在交流碰撞中實(shí)現(xiàn)深度教學(xué)*
——以“組合圖形面積”教學(xué)為例

□張維國(guó) 肖清華 程 力

隨著基礎(chǔ)教育課程改革的推進(jìn)，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)已成為學(xué)校教育教學(xué)的主要任務(wù)。為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，教師必須將目光聚焦于課堂教學(xué)，擺脫以往淺層的、表層的課堂教學(xué)，實(shí)施有深度、有廣度、有關(guān)聯(lián)度的深度教學(xué)。

深度教學(xué)是一種教學(xué)理念，以知識(shí)觀和發(fā)展的學(xué)習(xí)觀來看，深度教學(xué)注重發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，讓學(xué)生深度參與教學(xué)過程；強(qiáng)調(diào)完整地處理知識(shí)，讓學(xué)生深刻把握教學(xué)內(nèi)容，增強(qiáng)學(xué)生知識(shí)學(xué)習(xí)的意義感、自我感和獲得感。現(xiàn)以“組合圖形面積”一課為例，嘗試從實(shí)踐層面探索實(shí)施深度教學(xué)的路徑。

一、指向深度教學(xué)的課例列舉

（一）“深度”設(shè)問，引學(xué)生思考

師：同學(xué)們，我們學(xué)過哪些平面圖形？

生：三角形、長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、梯形、圓形、菱形。

師：我們可以把這些平面圖形稱為基本圖形。仔細(xì)觀察圖1，它們分別是由哪些基本圖形拼成的？

圖1

圖2

生：第一幅圖形是由5個(gè)三角形、1個(gè)正方形和1個(gè)平行四邊形拼成的。

師：你觀察得真仔細(xì)，那第二幅和第三幅圖呢？

生：我發(fā)現(xiàn)第二幅圖也是由5個(gè)三角形、1個(gè)平行四邊形、1個(gè)正方形組成的。

生：第三幅圖也是（由5 個(gè)三角形、1 個(gè)平行四邊形、1 個(gè)正方形組成）,我發(fā)現(xiàn)這三個(gè)圖案都是用七巧板拼的圖形。

師：你不僅善于觀察，還善于動(dòng)腦。繼續(xù)往下看，圖2是科學(xué)館的指示牌，它由哪些基本圖形組成？

生1：它是由三角形和長(zhǎng)方形組成的。因?yàn)閺倪@里面切一條豎線就分成一個(gè)三角形和一個(gè)長(zhǎng)方形。

生2：這個(gè)圖還可以由三角形、長(zhǎng)方形、正方形組成。我在長(zhǎng)方形里畫兩條豎線段，就能分成三個(gè)平面圖形。

生3：我不同意他（生2）的畫法，我認(rèn)為還是畫一條好，因?yàn)樗怯蓛蓚€(gè)簡(jiǎn)單的平面圖形來組成一個(gè)指路牌的。

師：（指向生2，追問）你覺得呢？

生2：聽了他的講解，我覺得有道理。還是畫一條線段好，如果畫兩條線段的話，會(huì)變成三個(gè)圖形，就需要算三遍，畫一條線段只需要算兩遍，然后加起來就可以了，一條線段比較簡(jiǎn)單。

生4：我想補(bǔ)充一點(diǎn)。我也覺得畫一條線段比較好，如果畫兩條線段，就要分割成一個(gè)長(zhǎng)方形、一個(gè)正方形、一個(gè)三角形，更加復(fù)雜了。

師：綜合大家的意見，只要畫幾條線段？

生（全體）：一條。

師：你們分析得真透徹啊，像這樣把復(fù)雜的問題變簡(jiǎn)單，把陌生的圖形變熟悉，是數(shù)學(xué)上的化繁為簡(jiǎn)思想。在這個(gè)過程中，你們有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生5：我發(fā)現(xiàn)同一個(gè)圖形，用不同的分法可以分為不同的基本圖形。

師：也就是說，同一個(gè)圖形可以看作是由不同的基本圖形拼成的。

在這一環(huán)節(jié)，教師通過復(fù)習(xí)基本圖形，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)七巧板拼成的復(fù)雜圖形以及指示牌等圖形，都可看作是由一些基本圖形拼成的，可以用“畫線”的方法把組合圖形分割成基本圖形。在這一過程中，學(xué)生通過闡述、質(zhì)疑、爭(zhēng)辯、追問，發(fā)現(xiàn)“不同的分法可以分為不同的平面圖形”，實(shí)現(xiàn)了深度教學(xué)的理念，也為新知學(xué)習(xí)與探究做好了鋪墊。

（二）“深度”探求，得多種解法

師：同學(xué)們對(duì)單個(gè)的基本圖形的面積已經(jīng)掌握，像這些組合圖形的面積又該怎樣計(jì)算呢？今天這節(jié)課，我們就一起來探求組合圖形的面積計(jì)算方法。

出示例題：小華家要在客廳鋪地板（客廳平面圖如圖3），請(qǐng)你根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)算一算小華家客廳至少要買多少平方米的地板？

1.估算與猜測(cè)

師：誰來估一估，大約要買多少平方米的地板？

生：56㎡；生：42㎡；生：36㎡。

師：我們估計(jì)的數(shù)據(jù)都不一樣，怎么辦呢？

生：需要計(jì)算出地板的面積。

圖3

師：說得好，要算出準(zhǔn)確的面積。下面就讓我們一起來算一算。

2.探究與交流

（1）提出活動(dòng)要求，讓學(xué)生獨(dú)立畫一畫、算一算。

活動(dòng)要求：a.畫一畫：先在課堂作業(yè)單上的客廳平面圖上畫一畫；b.算一算：根據(jù)畫的方法，計(jì)算出客廳的面積；c.想一想：你還能想出別的方法嗎？請(qǐng)?jiān)谄渌膱D上畫一畫，再算一算。

（2）在小組交流的基礎(chǔ)上組織全班交流。

師：我們請(qǐng)同學(xué)到前面來說一說，你是怎么算的？

生1：我把這個(gè)圖形分成了兩個(gè)長(zhǎng)方形（如圖4），那么6-3=3（m），接下來就用4×3=12（㎡），3×7=21（㎡），最后算出客廳面積是12+21=33（㎡）。

圖4

圖5

生2：我把這個(gè)組合圖形分成了一個(gè)正方形和一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖5），我們知道正方形的每一條邊是相等的，所以要算這個(gè)正方形面積就要把它的邊長(zhǎng)算出來，7-4=3（m），正方形面積就是3×3=9（㎡），然后長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是6m，寬是4m，4×6=24（㎡），再求出正方形和長(zhǎng)方形的面積之和就等于組合圖形的面積，即24+9=33（㎡）。

生3：我是這樣算的，左邊大長(zhǎng)方形的寬是4m，可以分成兩個(gè)寬是3m，長(zhǎng)是4m 的小長(zhǎng)方形（如圖6）。只要算出2個(gè)小長(zhǎng)方形的面積和右邊1 個(gè)正方形的面積，就能求出客廳總面積。師追問：像這樣分成2 個(gè)長(zhǎng)方形和1 個(gè)正方形的計(jì)算會(huì)比生2的方法簡(jiǎn)單嗎？

圖6

生（全體）：復(fù)雜。

師追問：為什么會(huì)復(fù)雜？

生4：因?yàn)樯? 的方法是把左邊整體的長(zhǎng)方形再繼續(xù)分割成兩個(gè)小長(zhǎng)方形。照這樣分，要先求出小長(zhǎng)方形面積，再求大長(zhǎng)方形面積，最后求客廳面積。計(jì)算就會(huì)由簡(jiǎn)單的一步變成復(fù)雜的兩步。生2的方法比較簡(jiǎn)單，左邊長(zhǎng)方形可直接用6×4算出面積，再與右邊正方形面積相加就得出總面積。

生5：我想補(bǔ)充，其實(shí)在數(shù)學(xué)中沒有說誰的方法行或者不行，只是我們把復(fù)雜的題目變簡(jiǎn)單，把陌生的圖形畫成我們熟悉的圖形。按生2 的方法在圖形旁邊畫一條豎線段分成一個(gè)長(zhǎng)方形和一個(gè)邊長(zhǎng)為3m的正方形就可以了，再分長(zhǎng)方形，畫蛇添足了。能直接求的面積就不要走彎路去繞，生2的方法更簡(jiǎn)單。

師：你解說得真透徹?；睘楹?jiǎn)，變復(fù)雜為簡(jiǎn)單是數(shù)學(xué)中非常重要的轉(zhuǎn)化思想。（板書：繁→簡(jiǎn)，復(fù)雜→簡(jiǎn)單，轉(zhuǎn)化）

生6：我的這個(gè)方法可能比前面的方法要復(fù)雜一點(diǎn)，我是把這個(gè)組合圖形分成兩個(gè)梯形（如圖7）。左邊梯形上底就用6-3=3（m），右邊梯形的上底是7-4=3（m），兩個(gè)梯形的下底和高都已知，根據(jù)梯形的面積公式就可以求出客廳的總面積是18㎡與15㎡的和，是33㎡。

圖7

圖8

生7：我還有不一樣的方法，我的方法是不把它切割，而是在這個(gè)少的地方補(bǔ)上一個(gè)正方形（如圖8）。因?yàn)檠a(bǔ)上這個(gè)正方形它就變一個(gè)大的長(zhǎng)方形。

生8提出質(zhì)疑：補(bǔ)上的圖怎么知道它是一個(gè)正方形？

生7：因?yàn)檫@個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是7m，左邊已知部分是4m，右邊未知部分就是7-4=3（m）；再看大長(zhǎng)方形的寬是6m，已知部分是3m，未知部分就是6-3=3（m），未知部分的長(zhǎng)和寬的邊長(zhǎng)都是3m，所以就是正方形。然后用6×7=42（㎡），算出整個(gè)大長(zhǎng)方形的面積。再減去正方形3×3=9（㎡）的面積就等于這個(gè)客廳的面積。42-9=33（㎡）。大家還有什么疑問嗎？

生9：我有一種比這更容易理解的方法。因?yàn)槲覀円郧皩W(xué)習(xí)求梯形面積的時(shí)候用兩個(gè)一樣的梯形把它拼成一個(gè)平行四邊形，那我發(fā)現(xiàn)用兩個(gè)一樣的圖形可以拼成一個(gè)大的長(zhǎng)方形，這個(gè)客廳的面積就是大長(zhǎng)方形面積的一半（如圖9）。

圖9

師：真的嗎？把你的方法給大家演示一下好不好？

生9：就是這樣的，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)4+7=11（m），寬不變還是6m，11×6=66（㎡），客廳的面積是大長(zhǎng)方形面積的一半，就是66÷2=33（㎡）。

生10：我發(fā)現(xiàn)這個(gè)組合圖形剛好可分割成一大一小兩個(gè)長(zhǎng)方形，這兩個(gè)長(zhǎng)方形的寬都是3m，上面小長(zhǎng)方形分割后添補(bǔ)到下面來，它們正好能拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形（如圖10），大長(zhǎng)方形的面積就是客廳的面積，也就是長(zhǎng)為7+4=11（m），寬3m，面積為11×3=33（㎡）。

圖10

在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師放手讓學(xué)生進(jìn)行嘗試與探究，在學(xué)生獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，再組織課堂分享與交流。在生生互動(dòng)的思維碰撞中，課堂不時(shí)激發(fā)出智慧的火花。學(xué)生不僅想到了四種常規(guī)思路，還想到了后面兩種富有創(chuàng)造力的方法，不僅深度參與教學(xué)過程，還深刻把握了教學(xué)內(nèi)容，提高了用多種方法解決問題的能力。

（三）“深度”概括，形塑數(shù)學(xué)思想

師：通過這些方法的交流，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：我發(fā)現(xiàn)這些方法都有一個(gè)共同點(diǎn)：可以把一個(gè)陌生的圖形通過添補(bǔ)或者分割，變成我們熟悉的圖形。

生2：該組合圖形通過同學(xué)們的分割和添補(bǔ)，成為我們學(xué)過的基本圖形，我發(fā)現(xiàn)可以總結(jié)出兩種方法：一種就是前面三種包括最后一種方法都是割補(bǔ)法，把組合圖形分成我們熟悉的圖形。另外一種方法是把所缺的部分補(bǔ)充完整，然后算出完整圖形的面積，再減去添補(bǔ)部分的面積，就等于我們要算的面積。因此兩種方法是：割補(bǔ)法與添補(bǔ)空白法。

生3：我想補(bǔ)充，不管求什么圖形的面積都得知道一些數(shù)據(jù)。分割法就要知道兩個(gè)圖形求面積的數(shù)據(jù)，再把兩個(gè)圖形的面積加起來。添補(bǔ)法也需要知道完整圖形的面積后再減去添補(bǔ)的面積。我們要找出那些沒有標(biāo)數(shù)據(jù)的地方，比如說現(xiàn)在有一條邊沒有數(shù)據(jù)，如果你需要它，就要找跟它相等的線段；如果沒有，就要找跟它相差的地方。比如用這個(gè)方法推算這個(gè)圖形是長(zhǎng)方形還是正方形，就看這條邊是多少。我們知道這條線段是7m，把這條線平行過來，這條線段總共是7m，這里是4m，那么就是7-4=3（m），這是一種方法。

師：同學(xué)們善于觀察，善于思考，不僅發(fā)現(xiàn)了方法，還知道如何找圖形中隱藏的數(shù)據(jù)，這是解決問題的關(guān)鍵，你們有一雙善于發(fā)現(xiàn)的眼睛。解決組合圖形的面積問題，既可以對(duì)組合圖形進(jìn)行分割，分割成我們學(xué)過的基本圖形，然后再加起來求和，這種方法叫分割法；也可以把缺了的部分補(bǔ)起來，這種方法叫添補(bǔ)法。有時(shí)候，既用分割法又用添補(bǔ)法，比如像生10 的方法，我們是先分割，然后再添補(bǔ)，這種就叫割補(bǔ)法。它可以幫助我們解決很多生活中求面積的問題。

在引導(dǎo)學(xué)生交流多種組合圖形面積的計(jì)算方法后，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)深度思考，進(jìn)行總結(jié)和提升，歸納出解決組合圖形面積問題的常用方法——分割法和添補(bǔ)法，并讓學(xué)生體會(huì)和感悟到其中隱含的數(shù)學(xué)思想。

二、數(shù)學(xué)課堂深度教學(xué)策略思考

（一）“明”“暗”互融

在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)把握好一條明線和一條暗線。明線是學(xué)生對(duì)基本知識(shí)與基本技能的掌握，暗線是學(xué)生對(duì)基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累和對(duì)基本數(shù)學(xué)思想方法的感悟。本課教學(xué)的明線是引領(lǐng)學(xué)生思考并掌握組合圖形面積的計(jì)算方法，暗線是讓學(xué)生積累“割”或“補(bǔ)”組合圖形的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟“轉(zhuǎn)化”這一重要的數(shù)學(xué)思想。教師通過有效的活動(dòng)設(shè)計(jì)與課堂提問，讓學(xué)生在思考與交流碰撞中，既“得法”又“明理”，也就是說，既讓學(xué)生掌握組合圖形面積計(jì)算“分割”或“添補(bǔ)”的方法，又感悟到“轉(zhuǎn)化”這一重要的數(shù)學(xué)思想，達(dá)到深度教學(xué)的要求。

（二）核心問題引領(lǐng)

本課教學(xué)設(shè)計(jì)非常簡(jiǎn)潔，只有三個(gè)核心問題?！白屑?xì)觀察，它們（這些圖形）分別由哪些基本圖形拼成的？”“客廳面積有多大？”及“通過這些方法的交流，你有什么發(fā)現(xiàn)？”整堂課均以這三個(gè)核心問題為驅(qū)動(dòng)，引發(fā)學(xué)生的深度思考與交流。教師在問題提出以后，要舍得把時(shí)間交給學(xué)生讓其獨(dú)立思考，在每個(gè)學(xué)生都有了學(xué)習(xí)與思考成果之后，再用較多的時(shí)間組織生生交流、全班分享，在人人參與的“深度教學(xué)”氛圍中，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。

（三）進(jìn)退有度

學(xué)生有了多種解法以后，如何安排交流的順序？每種方法如何呈現(xiàn)？學(xué)生介紹完自己的方法，教師如何引導(dǎo)全班學(xué)生進(jìn)行思考？教師在課堂的這個(gè)環(huán)節(jié)起著重要的“定海神針”的作用。教師要“到位”而不“越位”，自己盡量少講或不講，放手讓學(xué)生交流碰撞。在每位學(xué)生講解了自己的做法之后，教師要用精練的語言或眼神鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行質(zhì)疑、補(bǔ)充、糾正及優(yōu)化，再對(duì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)與交流的多種方法進(jìn)行總結(jié)與歸納。在這節(jié)課中，每位學(xué)生都非常專心傾聽，深度參與、思考，學(xué)生進(jìn)入了深度學(xué)習(xí)的狀態(tài)。教師把握教學(xué)“進(jìn)退”的策略必須持之以恒。