角形是幾何的根本，特殊三角形的性質(zhì)也是中考必考知識(shí)點(diǎn)。

四、切線與三角函數(shù)

例4 （2019·濟(jì)寧）如圖8，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，D是?的中點(diǎn)，E為OD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠CAE=2∠C，AC與BD交于點(diǎn)H，與OE交于點(diǎn)F。

圖8

（1）求證：AE是⊙O的切線；

【分析】（1）根據(jù)“三線合一”得到OE⊥AC，求得∠AFE=90°，再轉(zhuǎn)化為∠EAO=90°；

（2）根據(jù)等弧對(duì)等角、相等的角三角函數(shù)相等，將已知條件一步步轉(zhuǎn)化為結(jié)論。

（1）證明：連接OC，如圖9。

圖9

∴∠AOD=∠COD，

又∵OA=OC，

∴OE⊥AC，

∴∠AFE=90°，

∴∠E+∠EAF=90°，

∵∠AOE=2∠ACD，∠CAE=2∠ACD，

∴∠CAE=∠AOE，

∴∠E+∠AOE=90°，

∴∠EAO=90°，

又∵OA為半徑，

∴AE是⊙O的切線。

（2）解：連接AD，

∵AB為直徑，

∴∠ADB=90°。

∴∠DAH=∠ACD，

∴在Rt△ADH中，

∵DH=9，∴AD=12。

∵∠B=∠ACD，

∴BD=16，

∴在Rt△ADB中，AB=20。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定、圓周角定理，轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵。