圓的典型問題及策略方法

文羅 尉

（作者單位：江蘇省淮陰中學(xué)教育集團(tuán)清河開明中學(xué)）

圓，是對(duì)稱圖形，也是幾何中非常完美的圖形。圓的知識(shí)點(diǎn)較多，很多同學(xué)學(xué)習(xí)起來較為吃力。下文將對(duì)與圓相關(guān)的典型題型進(jìn)行歸納和總結(jié)，以期對(duì)同學(xué)們有一定的啟迪。

一、求圓相關(guān)角的度數(shù)

例1 （2019·濱州）如圖1，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上兩點(diǎn)，若∠BCD=40°，則∠ABD的大小為_____。

圖1

【分析】本題解法多樣：①連接OD，借助∠BCD求出∠BOD的度數(shù)，再利用等腰△BOD求出∠ABD的度數(shù)；②連接AC，根據(jù)“直徑對(duì)直角”可知∠ACB=90°，借助∠ACD求出∠ABD的度數(shù)。

解法一：連接OD。

∵∠BCD=40°，

∴∠BOD=80°，

又∵BO=DO，

∴∠ABD=∠ODB=50°。

解法二：連接AC。

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

又∵∠BCD=40°，

∴∠ACD=50°，

∴∠ABD=∠ACD=50°。

【點(diǎn)評(píng)】在圓中，見圓周角連半徑，構(gòu)造同弧所對(duì)的圓心角；見直徑連弦，得“直徑對(duì)直角”。這些都是解決角度數(shù)問題的常見輔助線。

二、求圓相關(guān)線段的長度

例2 （2018·孝感）已知⊙O的半徑為10cm，AB、CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，則弦AB和CD之間的距離是________cm。

【分析】求兩弦之間的距離，必須先確定它們的位置：如圖2，弦AB和CD在圓心同側(cè)；如圖3，弦AB和CD在圓心異側(cè)。因此本題需分情況考慮。

解：①當(dāng)弦AB和CD在圓心同側(cè)時(shí)，如圖2。

圖2

連接OA、OC，作OE⊥AB并延長交CD于F。

∵OE⊥AB，AB∥CD，∴OF⊥CD。

∵AB=16cm，CD=12cm，

∴AE=8cm，CF=6cm，

∵OA=OC=10cm，

∴EO=6cm，OF=8cm，

∴EF=OF-OE=2cm。

②當(dāng)弦AB和CD在圓心異側(cè)時(shí)，如圖3，連接OA、OC，作OE⊥AB并反向延長CD于F。

∵OE⊥AB，AB∥CD，

∴OF⊥CD。

圖3

∵AB=16cm，CD=12cm，

∴AE=8cm，CF=6cm，

∵OA=OC=10cm，

∴OE=6cm，OF=8cm，

∴EF=OF+OE=14cm。

∴AB與CD之間的距離為2cm或14cm。

故答案為：2或14。

【點(diǎn)評(píng)】在圓內(nèi)，求相關(guān)線段長度時(shí)，常會(huì)連半徑，過圓心作弦的垂線段，構(gòu)造由“半弦、半徑、弦心距”組成的直角三角形（簡稱“鐵三角”），并借助勾股定理求解。

三、直線與圓特殊位置關(guān)系的判定

例3 （2019·泰州改編）如圖4，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為⊙O的直徑，D為弧AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥AC，交BC的延長線于點(diǎn)E。判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由。

圖4

【分析】直線DE上已有一點(diǎn)D在圓上，連接OD，只需要判斷半徑OD是否垂直于直線DE，即可判斷DE與⊙O的位置關(guān)系。

解：DE與⊙O相切，理由如下。

如圖4，連接OD。

∵AC是直徑，D為弧AC的中點(diǎn)，

∴∠DOA=∠DOC=90°，

∵DE∥AC，

∴∠ODE=∠DOA=90°，

即OD⊥DE，且垂足為D，

∴DE與⊙O相切。

【點(diǎn)評(píng)】在證明直線是圓的切線問題中，如果直線與圓有公共點(diǎn)，那么可以連接圓心與公共點(diǎn)，證明這條半徑垂直于該直線即可，可概括為：“見切點(diǎn)，連半徑，證垂直?！?/p>

四、與圓有關(guān)的弧長或面積問題

例4 （2018·鹽城）如圖5，左圖是由若干個(gè)相同的圖形（右圖）組成的美麗圖案的一部分。右圖中，圖形的相關(guān)數(shù)據(jù)：半徑OA=2cm，∠AOB=120°。則右圖的周長為 _____cm（結(jié)果保留π）。

圖5

【分析】比較左右圖，可知：

【點(diǎn)評(píng)】本題運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想。求弧長的問題，只要能確定對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)和半徑即可。

五、構(gòu)造輔助圓

例5 如圖6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)F在邊AC上，并且CF=2，點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是______。

圖6

【分析】求點(diǎn)P到邊AB距離的最小值，那么需要清楚點(diǎn)P的軌跡。由翻折得，點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離是定長2，可得點(diǎn)P的軌跡是以F為圓心，以2為半徑的圓的部分。

解：如圖7，以點(diǎn)F為圓心、2為半徑作圓，過點(diǎn)F作FH⊥AB。

圖7

∵在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，

∴AB=10，

【點(diǎn)評(píng)】在最值問題中，經(jīng)常需要確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡，圓也是常見的軌跡之一。通常構(gòu)造輔助圓的情況有：①動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于定長；②定線段所對(duì)的角為定角等。