經(jīng)驗(yàn)激活與方法提煉
——直角三角形面積公式探索

□宋煜陽 鄔盼盼

【課前思考】

國內(nèi)教材把“平行四邊形的面積”作為“多邊形面積”這一單元的起始課，轉(zhuǎn)化方法只涉及剪拼法，不能幫助學(xué)生積累倍拼法的活動經(jīng)驗(yàn)，在后續(xù)“三角形的面積”學(xué)習(xí)中出現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)斷層。將“直角三角形的面積”作為單元面積公式序列的起始課，主要基于直角三角形的特殊性，能激活學(xué)生將直角三角形轉(zhuǎn)化為長方形的自發(fā)經(jīng)驗(yàn)，同時提煉出剪拼法（沿著與直角邊平行的中位線剪拼為長方形）和倍拼法（用兩個全等的直角三角形合拼為長方形），幫助學(xué)生積累必要的學(xué)習(xí)多邊形面積的活動經(jīng)驗(yàn)。

【教學(xué)實(shí)踐】

一、明確任務(wù)，嘗試自主探究

呈現(xiàn)圖1，給出信息：每個小正方形的邊長表示1 厘米，這個直角三角形的面積是（ ）平方厘米。

圖1

圖2

師：你用哪些方法得到直角三角形面積？把你的想法畫一畫、寫一寫、算一算。完成一種后思考第二種。

學(xué)生在練習(xí)紙上獨(dú)立探索，教師巡視、選擇學(xué)生典型作品。

二、反饋交流，奠定轉(zhuǎn)化意識

呈現(xiàn)數(shù)格子作品，學(xué)生介紹方法：先數(shù)整格的有6格，再數(shù)半格的有4個，合起來是8平方厘米。

呈現(xiàn)圖2，互動解讀方法。

生：這個方法是在旁邊補(bǔ)上一個一樣的直角三角形，讓它變成正方形，正方形的面積是4×4=16平方厘米，直角三角形的面積就是把正方形面積除以2，是8平方厘米。

師追問：正方形是特殊的長方形，為了方便發(fā)現(xiàn)規(guī)律，我們把它稱為長方形，你是怎么想到把直角三角形變成長方形的？

生：因?yàn)殚L方形的面積計算我們以前已學(xué)過了。

師：把未學(xué)的新知轉(zhuǎn)化成原來學(xué)過的舊知，這種方法稱為轉(zhuǎn)化，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上經(jīng)常要用到。長方形的面積怎么計算？長、寬分別是直角三角形的哪一部分呢？根據(jù)長方形的面積公式，你認(rèn)為直角三角形的面積計算公式是怎樣的呢？

生：底×高÷2。

師：你們是怎么想的？為什么要除以2？

生：因?yàn)殚L方形的長相當(dāng)于直角三角形的底，寬相當(dāng)于它的高，面積是它的2 倍，所以還要除以2。

師：你們不但會算，還通過長方形和直角三角形之間的聯(lián)系推導(dǎo)出直角三角形的面積計算公式。

圖3

圖4

師（呈現(xiàn)圖3）：這幅作品，你能看懂嗎？

生：這種方法是從直角三角形高一半的地方剪下一個小三角形拼成長方形，這個長方形的長是4厘米、寬是2厘米，所以面積是8平方厘米。

請學(xué)生現(xiàn)場實(shí)物演示剪拼方法。

師：看懂了嗎？我們回到圖中再來看一看，這個長方形面積是怎么計算的？長、寬又分別是直角三角形的哪一部分？

生：長方形的長就是直角三角形的底，它的寬是直角三角形高的一半，所以直角三角形的面積是“底×（高÷2）”。

師：為什么要除以2？

生：因?yàn)楦叩囊话胂喈?dāng)于長方形的寬。

師（呈現(xiàn)圖4）：這幅作品也剪拼成了一個長方形，你能看懂嗎？

生：從直角三角形底一半的地方剪下一個小三角形，再拼成一個長方形。

師：這個長方形的長、寬分別是直角三角形的哪一部分？

生：長方形的長就是直角三角形的高，它的寬是直角三角形底的一半，所以直角三角形的面積是“底÷2×高”。

師：這里的除以2表示什么意思？

生：直角三角形底的一半相當(dāng)于長方形的寬。

三、歸類比較，提煉轉(zhuǎn)化方法

師：這三種方法都把直角三角形轉(zhuǎn)化為長方形，根據(jù)它們變化的特點(diǎn)，你能把這三種方法分分類嗎？

生：第一種方法把直角三角形的面積變成了原來的2倍，分為一類；而第二、三種方法只是改變了它的形狀，面積卻沒有變，可以歸為一類。

師：你說出了這三種方法之間的本質(zhì)區(qū)別。是的，我們把第一種方法稱為倍拼法，而第二、三種方法稱為剪拼法。

四、嘗試應(yīng)用，梳理推導(dǎo)方法

師：這里還有一個直角三角形（呈現(xiàn)圖5），它也能用剪拼法、倍拼法轉(zhuǎn)化為長方形嗎？請在學(xué)習(xí)單上畫一畫、寫一寫轉(zhuǎn)化的過程。

（1）學(xué)生獨(dú)立完成，教師巡視。

圖5

（2）交流反饋。

師：說一說，你用了什么方法來計算這個直角三角形的面積。

生1（結(jié)合作品圖6介紹）：我用的是倍拼法，補(bǔ)了個同樣的直角三角形拼成長方形，它的底就是長方形的長，高就是長方形的寬，面積是長方形的一半，所以6×2÷2=6平方厘米。

生2（結(jié)合作品圖7介紹）：我用的是剪拼法，沿著直角三角形的高剪下一個小三角形，拼成長方形，它的底就是長方形的長，高的一半就是長方形的寬，所以面積是6×（2÷2）=6平方厘米。

生3（結(jié)合作品圖8介紹）：我用的也是剪拼法，我是沿著直角三角形的底剪的，底的一半就是長方形的長，高就是長方形的寬，所以面積是6÷2×2=6平方厘米。

圖6

圖7

圖8

師：剛才同學(xué)們推導(dǎo)出的直角三角形的面積計算方法有“底×高÷2”“底×（高÷2）”“底÷2×高”，這里都有除以2，意思一樣嗎？

生：不一樣。第一個除以2表示長方形面積的一半，第二個表示高的一半，第三個表示底的一半。

師：是的。采用倍拼法轉(zhuǎn)化為長方形，面積是直角三角形面積的2 倍；采用剪拼法轉(zhuǎn)化為長方形，面積是不變的。三種計算方法雖然運(yùn)算順序不同，但結(jié)果相同。

五、推廣應(yīng)用，提煉形成公式

師：只憑兩個直角三角形，能得出“底×高÷2”這個計算公式嗎？還需要研究其他直角三角形嗎？

學(xué)生有的認(rèn)為要，有的認(rèn)為不要，意見不一。

師（呈現(xiàn)圖9）：想一想，這兩個直角三角形也能用“底×高÷2”這個面積公式來計算嗎？你是怎么想的？

生：可以的。我用倍拼法，把它們變成長方形，這個長方形的長一定就是直角三角形的底，它的寬就是高，再除以2就是直角三角形的面積，所以也是可以用這個公式的。

生：我覺得不需要再驗(yàn)證其他直角三角形了，因?yàn)樗兄苯侨切慰隙ǘ伎梢酝ㄟ^倍拼變成長方形，或者通過剪拼變成長方形，都可以推導(dǎo)出底×高÷2這個面積公式。

學(xué)生紛紛表示同意。

六、理解運(yùn)用，鞏固面積公式

學(xué)習(xí)單提供圖10，要求列式計算直角三角形面積，并畫一畫轉(zhuǎn)化后的長方形。

結(jié)合學(xué)生作品進(jìn)行反饋交流，請學(xué)生想一想如果算式是“8÷2×6”，是怎樣剪拼的？如果算式是“8×（6÷2）”，又是怎樣剪拼的？

圖9

圖10

（學(xué)生反饋略）

【教學(xué)反思】

通過教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，將“直角三角形的面積”作為單元面積公式推導(dǎo)序列的起始課，有效增進(jìn)了學(xué)生的自主探索空間，激活了學(xué)生多元的轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)學(xué)習(xí)積累了豐富的轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)，是一次成功的嘗試。

首先，直角三角形的特殊結(jié)構(gòu)，能充分調(diào)動學(xué)生轉(zhuǎn)化的自發(fā)經(jīng)驗(yàn)。這一教學(xué)設(shè)計我們分別在城區(qū)、鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校進(jìn)行了實(shí)施，發(fā)現(xiàn)能想到倍拼法和剪拼法的學(xué)生達(dá)到了50%左右。說明將帶有格子圖的直角三角形作為學(xué)習(xí)材料，能有效調(diào)動學(xué)生的自發(fā)經(jīng)驗(yàn)，教師再根據(jù)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)順勢提煉總結(jié)方法，為正確掌握倍拼法和剪拼法打下了良好的基礎(chǔ)，充分證實(shí)了多邊形面積學(xué)習(xí)從學(xué)生經(jīng)驗(yàn)最為豐厚的直角三角形介入的正確性。

其次，將“直角三角形的面積”作為起始課，有助于學(xué)生對公式含義的理解。教學(xué)中依據(jù)不同的轉(zhuǎn)化方法出現(xiàn)了“底×高÷2”“底×（高÷2）”“底÷2×高”三種不同的表達(dá)方式，學(xué)生在結(jié)合圖式溝通意義的過程中，對“÷2”所表達(dá)的不同含義有了深入的理解，促進(jìn)了對面積公式意義的建構(gòu)。

最后，直角三角形的推理經(jīng)驗(yàn)，有利于學(xué)生建立從特殊到一般的序列經(jīng)驗(yàn)，體現(xiàn)推理的嚴(yán)密性。在推導(dǎo)直角三角形面積公式的過程中，從幾個特定的直角三角形到每個直角三角形，都可以通過倍拼、剪拼轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的長方形，得出面積都可以用底乘高除以2 來計算的結(jié)論，從不完全歸納推理得出公式到更一般層面的推理說明，確認(rèn)公式具有一般性，可以幫助學(xué)生建立面積公式推導(dǎo)的序列經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)學(xué)習(xí)一般三角形的面積奠定基礎(chǔ)。

同時，由于直角三角形的特殊性，無論是銳角三角形還是鈍角三角形，都可以通過作高分割為兩個直角三角形，直角三角形的面積公式成為一般三角形的面積公式探究的重要基礎(chǔ)。實(shí)踐表明，將“直角三角形的面積”作為“多邊形的面積”單元的種子課是合理可行的。