切線與半徑的“邂逅”

文黃海濤

（作者單位：江蘇省無錫市濱湖中學(xué)）

直線與圓的位置關(guān)系共有三種：相離、相切、相交，其中相切作為一種最特殊的位置關(guān)系，是本章研究的重點(diǎn)，往往也是考查的重點(diǎn)和難點(diǎn)。在解決一些與圓有關(guān)的相切問題時(shí)，常用的知識有切線的性質(zhì)及其判定定理，但通常都需要添加輔助線，把切點(diǎn)和圓心連接起來，構(gòu)造半徑，我們稱之為“見切點(diǎn)，連半徑”。

一、“連半徑”，解決與切線有關(guān)的計(jì)算問題

例1 如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，切線DE交AC于點(diǎn)E。若AD=8，DE=5，求BC的長。

圖1

【分析】由DE為⊙O的切線，容易想到連接半徑OD，如圖2，得到∠ODE=90°。利用同角的余角相等，可得∠ADE=∠A，進(jìn)而推出AE=DE，考慮條件∠C=90°，比較容易看出C為⊙O的切點(diǎn)，得到CE=DE。此時(shí)結(jié)合條件，邊長AD、AC都可以確定，進(jìn)一步考慮連接DC構(gòu)造直角三角形ADC，求出CD，繼而在直角三角形BDC、ABC中利用方程解決問題。

圖2

【簡解】如圖2，連接OD，證明∠A+∠B=90°，由△BDO為等腰三角形推出∠ADE+∠B=90°，得到結(jié)論∠ADE=∠A，進(jìn)而得到結(jié)論AE=DE。連接DC，由∠C=90°，可證明EC為⊙O的切線，得結(jié)論CE=DE。結(jié)合條件數(shù)值求得AC=2DE=10，由BC為直徑，得在直角三角形ADC中，DC=6，設(shè)BD=x，在直角三角形BDC中，BC2=x2+62，在Rt△ABC中，BC2=（x+8）2-102，可得 x2+62=（x+8）2-102，解方程 x=由勾股定理得BC

【歸納】本題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識。解題的關(guān)鍵是連接半徑，得到垂直的同時(shí)還構(gòu)造出了等腰三角形，進(jìn)而得出角相等、線段相等，這才有了后面一系列的轉(zhuǎn)化。因此與切線有關(guān)的計(jì)算問題，“連半徑”往往是解決問題的起點(diǎn)與關(guān)鍵，也是解決后續(xù)問題的基礎(chǔ)，要把連接半徑后的結(jié)論細(xì)細(xì)梳理。

二、“連半徑”，解決與切線有關(guān)的證明問題

例2 （2019·濱州）如圖3，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC、AC交于點(diǎn)D、E，過點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為點(diǎn)F。

（1）求證：直線DF是⊙O的切線；

（2）求證：BC2=4CF·AC。

圖3

【分析】（1）證明DF是⊙O的切線，題目信息中已明確D為圓上的點(diǎn)，連半徑，證垂直即可；

（2）由結(jié)論BC2=4CF·AC可知，本題的落腳點(diǎn)應(yīng)該放在三角形相似上，關(guān)鍵是對數(shù)字“4”如何處理？考慮到前面的平方，聯(lián)想到BC與DC有兩倍關(guān)系，連接AD，證明△CFD∽△CDA，嘗試推導(dǎo)結(jié)論得證。

【簡解】（1）如圖4所示，連接OD，由AB=AC，得出∠ABC=∠C，而OB=OD，得出∠ODB=∠ABC=∠C，因?yàn)镈F⊥AC，所以∠CDF+∠C=90°，進(jìn)而得到∠CDF+∠ODB=90°，∠ODF=90°，得出結(jié)論——直線DF是⊙O的切線；

圖4

（2）連接AD，則AD⊥BC，由AB=AC，

【歸納】在證明圓的切線時(shí)，把該直線與圓的交點(diǎn)和圓心連接起來，證明半徑垂直于該直線即可，我們稱之為“連半徑、證垂直”；反之，當(dāng)已知切線時(shí)，把切點(diǎn)和圓心連接起來，可以得到半徑與切線垂直。