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    構(gòu)造直角三角形解答幾何問題的題型分析

    2022-11-25 11:30:33福建省泉州外國語學(xué)校莊菊詠
    中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年20期
    關(guān)鍵詞:過點直角三角形最值

    ?福建省泉州外國語學(xué)校 莊菊詠

    1 求角度

    求解圖形中某一個角的大小是幾何問題中的常見問題之一.這類型問題可以構(gòu)造直角三角形進行求解,利用直角三角形的特點和性質(zhì),結(jié)合其他圖形,計算待求角的大小.解答這類問題的具體思路:①分析題意,添加輔助線構(gòu)造直角三角形;②利用直角三角形的特點(例如直角等于90°)、性質(zhì),結(jié)合幾何知識求解;③經(jīng)過邏輯推理計算角的大小.

    例1△ABC的BC邊上存在一點P,且PC=2PB,已知∠ABC=45°,∠APC=60°,求∠ACB的大小.

    分析:本題存在特殊角∠APC=60°,經(jīng)過點C作AP的垂線,構(gòu)造直角三角形CDP,將∠ACB分為兩部分,再根據(jù)點P的位置和∠APC的大小進行分析.

    解:如圖1,過點C作CD⊥AP,垂足為D,連接BD.

    圖1

    在Rt△CDP中,

    ∵∠APC=60°,

    ∴∠DCP=30°.

    ∴PC=2PD.

    ∵PC=2PB,

    ∴PB=PD.

    ∴∠PBD=∠PDB=30°.

    又∵∠ABC=45°,

    ∴∠DAB=∠DBA=15°.

    ∴BD=AD=CD,∠ACD=45°.

    ∴∠ACB=45°+30°=75°.

    2 求線段的長

    求解圖形中某一線段的長是幾何圖形中的常見問題,有時可以通過構(gòu)造直角三角形求解,利用直角三角形的特殊角和對應(yīng)的三角函數(shù)值,并結(jié)合相關(guān)定理(勾股定理、射影定理等)求解線段長度.解答這類問題的具體思路為:①根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形,并確定其內(nèi)角的大?。虎诶锰厥獾娜呛瘮?shù)值或?qū)?yīng)的定理列式求解,計算所求線段的長度.

    例2在△ABC中,D是AC邊上一點,若BD⊥AB,∠ABC=120°,AB=CD=1,求AD的長.

    分析:如圖2所示,本題需要從點B入手再構(gòu)造一個直角三角形,通過比例關(guān)系和勾股定理解得線段AD的長度.

    圖2

    解:過點C作CE⊥AB,與AB的延長線交于點E.

    又DB⊥AB,所以BD∥CE.

    等價于:(x+2)(x3-2)=0.

    3 求面積

    求解某個圖形的面積大小是幾何中的??紗栴}.這類型問題有時可以構(gòu)造直角三角形求解,一般將原問題轉(zhuǎn)化為求解直角三角形的面積問題,利用直角三角形的面積公式進行計算.解答的具體思路為:①分析圖形特點,通過輔助線等手段構(gòu)造直角三角形;②根據(jù)題意分析直接或間接計算面積,并確定相關(guān)線段的長度;③利用幾何圖形的面積公式計算求解.

    分析:由題意可知,四邊形ABCD是不規(guī)則圖形,其面積需要利用添補法求解.如圖3所示,將其添補為一個直角三角形,并利用直角三角形的面積公式間接求解.

    圖3

    解:設(shè)DA,CB的延長線交于點E,由題意可得,四邊形補為Rt△EDC,如圖3所示,且△EAB和△EDC都是等腰直角三角形.

    在Rt△EDC中,

    4 求最值

    最值問題是幾何中的一類??紗栴},一般為求線段的最值或角度的最值,有時可以利構(gòu)造直角三角形求解.解答的具體思路為:①根據(jù)題目特點構(gòu)造直角三角形;②將待求角或待求線段與直角三角形建立聯(lián)系;③利用直角三角形的知識分析待求最值.

    例4在△ABC中,BC=5,AC=12,AB=13,在邊AB,AC上分別取點D,E,使線段DE將△ABC分為面積相等的兩個部分,試求這個線段的最短長度.

    分析:利用勾股定理的逆定理可知△ABC為直角三角形.過點D作△DEA的高DF,將原問題轉(zhuǎn)化為求解直角三角形的問題.

    解:由BC=5,AB=12,AB=13,結(jié)合勾股定理的逆定理,可得△ABC是直角三角形,且AC⊥BC.

    又因為線段DE將△ABC分為面積相等的兩個部分,所以S△DEA=15.

    過點D作△DEA的高DF,交AC于點F,如圖4,則DF∥BC.

    圖4

    在Rt△DEF中,由DE2=EF2+DF2,得

    又由S△DEA=15,得xy=78.

    所以DE2=(x-y)2+12.

    5 作證明

    證明題是幾何中必不可少的一類問題,證明形式包括求證角度的大小或關(guān)系,求證線段的長度或關(guān)系等,構(gòu)造直角三角形是解答幾何證明題常用的有效手段.具體思路為:①根據(jù)題意分析題目特點,構(gòu)造直角三角形;②利用直角三角形的角度關(guān)系或邊長關(guān)系,將待證明的線段或角與直角三角形建立聯(lián)系;③最后利用直角三角形的相關(guān)知識求證即可.

    例5已知點M是Rt△ABC斜邊BC的中點,點P,Q分別在邊AB,AC上,且PM⊥QM.

    求證:PQ2=PB2+QC2.

    分析:本題中QC與PQ,PB沒有直接關(guān)系,要想證明PQ2=PB2+QC2成立,就需要構(gòu)造直角三角形,將這三條邊之間建立聯(lián)系,且PQ為斜邊,如圖5所示.

    圖5

    證明:延長QM至點N,使MN=QM,連結(jié)PN,BN,如圖5所示.

    ∵PM⊥QM,

    ∴PQ=PN.

    又∵M是BC的中點,

    ∴△BMN≌△CMQ.

    ∴BN=QC,∠MBN=∠C.

    ∴BN∥AC.

    ∴∠PBN=∠A=90°.

    ∴PN2=PB2+BN2.

    故PQ2=PB2+QC2成立.

    本文中介紹的幾種題型都是常見的利用直角三角形求解的幾何問題.直角三角形對求解幾何問題有重要作用,能有效降低題目難度,化繁為簡.解題時要學(xué)會靈活構(gòu)造直角三角形,除此之外,還要熟練掌握直角三角形的性質(zhì)及面積公式等基礎(chǔ)知識,確保萬無一失.

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