直角三角形

中學(xué)呂銀錄直角三角形中30°角是一個(gè)特殊的角，當(dāng)其出現(xiàn)在一些幾何題中時(shí)，往往需利用“直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”解題.這一知識(shí)點(diǎn)很多學(xué)生已經(jīng)掌握，但在利用時(shí)還不夠靈活，只能解決一些簡(jiǎn)單的計(jì)算或證明題.而對(duì)于與其有關(guān)的綜合問(wèn)題，學(xué)生則表現(xiàn)得比較被動(dòng)，尤其是不知如何構(gòu)造出直角三角形中的30°角.基于此，本文重點(diǎn)談一談這個(gè)問(wèn)題，希望對(duì)學(xué)生有所幫助.1 直角三角形中30°角的作用直角三角形中30°角的出現(xiàn)，往往意味著邊與邊之間存在一定的數(shù)量關(guān)系

中學(xué)呂銀錄直角三角形中30°角是一個(gè)特殊的角，當(dāng)其出現(xiàn)在一些幾何題中時(shí)，往往需利用“直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”解題.這一知識(shí)點(diǎn)很多學(xué)生已經(jīng)掌握，但在利用時(shí)還不夠靈活，只能解決一些簡(jiǎn)單的計(jì)算或證明題.而對(duì)于與其有關(guān)的綜合問(wèn)題，學(xué)生則表現(xiàn)得比較被動(dòng)，尤其是不知如何構(gòu)造出直角三角形中的30°角.基于此，本文重點(diǎn)談一談這個(gè)問(wèn)題，希望對(duì)學(xué)生有所幫助.1 直角三角形中30°角的作用直角三角形中30°角的出現(xiàn)，往往意味著邊與邊之間存在一定的數(shù)量關(guān)系

三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形2 兩個(gè)錯(cuò)解圖1即b(b+c)(c+a-b)=a(a+c)(b+c-a).化簡(jiǎn)整理,得(a-b)(a2+b2-c2)=0.故可得a=b或a2+b2=c2.所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，故選C.兩式相減，得cosA-cosB=sinB-sinA.即sinA+cosA=sinB+cosB.兩邊平方，得1+2sinAcosA=1+2sinBcosB.即sin2A=sin2B.從而得2A=2B

題可以構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解，利用直角三角形的特點(diǎn)和性質(zhì)，結(jié)合其他圖形，計(jì)算待求角的大小.解答這類問(wèn)題的具體思路：①分析題意，添加輔助線構(gòu)造直角三角形；②利用直角三角形的特點(diǎn)(例如直角等于90°)、性質(zhì)，結(jié)合幾何知識(shí)求解；③經(jīng)過(guò)邏輯推理計(jì)算角的大小.例1△ABC的BC邊上存在一點(diǎn)P，且PC=2PB，已知∠ABC=45°，∠APC=60°，求∠ACB的大小.分析:本題存在特殊角∠APC=60°，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C作AP的垂線，構(gòu)造直角三角形CDP，將∠ACB分為兩部分

題可以構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解，利用直角三角形的特點(diǎn)和性質(zhì)，結(jié)合其他圖形，計(jì)算待求角的大小.解答這類問(wèn)題的具體思路：①分析題意，添加輔助線構(gòu)造直角三角形；②利用直角三角形的特點(diǎn)(例如直角等于90°)、性質(zhì)，結(jié)合幾何知識(shí)求解；③經(jīng)過(guò)邏輯推理計(jì)算角的大小.例1△ABC的BC邊上存在一點(diǎn)P，且PC=2PB，已知∠ABC=45°，∠APC=60°，求∠ACB的大小.分析:本題存在特殊角∠APC=60°，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C作AP的垂線，構(gòu)造直角三角形CDP，將∠ACB分為兩部分

△ABD是直角三角形，由勾股定理，得AD2+BD2=AB2.∵AD=3，BD=4∴32+42=AB2，∵AB>0，∴AB=5.∴△ABD的面積為3×4÷2=6.∵△ABC的底和高分別為AB和AC，∴△ABC的面積為5×12÷2=30.∴陰影部分的面積為30-6=24.分析：在錯(cuò)解當(dāng)中，誤將△ABC是直角三角形當(dāng)成已知條件.而本題條件中并未直接給出△ABC是直角三角形，也就不能將AB和AC看成△ABC的底、高.正確的做法應(yīng)是在計(jì)算面積之前，先用勾股定理逆定理

△ABD是直角三角形，由勾股定理，得AD2+BD2=AB2.∵AD=3，BD=4∴32+42=AB2，∵AB>0，∴AB=5.∴△ABD的面積為3×4÷2=6.∵△ABC的底和高分別為AB和AC，∴△ABC的面積為5×12÷2=30.∴陰影部分的面積為30-6=24.分析：在錯(cuò)解當(dāng)中，誤將△ABC是直角三角形當(dāng)成已知條件.而本題條件中并未直接給出△ABC是直角三角形，也就不能將AB和AC看成△ABC的底、高.正確的做法應(yīng)是在計(jì)算面積之前，先用勾股定理逆定理

角邊的等腰直角三角形CQD的頂點(diǎn)D的坐標(biāo).2. 如圖1，在等腰直角三角形ABC中，D為斜邊BC中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC下方，滿足∠BEC = 45°，求AE∶DE的值. [A][C][B][D][E]圖13.如圖2，在等腰直角三角形ABC中，D為斜邊BC中點(diǎn)，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部，滿足∠BEC = 135°，求AE∶DE的值. [A][C][D][B][E]圖2答案：1. （3.2，4.4）或（-0.8，-3.6）或（5.6，1.2）或（-3.2，-

圖1，等腰直角三角形ABC中，AB = AC，ED⊥AB且平分AB，AE⊥EF，點(diǎn)F在BC上，求證：AE = EF. [A][E][D][F][B][C]圖12.如圖2，等腰直角三角形ABC中，D為斜邊AB的中點(diǎn)，DE⊥DF，G在BC上，∠DEA = ∠DEG，求證：GE = GF. [A][E][D][F][B][C][G]圖23.如圖3，已知△BAC和△BED均為等腰直角三角形，其中∠BAC = 90°，∠EBD =90°，將△BED

28.2解直角三角形及其應(yīng)用為例，總的整合思路是：培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖計(jì)算能力以及相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用.通過(guò)研究其基本題型、模型及方法，然后在同類的題型中進(jìn)行推廣和應(yīng)用，讓學(xué)生的解題速度及思維能力得到有效的提升。學(xué)習(xí)過(guò)程中要滲透建模思想，轉(zhuǎn)化思想，方程思想，數(shù)形結(jié)合思想等.我把教材三個(gè)課時(shí)的知識(shí)進(jìn)行了重組整合，分為三種題型進(jìn)行學(xué)習(xí)，（1）解一個(gè)直角三角形，（2）解兩個(gè)直角三角形，（3）解含特殊角的斜三角形。（第一課時(shí)）題型一：解一個(gè)直角三角形本節(jié)課是基礎(chǔ)，先引入解直角

杭靜雙直角三角形模型是指一條直角邊重合，另一條直角邊共線的兩個(gè)直角三角形，如圖1和圖2所示. 一般來(lái)說(shuō)，用雙直角三角形模型解決問(wèn)題，主要是把兩個(gè)直角三角形的相關(guān)條件聯(lián)系在一起，再運(yùn)用有關(guān)知識(shí)來(lái)處理. 因此，在用雙直角三角形模型解題時(shí)，要注意尋找兩直角三角形中公共（或相等）的邊或角，它們往往是溝通解題思路的“橋梁”. 下面以2020年中考試題為例來(lái)說(shuō)明.

.已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為6和8，則第三邊的長(zhǎng)為_(kāi)____.解：由勾股定理，第三邊長(zhǎng)為√62+82=10，故應(yīng)填10.4.已知△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12.試求BC邊的長(zhǎng).解：如圖l，在Rt△ACD中，CD=√AC2-AD2=5;? ? 在Rt△ABD中，BD=√AB2-AD2=9.所以BC=CD+BD=14.5.已知在△ABC中，三條邊長(zhǎng)分別為a=n，b=n2/4-l，c=[（n2+4）/4]（n>2），試說(shuō)明△ABC是直角三

斷層。將“直角三角形的面積”作為單元面積公式序列的起始課，主要基于直角三角形的特殊性，能激活學(xué)生將直角三角形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形的自發(fā)經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)提煉出剪拼法（沿著與直角邊平行的中位線剪拼為長(zhǎng)方形）和倍拼法（用兩個(gè)全等的直角三角形合拼為長(zhǎng)方形），幫助學(xué)生積累必要的學(xué)習(xí)多邊形面積的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?！窘虒W(xué)實(shí)踐】一、明確任務(wù)，嘗試自主探究呈現(xiàn)圖1，給出信息：每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)表示1 厘米，這個(gè)直角三角形的面積是（? ?）平方厘米。師：你用哪些方法得到直角三角形面積？把你的想法畫

斷層。將“直角三角形的面積”作為單元面積公式序列的起始課，主要基于直角三角形的特殊性，能激活學(xué)生將直角三角形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形的自發(fā)經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)提煉出剪拼法（沿著與直角邊平行的中位線剪拼為長(zhǎng)方形）和倍拼法（用兩個(gè)全等的直角三角形合拼為長(zhǎng)方形），幫助學(xué)生積累必要的學(xué)習(xí)多邊形面積的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?！窘虒W(xué)實(shí)踐】一、明確任務(wù)，嘗試自主探究呈現(xiàn)圖1，給出信息：每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)表示1 厘米，這個(gè)直角三角形的面積是（ ）平方厘米。圖1圖2師：你用哪些方法得到直角三角形面積？把你的想

：一個(gè)等腰直角三角形的最長(zhǎng)邊是12厘米，這個(gè)等腰直角三角形的面積是多少平方厘米？解法一：等腰直角三角形的最長(zhǎng)邊是12厘米，說(shuō)明它是直角三角形的斜邊，又因?yàn)榈妊?span id="j5i0abt0b" class="hl">直角三角形的兩個(gè)銳角是45°，所以斜邊上的高是斜邊的一半，為6厘米（如下圖）。因此這個(gè)等腰直角三角形的面積是12×6÷2=36（平方厘米）。解法二：我們還可以用擴(kuò)大法來(lái)解答。再借3個(gè)同樣的直角三角形，與原來(lái)的1個(gè)三角形正好拼成一個(gè)邊長(zhǎng)是12厘米的大正方形（如下圖）。這個(gè)正方形的面積是12×12=144

BC為等腰直角三角形時(shí)，取等號(hào)）.另一方面，由于S=12rC，C≥2（2+1）S，則r=2SC≤2S2（2+1）S=（2-1）S.稱C≥2（2+1）S為①式，稱r≤（2-1）S為②式.由①得S≤C2（2+1），由②得S≥r2-1，所以r2-1≤S≤C2（2+1），即C≥2（3+22）r. ③例1 Rt△ABC的面積S=3，周長(zhǎng)C=2，則該直角三角形的內(nèi)切圓半徑r= .錯(cuò)解 由已知及三角形的面積公式得S=12rC，即r=2SC=3.上述解法似無(wú)破綻，實(shí)則非也

教學(xué)內(nèi)容】直角三角形全等的判定（HL）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.知識(shí)與技能（1）探索并掌握直角三角形全等的判定方法“HL”；（2）能夠合理選擇恰當(dāng)?shù)?span id="j5i0abt0b" class="hl">直角三角形判定方法來(lái)解決問(wèn)題。2.過(guò)程與方法經(jīng)歷探索直角三角形全等判定方法的過(guò)程，體會(huì)利用操作、證明、歸納獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生反思的習(xí)慣和理性的思維習(xí)慣。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀通過(guò)探究與交流，解決一些問(wèn)題，獲得成功的體驗(yàn)，進(jìn)一步激發(fā)探究的積極性。【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】掌握判定兩個(gè)直角三角形全等的特殊方法-HL?！緦W(xué)習(xí)難點(diǎn)】靈

教學(xué)內(nèi)容】直角三角形全等的判定（HL）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.知識(shí)與技能（1）探索并掌握直角三角形全等的判定方法“HL”；（2）能夠合理選擇恰當(dāng)?shù)?span id="j5i0abt0b" class="hl">直角三角形判定方法來(lái)解決問(wèn)題。2.過(guò)程與方法經(jīng)歷探索直角三角形全等判定方法的過(guò)程，體會(huì)利用操作、證明、歸納獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生反思的習(xí)慣和理性的思維習(xí)慣。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀通過(guò)探究與交流，解決一些問(wèn)題，獲得成功的體驗(yàn)，進(jìn)一步激發(fā)探究的積極性?！緦W(xué)習(xí)重點(diǎn)】掌握判定兩個(gè)直角三角形全等的特殊方法-HL?！緦W(xué)習(xí)難點(diǎn)】靈

而得到兩個(gè)直角三角形，利用兩個(gè)直角三角形解決問(wèn)題，與此例題相類似，通過(guò)構(gòu)造兩個(gè)直角三角形解決問(wèn)題的中考試題比較多，下面從2016年中考試題中采擷幾道。加以分析，供同學(xué)們參考。點(diǎn)評(píng)：本題與課本例題類似，通過(guò)作三角形的高，構(gòu)造具有公共邊的兩個(gè)直角三角形，進(jìn)而借助公共邊解兩個(gè)直角三角形，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是先解其中一個(gè)直角三角形求出公共邊CD的長(zhǎng)，再解另一個(gè)直角三角形得到日C的長(zhǎng)。點(diǎn)評(píng)：本題與課本例題類似，通過(guò)作三角形的高構(gòu)造雙直角三角形，所不同的是兩個(gè)直角三角形在

在一個(gè)等腰直角三角形中削去一個(gè)三角形，剩下一個(gè)上底為4cm，下底為10cm的等腰梯形。這個(gè)梯形的面積有多大？為了解這道題，我花了九牛二虎之力，畫了很多草圖，終于從圖2所示的草圖中發(fā)現(xiàn)：作一條AB的平行 線DF，根據(jù)條件可以得出FC=10 4=6（cm）；三角形DFC是等腰直角三角形。作三角形DFC的高DG，那么三角形DFG和三角形DGC都是等腰直角三角形，這樣又能得出DG=FG=GC=6=3（cm）。因?yàn)镈G也是梯形EBCD的高，所以這個(gè)梯形的面積是（4+

PQ是等腰直角三角形嗎？圖1圖2圖3問(wèn)題(2016年安徽省中考?jí)狠S題)：如圖1，A、B分別在射線OM、ON上，且∠MON為鈍角，現(xiàn)以線段OA、OB為斜邊向∠MON的外側(cè)作等腰直角三角形△OAP、△OBQ，點(diǎn)C、D、E分別為邊AO、OB、AB的中點(diǎn)．(1)求證：△PCE≌△EDQ；(2)延長(zhǎng)PC、DQ交于點(diǎn)R．①如圖2，若∠MON=150°，求證：△ABR為等邊三角形；這是2016年安徽省初中畢業(yè)學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)試題．限于篇幅，以下僅給出簡(jiǎn)略的證明過(guò)程．(1)證

蔡金鳳直角三角形是中考必考的重要內(nèi)容之一，在填空、選擇、解答題中都有可能出現(xiàn)，在解答題中它往往與三角函數(shù)、相似三角形等相結(jié)合.本文以直角三角形為載體，剖析中考中是如何在考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)又考查分類討論思想的.一、 有關(guān)邊的分類例1 （2014·涼山）已知一個(gè)直角三角形的兩邊的長(zhǎng)分別是3和4，則第三邊長(zhǎng)為_(kāi)______.【分析】此題易受勾三股四弦五的影響，填一個(gè)答案5.其實(shí)應(yīng)看4充當(dāng)什么邊，因此要分：①4是斜邊，②4是直角邊，可根據(jù)勾股定理求出上述兩種情況下

恰當(dāng)構(gòu)造出直角三角形.涉及特殊角常常需把特殊角放在直角三角形中，再利用勾股定理和三角函數(shù)解直角三角形知識(shí)即可解決.針對(duì)斜三角形或不規(guī)則四邊形化歸為直角三角形，可采用解直角三角形的知識(shí)解決的方法.試舉下面兩道例題。例1：已知：如圖，△ABC中，∠B=90°，∠C=45°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，求∠DAC的正弦值.探究過(guò)程：通過(guò)已知條件和圖形可知∠DAC在斜三角形△DAC中，要想求∠DAC的正弦值，必須將∠DAC放在直角三角形中，在直角三角形中計(jì)算出∠DAC所對(duì)的

令,讓等腰直角三角形出任面積大臣。“哼!等腰直角三角形算個(gè)啥,他有什么資格當(dāng)面積大臣?”鈍角三角形首先表示反對(duì)?！扳g角三角形!”國(guó)王召見(jiàn)他說(shuō),“你們有誰(shuí)能像等腰直角三角形那樣,只要知道一邊的長(zhǎng)度,就可以計(jì)算出面積?”“一條邊?”鈍角三角形搖搖頭,“陛下,別開(kāi)玩笑了,三角形的面積公式是底×高÷2,這要求不但要知道一條邊的長(zhǎng)度,而且還要知道這條邊上的高的長(zhǎng)度,才能把面積算出來(lái)。”“哈哈!”國(guó)王笑了起來(lái),“我問(wèn)你,兩個(gè)相同的等腰直角三角形是不是正好可以拼成一個(gè)邊

三角形B 直角三角形C 鈍角三角形D 任意三角形2 在△ABC中，a、b、c分別為其三邊的長(zhǎng)，若a∶b∶c=12∶35∶37，則△ABC的形狀一定為（）A 直角三角形B 銳角三角形C 鈍角三角形D 不能確定3 若a、b、c為三角形的三邊長(zhǎng)，則下列各組情況中，不能組成直角三角形的是（）A a=8，b=15，c=17B a=，b=，c=1C a=14，b=48，c=49 D a=9，b=40，c=414 在△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊的長(zhǎng)

與乙是等腰直角三角形，甲的斜邊為(2十)a，乙的斜邊為a，丙與丁是兩個(gè)全等的、含30°角的直角三角形，60°角所對(duì)的邊是a。每付三角板的兩塊三角板，應(yīng)該是等腰直角三角形的斜邊，與含30°角的三角板中60°角所對(duì)的直角邊相等。試考慮如何剪裁甲(既不粘接，又不浪費(fèi))，使之與乙、丙、丁一起配成幾付三角板。(摘自《中學(xué)生數(shù)學(xué)》)