以圓為背景的比值問題

文洪高峰

（作者單位：江南大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)）

圓具有軸對(duì)稱性、中心對(duì)稱性以及旋轉(zhuǎn)不變性，有很多性質(zhì)隱藏其中，千變?nèi)f化。在圓背景下，解決比值類問題具有一定難度，需要同學(xué)們具備綜合分析和靈活運(yùn)用的能力?？v觀近年中考試題，多地考查“以圓為背景的比值問題”，不少問題作為壓軸題呈現(xiàn)，能較好地考查同學(xué)們的綜合素養(yǎng)。下面結(jié)合具體問題，談一談如何解決此類問題。

例1 （2019·蘇州）如圖1，AB為⊙O的直徑，D是弧BC的中點(diǎn)，BC與AD、OD分別交于點(diǎn)E、F。

圖1

（1）求證：DO∥AC；

（2）求證：DE·DA=DC2；

【分析】第（1）問根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角以及等弧所對(duì)的圓心角相等、等腰三角形三線合一定理即可求解；第（2）問利用等弧所對(duì)的圓周角相等及相似形知識(shí)求解；第（3）問三角函數(shù)值作為求解的條件和結(jié)論，本質(zhì)是運(yùn)用和探求比值。因?yàn)槌踔袛?shù)學(xué)中三角函數(shù)的定義與運(yùn)用都是借助直角三角形，所以尋找、構(gòu)造直角三角形就顯得尤為重要。我們通過補(bǔ)齊圖形，把問題放在等腰三角形和直角三角形中，先利用比值設(shè)輔元，再利用等面積法、勾股定理求線段長，最終問題得以解決。

（1）證明：如圖2，連接OC，

∴∠COF=∠BOF。

又∵OC=OB，

∴OD⊥BC，即∠OFB=90°，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，∴∠OFB=∠ACB，

∴DO∥AC。

圖2

（3）解：如圖3，連接BD并延長，交AC的延長線于點(diǎn)G。

圖3

【點(diǎn)評(píng)】三角函數(shù)值作為條件和求解結(jié)論，相當(dāng)于知道一個(gè)比值，求另一個(gè)比值。根據(jù)三角函數(shù)的定義，要將問題放置在直角三角形中解決，所以首先想到的是尋找直角三角形或構(gòu)造直角三角形。比值作為條件，可以利用比值設(shè)輔助未知數(shù)；比值作為求解結(jié)論，可以在某一直角三角形中求相關(guān)邊長，然后再求比值。

例2 （2019·連云港）如圖4，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以點(diǎn)C為圓心作⊙C與直線BD相切，點(diǎn)P是⊙C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP交BD于點(diǎn)T，則的最大值是 ____。

圖4

【分析】此題求比值的最大值，難度偏大。如圖5，如果作P雖可以轉(zhuǎn)化，但于事無補(bǔ)。所以嘗試將問題轉(zhuǎn)化，將求如圖6，作PG∥AD，將比值轉(zhuǎn)化成，由于AD是定值，則比值的最值問題就最終轉(zhuǎn)化為線段的最值問題，再作PQ⊥BD，進(jìn)一步將問題轉(zhuǎn)化為⊙C上的點(diǎn)到直線BD上的點(diǎn)的最大距離問題。

圖5

圖6

解：如圖6，作PG∥AD，交BD于點(diǎn)G，

作PQ⊥BD，垂足為Q，

作CE⊥BD，垂足為E，

【點(diǎn)評(píng)】此題是將比值的最值問題，通過構(gòu)造平行線，轉(zhuǎn)化為其他線段的比值問題。利用已知條件中線段長，進(jìn)一步將比值的最大值問題轉(zhuǎn)化為線段的最大值問題，最后通過作垂線轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與已知直線上的點(diǎn)之間的最大距離問題。同樣，我們可以過點(diǎn)P作AB的平行線進(jìn)行轉(zhuǎn)化，請(qǐng)同學(xué)們自行完成。

在圓的背景下探求比值，雖說有一定難度，但是問題本身指向非常明確，主要使用轉(zhuǎn)化思想將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)問題。上面兩個(gè)典型例題或通過設(shè)輔助未知數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為求未知數(shù)之間的關(guān)系問題，或化動(dòng)為定，將求比值的最值問題轉(zhuǎn)化為求線段的最值問題。轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想，包含了數(shù)學(xué)特有的數(shù)、形、式的相互轉(zhuǎn)換，同學(xué)們要善于運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想與方法化繁為簡，化難為易。