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    例析規(guī)避勾股定理及其逆定理混用的策略

    2022-08-05 08:01:20甘肅省平?jīng)鍪谐缧趴h第二中學(xué)位雅楠
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年14期
    關(guān)鍵詞:逆定理勾股定理直角三角形

    甘肅省平?jīng)鍪谐缧趴h第二中學(xué) 位雅楠

    1 引言

    在初中數(shù)學(xué)課本中,有很多與“勾股定理”和“勾股定理逆定理”類似的定理,它們是互逆定理,條件和結(jié)論正好相反,學(xué)生在運(yùn)用時(shí)極易出現(xiàn)混用錯(cuò)誤.如何規(guī)避這種錯(cuò)誤,是提高學(xué)生幾何定理解決問題的關(guān)鍵.

    2 例析規(guī)避策略

    例1如圖1所示,∠ADB=90°,AD=3,BD=4,AC=12,BC=13.求陰影部分的面積.

    圖1

    錯(cuò)解:∵∠ADB=90°

    ∴△ABD是直角三角形,

    由勾股定理,得

    AD2+BD2=AB2.

    ∵AD=3,BD=4

    ∴32+42=AB2,

    ∵AB>0,

    ∴AB=5.

    ∴△ABD的面積為3×4÷2=6.

    ∵△ABC的底和高分別為AB和AC,

    ∴△ABC的面積為5×12÷2=30.

    ∴陰影部分的面積為30-6=24.

    分析:在錯(cuò)解當(dāng)中,誤將△ABC是直角三角形當(dāng)成已知條件.而本題條件中并未直接給出△ABC是直角三角形,也就不能將AB和AC看成△ABC的底、高.正確的做法應(yīng)是在計(jì)算面積之前,先用勾股定理逆定理證明△ABC是直角三角形,并指明直角或斜邊,然后再計(jì)算△ABC的面積.

    正解:∵∠ADB=90°

    ∴△ABD是直角三角形,

    由勾股定理,得AD2+BD2=AB2.

    ∵AD=3,BD=4,

    ∴32+42=AB2.

    ∵AB>0,

    ∴AB=5.

    ∴△ABD的面積為3×4÷2=6.

    ∵AB=5,AC=12,BC=13,

    ∴52+122=132,

    即AB2+AC2=BC2.

    ∴△ABC是直角三角形,∠BAC=90°.

    ∴△ABC的面積為5×12÷2=30.

    ∴陰影部分的面積為30-6=24.

    點(diǎn)評(píng):勾股定理是由直角三角形得到a2+b2=c2,這時(shí)候直角三角形是已知的,且是由“形”到“數(shù)”的過程.而勾股定理逆定理是由a2+b2=c2得到直角三角形,這時(shí)候直角三角形是未知的,是需要證明的,且是由“數(shù)”到“形”的過程[1].由此觀之,這類問題其實(shí)是“數(shù)形結(jié)合思想”的充分體現(xiàn),在解決之初就應(yīng)明確是知“形”求“數(shù)”,還是知“數(shù)”求“形”.

    例2如圖2所示,在四邊形ABCD中,∠DBC=90°,AB=9,AD=12,BC=8,DC=17,求四邊形ABCD的面積.

    圖2

    錯(cuò)解:∵∠DBC=90°,

    ∴△BDC是直角三角形.

    由勾股定理,得BD2+BC2=DC2.

    ∵BC=8,DC=17,

    ∴DB2=172-82.

    ∵DB>0,

    ∴DB=15.

    ∴△BDC的面積為15×8÷2=60.

    ∵△ABD的底和高分別為AB和AD,

    ∴△ABD的面積為9×12÷2=54

    ∴四邊形ABCD的面積為60+54=114.

    分析:和例題1一樣,本題的解題過程也出現(xiàn)了沒有先判斷△ABD的形狀就貿(mào)然看成直角三角形求面積的錯(cuò)誤.所以,本題的糾錯(cuò)關(guān)鍵在于先利用勾股定理逆定理證明△ABD是直角三角形.

    正解:∵∠DBC=90°,

    ∴△BDC是直角三角形.

    由勾股定理,得BD2+BC2=DC2.

    ∵BC=8,DC=17,

    ∴DB2=172-82.

    ∵DB>0,

    ∴DB=15.

    ∴△BDC的面積為15×8÷2=60.

    ∵AB=9,AD=12,BD=15,

    ∴92+122=152,

    即AB2+AD2=BD2.

    ∴△ABD是直角三角形,∠DAB=90°.

    ∴△ABD的面積為9×12÷2=54.

    ∴四邊形ABCD的面積為60+54=114.

    點(diǎn)評(píng):求一個(gè)圖形的面積,如果該圖形是由多個(gè)直角三角形組成,那么需先證明這些圖形為直角三角形,而不能將直觀感受的結(jié)果作為證明結(jié)果,這樣就犯了“我以為”的錯(cuò)誤.“我以為”這種錯(cuò)誤,是很多初中生容易犯的錯(cuò)誤,主要表現(xiàn)在“未證先用”上.本題錯(cuò)解就犯了這樣的錯(cuò)誤.

    例3如圖3所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),求CE的長(zhǎng).

    圖3

    錯(cuò)解:∵△ABC是直角三角形,AB=3,BC=4,

    ∴由勾股定理,可得AC=5.

    ∵△ACD是直角三角形,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn).

    分析:本題求CE的長(zhǎng)主要應(yīng)用到了直角三角形斜邊中線定理,但該定理的使用前提是已知三角形為直角三角形.而本題錯(cuò)解中,并未事先證明該三角形是直角三角形,便貿(mào)然將△ACD看成直角三角形進(jìn)行計(jì)算,顯然不符合數(shù)學(xué)嚴(yán)密的邏輯性特點(diǎn).

    正解:∵△ABC是直角三角形,AB=3,BC=4,

    ∴由勾股定理,得AC2=AB2+BC2,

    即AC2=32+42.

    ∵AC>0,

    ∴AC=5.

    ∵52+122=132,

    ∴△ACD是直角三角形,∠ACD=90°.

    ∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),

    ∵AD=13,

    點(diǎn)評(píng):直角三角形在幾何題中出現(xiàn)的幾率非常大,而學(xué)生不能根據(jù)主觀感覺貿(mào)然判斷三角形的形狀,應(yīng)根據(jù)題目所給條件先證明其正確性才能為后面解題所用.

    3 結(jié)語

    要想有效規(guī)避“勾股定理”和“勾股定理逆定理”的混用,就要回歸到“勾股定理”和“勾股定理逆定理”的本質(zhì),即是知“形”求“數(shù)”,還是知“數(shù)”求“形”[2].如果是知“形”求“數(shù)”,那么說明已知三角形為直角三角形,此時(shí)應(yīng)該使用勾股定理;如果是知“數(shù)”求“形”,那么說明三角形的形狀還未知,此時(shí)應(yīng)該使用勾股定理逆定理進(jìn)行判斷.

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