或駐足或抽身：詩(shī)意數(shù)學(xué)的視角

□陳六一

“自由的、頓悟的、靈動(dòng)的、自然的”這幾組詞匯所闡釋的感覺和體驗(yàn)，構(gòu)成了“詩(shī)意數(shù)學(xué)”教學(xué)的核心特征。[1]也就是說(shuō)詩(shī)意的數(shù)學(xué)課堂，追求學(xué)生身體與精神同時(shí)在場(chǎng)的意境，追求教的強(qiáng)迫性與學(xué)的自由性的平衡。課堂教學(xué)中教師通過一邊駐足于發(fā)展點(diǎn)，一邊又在生長(zhǎng)點(diǎn)處抽身，將學(xué)生腦的拓展與心的豐盈同步，于是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從表層理解逐步深入到深刻理解，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)從工具性的“器”逐步協(xié)調(diào)到哲學(xué)性的“道”。

一、駐足，一笑顏微破

（一）雪中送炭——駐足失衡

【教學(xué)案例1】三角形的三邊關(guān)系

學(xué)生在用兩根磁條剪其中的一根拼三角形的活動(dòng)中，出現(xiàn)了幾種情況：（1）學(xué)生把短的磁條剪成更短的兩小段，發(fā)現(xiàn)與較長(zhǎng)的磁條無(wú)法圍成三角形。（2）學(xué)生把較長(zhǎng)的磁條剪成兩小段，發(fā)現(xiàn)能與原來(lái)較短的磁條圍成三角形。（3）兩根一樣長(zhǎng)的磁條，學(xué)生將其中一根剪成兩小段，有的能圍出三角形，有的卻圍不出三角形。

學(xué)生在操作中明確認(rèn)識(shí)到“兩邊之和小于第三邊，是圍不出三角形的；當(dāng)兩邊之和大于第三邊，可以圍出三角形”。于此，教師可以直接告知結(jié)論了：“確實(shí)，三角形的兩邊之和大于第三邊?！敝劣谠谏鲜霭咐谐霈F(xiàn)的“兩邊之和等于第三邊，有時(shí)也能圍出三角形”，教師可以解釋是因?yàn)榇艞l的厚度帶來(lái)的誤差。

不過，學(xué)生親眼所見與邏輯思考出現(xiàn)了沖突，如果僅僅通過教師居高臨下的告訴的方式，學(xué)生始終會(huì)疑惑重重。這就需要教師及時(shí)駐足——

課堂中，筆者便會(huì)用幾何畫板，先出示兩根一樣長(zhǎng)的磁條，再將上面一根隨意分成兩段，動(dòng)畫演示這兩小段磁條努力靠近的過程，如下圖：

及時(shí)駐足，讓學(xué)生明白了，原來(lái)所謂的“能圍成三角形”，其實(shí)還是沒有圍成，只是磁條的粗細(xì)帶來(lái)了視覺誤會(huì)。同時(shí)，動(dòng)畫推演催生了學(xué)生的想象，原來(lái)當(dāng)兩邊之和等于第三邊時(shí)，“磁條要么撐不開，要么撐開了搭不上”。學(xué)生自己用形象化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，平衡了最初的失衡。

但是，學(xué)習(xí)如果僅僅滿足于眼見為實(shí)，思維的力度就缺乏彈性，為此，教學(xué)中，教師會(huì)繼續(xù)駐足于“兩邊之和大于第三邊”——

教師提出問題：一根線段長(zhǎng)3 厘米，另一根線段長(zhǎng)8厘米，還需要一根幾厘米的線段才能圍成一個(gè)三角形？當(dāng)學(xué)生回答：大于5 厘米的線段都行，但5 厘米不行，因?yàn)?+3=8。教師繼續(xù)追問：11 厘米行嗎？學(xué)生一旦接口：11+3＞8，可以的，就意味著學(xué)生的思維陷入了“負(fù)遷移”的泥潭，教師需要及時(shí)出示以下圖式：

“兩邊之和大于第三邊”，其實(shí)有三組關(guān)系，即a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a。盡管學(xué)生已經(jīng)理解了“三角形的兩邊之和大于第三邊”這句話，但是思維并不深刻，未能縝密考慮任何一條邊都可以看作第三邊。學(xué)生只有認(rèn)識(shí)到了教師的問題中當(dāng)?shù)谌厼? 厘米和11 厘米時(shí)，這三個(gè)點(diǎn)又在同一條直線上，才算把靜態(tài)的概念語(yǔ)言活化成了理性表達(dá)。學(xué)生體悟到“兩邊之和大于第三邊”，等同于“兩邊之差小于第三邊”，認(rèn)知的不足在重新順應(yīng)到原有的數(shù)學(xué)圖譜上而得以完善。

（二）錦上添花——駐足系統(tǒng)

【教學(xué)案例2】加法交換律

學(xué)生通過解決實(shí)際問題，觀察三個(gè)以上算式，發(fā)現(xiàn)“交換兩個(gè)加數(shù)的位置，和不變”。于是按照這個(gè)樣式，還可以寫出很多算式，包括一些特殊的例子，于是學(xué)生認(rèn)為發(fā)現(xiàn)的規(guī)律成立，加之舉不出反例，因此證明存在加法交換律。

舉不出反例，并不能說(shuō)明規(guī)律一定成立。有學(xué)生會(huì)說(shuō)：“舉不出反例，有可能是我們現(xiàn)在實(shí)力不夠?！鄙醵袀€(gè)別學(xué)生在大家都舉不出反例之時(shí)，用盡課堂剩下的時(shí)間去不斷地挑戰(zhàn)反例，而不理會(huì)教師接下來(lái)的課堂教學(xué)。

于是順勢(shì)駐足“用自己的方式說(shuō)明交換兩個(gè)加數(shù)的位置，和不變”，學(xué)生不但能溝通加法的意義與計(jì)算法則的同一性，而且深切領(lǐng)會(huì)了特殊與一般的辯證關(guān)系。學(xué)生在你來(lái)我往的對(duì)話思辨中，理解了加法的交換律是一個(gè)系統(tǒng)工程。下面的課堂實(shí)錄，正好可作為保羅·拉克哈特的注釋：“對(duì)于我們想象的創(chuàng)造物提出簡(jiǎn)單而直接的問題，然后制作出各自令人滿意而又美麗的解釋。沒有其他事物能達(dá)到如此純粹的概念世界，令人著迷、充滿趣味?！盵2]

生1：3+4指在3后面繼續(xù)數(shù)4個(gè)，4+3指在4后面繼續(xù)數(shù)3 個(gè)，“3 后面繼續(xù)數(shù)4 個(gè)”與“4 后面繼續(xù)數(shù)3個(gè)”一一對(duì)應(yīng)，所以3+4=4+3。

生2：我的左手有3 個(gè)氣球，右手有4 個(gè)氣球，左手的3 個(gè)加右手的4 個(gè)等于一共的氣球數(shù)；我右手的4個(gè)加左手的3個(gè)等于一共的氣球數(shù)。所以說(shuō)3+4=4+3，因?yàn)檫@兩個(gè)加法算式表示的都是我手上一共的氣球數(shù)。

生3：我上衣左邊口袋里裝了3粒糖果，右邊口袋里裝了4 粒糖果，脫下衣服反穿，左邊口袋里變成了4粒糖果，右邊口袋里變成了3粒糖果，3+4和4+3都表示我口袋里的糖果數(shù)量，所以說(shuō)交換兩個(gè)加數(shù)的位置，和不變。

生4：3補(bǔ)上1，4去掉1，這樣3+4就相當(dāng)于交換了位置，變成了4+3，而且由于同時(shí)加1和減1，大小不變。

生5：畫如下線段圖，交換長(zhǎng)短線段，即交換兩個(gè)加數(shù)的位置。交換之后，比較總長(zhǎng)度，總長(zhǎng)不變，便說(shuō)明交換兩個(gè)加數(shù)的位置，和不變。

學(xué)生喜歡探究原委，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是探求真相的最好方式。所以，駐足于學(xué)生的好奇點(diǎn)，將知識(shí)前后關(guān)聯(lián)，將思想方法與基本技能對(duì)接，便開拓了智力與情趣的最大疆域。的確，“學(xué)習(xí)的過程是一段從觀念走向理解再走向建構(gòu)，并繼續(xù)往前走的旅程?！盵3]生5 的線段圖不但揭示出了數(shù)畫成圖后，更加直觀、易于理解，而且一樣可以解釋前面4 位同學(xué)的表述，并超越算式3+4=4+3，達(dá)到一般性概括：a+b=b+a。

二、抽身，百尺竿頭立

（一）獨(dú)上高樓——自覺

【教學(xué)案例3】水龍頭放水問題

“放滿一浴缸水，甲水龍頭單獨(dú)放需要30分鐘放滿，乙水龍頭單獨(dú)放需要60 分鐘放滿。兩個(gè)水龍頭同時(shí)放水，需要多少分鐘放滿？”這種工程問題至少要到六年級(jí)才學(xué)習(xí)，一般的解法是（分鐘）。而二年級(jí)的學(xué)生一樣可以在解構(gòu)中創(chuàng)造屬于自己的數(shù)學(xué)理解。

自阿爾法戰(zhàn)勝柯潔后，機(jī)器人小冰也出版了第一本詩(shī)集，顯然未來(lái)已來(lái)。如果我們小學(xué)數(shù)學(xué)課堂僅僅局限于數(shù)學(xué)知識(shí)的傳承，解題技能技巧的訓(xùn)練，而不發(fā)展學(xué)生的思維，無(wú)疑，學(xué)生的“腦”遲早會(huì)被機(jī)器人所取代。重新檢視布魯納的教導(dǎo)：任何知識(shí)都可以用適當(dāng)?shù)姆绞浇探o任何階段的兒童。[4]我們?cè)诮虒W(xué)中要放棄所謂的支架，可以直接以挑戰(zhàn)性的“思”驅(qū)動(dòng)學(xué)生傾其所能，以當(dāng)下的簡(jiǎn)單收獲今后的復(fù)雜。

二年級(jí)的學(xué)生告訴我：可以畫一排相連通的浴缸，同時(shí)打開甲、乙兩個(gè)水龍頭放60 分鐘水，由于“甲水龍頭單獨(dú)放需要30 分鐘放滿”，那么60 分鐘可以放滿2個(gè)浴缸。加上“乙水龍頭60分鐘放滿1個(gè)浴缸”，這樣，60 分鐘里，甲、乙兩個(gè)水龍頭同時(shí)打開，就放滿了2+1=3個(gè)浴缸。自然，同時(shí)打開甲、乙兩個(gè)水龍頭，放滿1 個(gè)浴缸只需要20 分鐘，因?yàn)?0+20+20就等于60。

如果我們和二年級(jí)的學(xué)生講工作量、工作效率，無(wú)異于拔苗助長(zhǎng)，所以教師要抽身退到教的后面，不用工程問題的模型去套路解決問題，而是讓學(xué)生用自己的方式思索題目間的數(shù)量關(guān)系。這樣的思考就成了“詩(shī)”——自然，靈性，無(wú)拘無(wú)束，卻又擁有足夠的想象力。

（二）無(wú)言憑欄意——自許

【教學(xué)案例4】金字塔上的數(shù)字

埃及古金字塔前的一塊墓碑上，有一個(gè)用象形文字雕刻的數(shù)字。這個(gè)數(shù)字，增添了金字塔的神秘色彩，更引發(fā)了數(shù)學(xué)界的大探討，這個(gè)數(shù)字便是：2520。瑞士鐘表匠布克曾大膽推斷：“金字塔這么浩大的工程，被建造得那么精細(xì)，各個(gè)環(huán)節(jié)被銜接得那么天衣無(wú)縫，建造者必定是一批懷有虔誠(chéng)之心的自由人?！庇谑?，課堂里學(xué)生討論著自由人寫下的2520 的謎底，有的說(shuō)：這是埃及人告誡我們，人類的世界末日是2520 年。有的說(shuō)：2520，即愛我愛你，是古代中國(guó)文明與埃及文明的交融。有的說(shuō)：可能表示墓主人的生辰。

這樣的課堂，要么很容易上成非數(shù)學(xué)課，要么教師用一己之力告知學(xué)生2520的由來(lái)。但學(xué)生終究是淺嘗輒止，不能感受數(shù)字的魅力。所以筆者提醒學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去解讀這個(gè)數(shù)字之后，任憑學(xué)生信馬由韁地進(jìn)行數(shù)學(xué)冒險(xiǎn)。因?yàn)橐坏┯脭?shù)學(xué)的眼光聚焦，邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算就是必然的解釋工具，也只有學(xué)生面對(duì)陌生問題，立即想到運(yùn)用邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等關(guān)鍵能力去破解生活密碼，我們才可以說(shuō)學(xué)生擁有了一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

當(dāng)學(xué)生把2520 分解質(zhì)因數(shù)，我們就頓悟了思維的力量，2520=2×2×2×3×3×5×7，看2520 的因數(shù)有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10……并且2520是這前十個(gè)因數(shù)的最小公倍數(shù)。原來(lái)，古埃及人在茶余飯后，進(jìn)行著智力游戲，探討著數(shù)學(xué)最本質(zhì)的元素：質(zhì)數(shù)。由此也確實(shí)可見布克的推斷是正確的，這是一批有著自由思想的人，這是一批有著詩(shī)人氣質(zhì)的建設(shè)者。

學(xué)生解碼了2520，是用自己的才智發(fā)現(xiàn)的而不是教師告訴的，自然欽佩古埃及人的智慧，更感受到數(shù)學(xué)的驚艷。數(shù)學(xué)在這里，已經(jīng)超越了計(jì)算，而成了智力空間的碼尺。

（三）尋他千百度——自在

【教學(xué)案例5】交換律

在案例2的教學(xué)中，學(xué)生用自己的邏輯確信了加法存在著交換律，但是除了加法，還有減法、乘法、除法，學(xué)生應(yīng)能運(yùn)用所學(xué)，遷移解決其他運(yùn)算中是否存在著交換律。

根據(jù)教材的編排順序，一般地在教學(xué)加法交換律之后，會(huì)接著教學(xué)加法結(jié)合律，之后會(huì)再用一課時(shí)研究乘法交換律。至于減法、除法是否存在交換律，教材是不作探究的。但是，學(xué)生通過所學(xué)，不但明白了加法存在著交換律，還會(huì)運(yùn)用一定的策略、方法證明其為什么存在。這時(shí)不如推波助瀾，讓學(xué)生自問自答：減法有交換律嗎？乘法、除法呢？理由呢？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)，盡管舉例不能說(shuō)明加法、乘法一定存在著交換律，但是只要舉出一個(gè)反例，例如4-3不等于3-4，6÷3不等于3÷6，就足以說(shuō)明減法、除法沒有交換律。

學(xué)生進(jìn)一步說(shuō)理，如加法，舉例只能提出猜想，無(wú)法證明，那么就需要數(shù)形結(jié)合。如右圖，橫著數(shù)▼是3 個(gè)4，豎著數(shù)▼是4 個(gè)3，但總數(shù)不變；改變數(shù)字，道理一樣，概括起來(lái)就是a×b=b×a。

這時(shí)，教師再一次抽身，讓學(xué)生回憶課堂里解決了一些什么問題，是如何推理的，把它們關(guān)聯(lián)起來(lái)，于是就有了下圖。這樣，學(xué)生從單純的加法，結(jié)構(gòu)化到了整個(gè)四則運(yùn)算，并且能從異同兩個(gè)方面去分析。在心理學(xué)上，這個(gè)過程稱之為“壓縮”：圍繞一個(gè)概念一步一步地研究了很長(zhǎng)時(shí)間，采取了多種途徑，而你一旦真正理解了它，那就會(huì)在認(rèn)知上產(chǎn)生巨大的壓縮。這時(shí)候，你就可以把它放在一邊，并在需要的時(shí)候很容易聯(lián)想起它，使它成為其他認(rèn)知過程中簡(jiǎn)單的一步。這種由壓縮而產(chǎn)生的洞察力，正是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣之一。

綜上五個(gè)案例分析，在數(shù)學(xué)課堂里的每一次駐足都是為了抽身。教師抽身于數(shù)學(xué)概念的摸索之外，學(xué)生便可以開拓自己的數(shù)學(xué)疆土，正是用思維去領(lǐng)悟數(shù)學(xué)之魅，學(xué)生也就從生物頭腦發(fā)展到數(shù)學(xué)頭腦。再之，抽身是為了更好的駐足，幫助學(xué)生駐足于思維的困頓，駐足于經(jīng)驗(yàn)與理性的沖突，學(xué)生感受著數(shù)學(xué)的美，不僅是外在的形式，更源于思想的深刻。這樣，學(xué)生在課堂上或明或暗地親歷著：“這就是數(shù)學(xué)——想知道、游戲、用自己的想象力來(lái)娛樂自己?！盵5]而這，也正是詩(shī)意數(shù)學(xué)課堂的內(nèi)涵。