一道中考壓軸題的實驗探究與推廣

安徽省歙縣中學

鄭觀寶　　(郵編：245200)

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一道中考壓軸題的實驗探究與推廣

安徽省歙縣中學

鄭觀寶(郵編：245200)

1　實驗探究一 　△EPQ是等腰直角三角形嗎？

圖1

圖2

圖3

問題(2016年安徽省中考壓軸題)：如圖1，A、B分別在射線OM、ON上，且∠MON為鈍角，現(xiàn)以線段OA、OB為斜邊向∠MON的外側(cè)作等腰直角三角形△OAP、△OBQ，點C、D、E分別為邊AO、OB、AB的中點．

(1)求證：△PCE≌△EDQ；

(2)延長PC、DQ交于點R．

①如圖2，若∠MON=150°，求證：△ABR為等邊三角形；

這是2016年安徽省初中畢業(yè)學業(yè)考試數(shù)學試題．限于篇幅，以下僅給出簡略的證明過程．

(1)證明如圖1，易得PC=CO=ED，CE=OD=DQ，∠PCE=90°+∠OCE=90°+∠ODE=∠QDE，所以△PCE≌△EDQ(邊角邊)．

觀察圖1，能感覺到PE=EQ，且PE⊥EQ，這個猜想對嗎？

實驗一在《幾何畫板》中畫出圖4，度量∠PEQ的大小、線段PE、EQ的長度(如圖4)．

容易發(fā)現(xiàn)無論怎樣改變鈍角∠AOB的大小和OA、OB的長度，始終有PE=EQ，且∠PEQ=90°．

圖4

證明延長PC到點K，設(shè)∠AOB=α，由△PCE≌△EDQ得PE=EQ顯然成立，并且

∠PEQ=α-(∠1+∠2)=α-∠ECK=α-(α-90°)=90°.

可見，△PEQ始終是以PQ為斜邊的等腰直角三角形．

2　豁然開朗的第二小題

圖5

由題可知，點R是△AOB兩邊OA、OB的中垂線的交點，因此點R為△AOB的外心，作出這個外接圓(如圖5)．

由圓的性質(zhì)可得∠ARB=2(180°-α)．

①要使等腰△ABR為正三角形，當且僅當∠ARB=2(180°-α)=60°，解得α=150°.

點評：有了上述探究與發(fā)現(xiàn)，第二小題就水到渠成，非常簡單了！并且我們還得到如下一般性結(jié)論：如圖2，分別以鈍角△AOB(∠AOB為鈍角)邊OA、OB為斜邊，向形外作等腰直角三角形△OAP、△OBQ，點C、D、E分別為邊AO、OB、AB的中點，延長PC、DQ交于點R，則

(1)求證：△PCE≌△EDQ；

(2)△PEQ是以PQ為斜邊的等腰直角三角形；

(3)當且僅當∠MON=150°時，△ABR為等邊三角形；

3　實驗探究二　將“向形外作等腰直角三角形”推廣為“向形內(nèi)方向作等腰直角三角形”

圖6

實驗二如圖6，在《幾何畫板》作出滿足題意的圖形．不斷改變鈍角∠AOB的大小和線段OA、OB的長度，都能發(fā)現(xiàn)上述結(jié)論成立．下面證明這個發(fā)現(xiàn)：

(1)在△PCE與△EDQ中，易得PC=CO=ED，CE=OD=DQ，∠PCE=90°+∠OCE=90°+∠ODE=∠QDE，所以△PCE≌△EDQ(邊角邊)．

(2)延長PC到點K，設(shè)∠AOB=α，由(1)得PE=EQ，且

∠PEQ=360°-α-(∠1+∠2)=360°-α-∠KCE=360°-α-(90°+180°-α)=90°.即△PEQ是以PQ為斜邊的等腰直角三角形．

(3)同上可知，點R為△AOB的外心，作出這個外接圓(如圖6)．由圓的性質(zhì)可得∠ARB=2(180°-α)．

要使等腰△ABR為正三角形，當且僅當∠ARB=2(180°-α)=60°，解得α=150°.

圖7

圖8

4　實驗探究三　將“鈍角∠MON” 推廣為“銳角∠MON”

實驗三如圖7、8，在《幾何畫板》作出滿足題意的圖形．不斷改變銳角∠AOB的大小和線段OA、OB的長度，容易發(fā)現(xiàn)△PEQ始終為等腰直角三角形，下面證明這個發(fā)現(xiàn)(限于篇幅，證明過程以圖8為例)：

(1)如圖8，在△PCE與△EDQ中，PC=CO=ED，CE=OD=DQ，∠PCE=90°+∠OCE=90°+∠ODE=∠QDE,所以△PCE≌△EDQ．

(2)延長CP交DE于到點K，設(shè)∠AOB=α，由(1)得PE=EQ，且

∠PEQ=∠DEQ-∠PEK=∠CPE-∠PEK=∠PKE=90°，即△PEQ是以PQ為斜邊的等腰直角三角形．

(3)由于點R為△AOB的外心，作出這個外接圓．由于∠AOB為銳角，由圓的性質(zhì)可得∠ARB=2α．

要使等腰△ABR為正三角形，當且僅當∠ARB=2α=60°，解得α=30°.

說明如果兩個等腰直角三角形一個向形外作，一個向形內(nèi)方向作，則沒有相應(yīng)的結(jié)論(實驗過程這里略去)．

5　實驗探究之四　設(shè)∠AOB為鈍角，將“向形外作等腰直角三角形” 推廣為“向形外作相似等腰三角形”

圖9

實驗四如圖9，在《幾何畫板》中，以O(shè)A、OB(不是一般性，令OA≠OB)為底邊向形外作兩個相似等腰三角形．不斷改變鈍角∠AOB的大小和線段OA、OB的長度，容易發(fā)現(xiàn)：∠PEQ不一定為直角，且EP、EQ不一定相等．

(1)探究△PCE≌△EDQ的充要條件．

由于∠PCE=∠EDQ，所以要使△PCE≌△EDQ，必須PC=ED,CE=DQ?PC=CO,DQ=OD，則△OAP、△OBQ都是等腰直角三角形，即△PCE≌△EDQ，當且僅當△OAP、△OBQ都是等腰直角三角形．

(2)探究△PEQ是以PQ為斜邊的等腰直角三角形的條件．

設(shè)∠PCE=∠EDQ=θ，DQ=a,DO=b,則PC=xa,CO=ED=xb，由余弦定理可得

PE2=x2a2+b2-2xabcosθ，PF2=a2+x2b2-2xabcosθ，兩式相減得(x2-1)(a2-b2)=0．

由于x≠1，于是得a=b，即△OAP、△OBQ都是等腰直角三角形(余略)．

綜上所述，△PEQ是以PQ為斜邊的等腰直角三角形的條件是△OAP、△OBQ都是等腰直角三角形．

(3)探究△ABR為等邊三角形的條件.

當且僅當∠MON=150°時，△ABR為等邊三角形(理由同前)；

(4)探究△ARB∽△PEQ的條件．

由于RA=RB，所以EP=EQ，由(2)可得△ARB∽△PEQ的充要條件為△OAP、△OBQ都是等腰直角三角形，且∠MON=135°.

6　一系列實驗探究

圖10

1、實驗五——設(shè)∠AOB為鈍角，將“向形外作相似等腰三角形” 推廣為“向形內(nèi)方向作相似等腰三角形”.

如圖10，在《幾何畫板》中，以O(shè)A、OB(不妨令OA≠OB)為底邊向形內(nèi)方向作兩個相似等腰三角形．不斷改變鈍角∠AOB的大小和線段OA、OB的長度，容易發(fā)現(xiàn)：∠PEQ不一定為直角，且EP、EQ不一定相等．同上易證：

(1)△PCE≌△EDQ的充要條件是：△OAP、△OBQ都為等腰直角三角形；

(2)△PEQ是以PQ為斜邊的等腰直角三角形的條件是△OAP、△OBQ都是等腰直角三角形；

(3)△ABR為等邊三角形的充要條件是∠MON=150°；

(4)△ARB∽△PEQ充要條件為△OAP、△OBQ都是等腰直角三角形且∠MON=135°．

圖11

2、實驗六——將“鈍角三角形” 推廣為“銳角三角形”，向形外作相似的等腰三角形

如圖11，在《幾何畫板》中，作銳角△AOB，以O(shè)A、OB(不妨令OA≠OB)為底邊向形外作兩個相似等腰三角形．不斷改變銳角∠AOB的大小和線段OA、OB的長度，容易發(fā)現(xiàn)：∠PEQ不一定為直角，且EP、EQ不一定相等．同上易證：

(1)△PCE≌△EDQ的充要條件是：△OAP、△OBQ都為等腰直角三角形；

(2)△PEQ是以PQ為斜邊的等腰直角三角形的條件是△OAP、△OBQ都是等腰直角三角形；

(3)△ABR為等邊三角形的充要條件是∠MON=30°；

(4)△ARB∽△PEQ充要條件為△OAP、△OBQ都是等腰直角三角形且∠MON=45°．

3、實驗七——將“鈍角三角形” 推廣為“銳角三角形”，向形內(nèi)方向作相似的等腰三角形.

圖12

如圖12，在《幾何畫板》中，作銳角△AOB，以O(shè)A、OB(不妨令OA≠OB)為底邊向形內(nèi)方向作兩個相似等腰三角形．不斷改變銳角∠AOB的大小和線段OA、OB的長度，容易發(fā)現(xiàn)：∠PEQ不一定為直角，且EP、EQ不一定相等．同上易證：

(1)△PCE≌△EDQ的充要條件是：△OAP、△OBQ都為等腰直角三角形；

(2)△PEQ是以PQ為斜邊的等腰直角三角形的條件是△OAP、△OBQ都是等腰直角三角形；

(3)△ABR為等邊三角形的充要條件是∠MON=30°；

(4)△ARB∽△PEQ充要條件為△OAP、△OBQ都是等腰直角三角形且∠MON=45°．

綜上所述，我們得到下列一般性結(jié)論：

結(jié)論以△AOB的邊OA、OB為底邊向形外(或形內(nèi)方向方向)作兩個相似等腰三角形△OBP、△OAQ，點C、D、E分別為邊AO、OB、AB的中點，延長PC、DQ交于點R．則：

(1)△PCE≌△EDQ的充要條件是：△OAP、△OBQ都為等腰直角三角形；

(2)△PEQ是以PQ為斜邊的等腰直角三角形的條件是△OAP、△OBQ都是等腰直角三角形；

(3)當∠AOB為鈍角時，則△ABR為等邊三角形的充要條件是∠MON=150°；當∠AOB為銳角時，則△ABR為等邊三角形的充要條件是∠MON=30°；

(4)當∠AOB為鈍角時，△ARB∽△PEQ充要條件為△OAP、△OBQ都是等腰直角三角形且∠MON=135°．當∠AOB為銳角時，△ARB∽△PEQ充要條件為△OAP、△OBQ都是等腰直角三角形且∠MON=45°．

可見，這道2016安徽中招考試試題僅僅是上述結(jié)論的一種非常特殊的情況．

本文系安徽省科學規(guī)劃重點課題(編號：JG12316)研究成果.

2016-08-11)