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    現(xiàn)出中考“圓”形
    ——以2019年中考題為例

    2019-11-16 02:46:04文陳曉麗
    初中生世界 2019年39期
    關(guān)鍵詞:弧長扇形勾股定理

    文陳曉麗

    (作者單位:江南大學(xué)附屬實驗中學(xué))

    各地中考中關(guān)于圓的考查,一般是圍繞圓的基本概念與性質(zhì)、與圓有關(guān)的角、直線與圓的位置關(guān)系、扇形及圓錐的相關(guān)問題,常以計算或證明形式出現(xiàn)。下面結(jié)合2019年一些中考題來看一看。

    考點一:與圓相關(guān)的推理

    例1 (2019·安徽)如圖1,△ABC內(nèi)接于⊙O,∠CAB=30°,∠CBA=45°,CD⊥AB于點D,若⊙O的半徑為2,則CD的長為 ____。

    圖1

    圖2

    【分析】連接OA、OC,根據(jù)∠COA=2∠CBA=90°可求出AC=,然后在Rt△ACD中利用三角函數(shù)即可求得CD的長。

    解:連接OA、OC,如圖2,

    ∵∠COA=2∠CBA=90°,

    ∴在Rt△AOC中,

    ∵CD⊥AB,

    ∴在Rt△ACD中,

    【點評】本題考查了圓周角定理以及銳角三角函數(shù),根據(jù)題意作出常用輔助線是解題關(guān)鍵。

    例2 (2019·嘉興)如圖3,在⊙O中,弦AB=1,點C在AB上移動,連接OC,過點C作CD⊥OC交⊙O于點D,則CD的最大值為 ___ 。

    圖3

    圖4

    【分析】連接OD,如圖4,利用勾股定理得到CD,利用垂線段最短得到當(dāng)OC⊥AB時,OC最小,根據(jù)勾股定理求出OC,代入求出CD即可。

    解:連接OD,如圖4,

    ∵CD⊥OC,∴∠OCD=90°,

    當(dāng)OC的值最小時,CD的值最大,

    而只有當(dāng)OC⊥AB時,OC最小,

    【點評】本題考查了垂線段最短、勾股定理和垂徑定理等知識點,能求出點C的位置是解此題的關(guān)鍵。

    考點二:與圓相關(guān)的計算

    例3 (2019·寧波)如圖5,矩形紙片ABCD中,AD=6cm,把它分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD后,分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓,恰好能作為一個圓錐的側(cè)面和底面,則AB的長為( )。

    圖5

    A.3.5cm B.4cm C.4.5cm D.5cm

    【分析】先設(shè)AB=x,根據(jù)扇形的弧長計算公式算出弧AF的長,根據(jù)該弧長等于直徑為(6-x)的圓的周長,列出方程,求解即可。

    解:設(shè)AB=x,由題意,

    故答案為:B。

    【點評】對于圓錐問題,首先要理解側(cè)面展開的扇形弧長等于底面圓周長,然后利用公式進(jìn)行計算。

    例4 (2019·四川南充改編)如圖6,在半徑為6的⊙O中,點A、B、C都在⊙O上,四邊形OABC是平行四邊形,則圖中陰影部分的面積為 。

    圖6

    【分析】連接OB,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB=OC,推出△AOB是等邊三角形,得到∠AOB=60°,利用扇形的面積公式即可得到結(jié)論。

    “不過,這些玉器受老人的福澤,日久通靈,已然有了神性。本應(yīng)散在宅院各處,結(jié)果又被放在一起,靈性相互沖突,生了異變。好在被封在箱子里,多年來也相安無事。結(jié)果壞就壞在這個小伙子身上了,半年前他也不知道為什么打開了箱子的封條,才引出他們一村的騷動。這些玉器只想著護(hù)主,不知不覺奪了旁人的福氣?!?/p>

    圖7

    解:連接OB,如圖7,

    ∵四邊形OABC是平行四邊形,

    ∴AB=OC,∴AB=OA=OB,

    ∴△AOB是等邊三角形,

    ∴∠AOB=60°,

    ∵OC∥AB,∴S△AOB=S△ABC,

    ∴圖中陰影部分的面積=S扇形AOB

    【點評】本題考查的是扇形面積的計算,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì),將△ABC的面積轉(zhuǎn)化為△AOB的面積,從而將不規(guī)則圖形(陰影部分)的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形(扇形AOB)的面積。掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵。

    考點三:圓的綜合運(yùn)用

    例5 (2019·衢州)如圖8,在等腰△ABC中,AB=AC,以AC為直徑作⊙O交BC于點D,過點D作DE⊥AB,垂足為E。

    圖8

    (1)求證:DE是⊙O的切線。

    【分析】(1)連接OD,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和等量代換得∠1=∠B,由垂直定義和三角形內(nèi)角和定理得∠2+∠B=90°,等量代換得∠2+∠1=90°,由平角定義得∠ODE=90°,從而可得證。

    (2)連接AD,由圓周角定理得∠ADC=90°,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可得∠AOD=60°,在Rt△DEB中,由直角三角形性質(zhì)得BD=CD=2 3,在Rt△ADC中,由直角三角形性質(zhì)得OA=OC=2,再由弧長公式計算即可求得答案。

    (1)證明:如圖9,連接OD。

    圖9

    ∵OC=OD,AB=AC,

    ∴∠1=∠C,∠C=∠B,∴∠1=∠B,

    ∵DE⊥AB,∴∠2+∠B=90°,

    ∴∠2+∠1=90°,∴∠ODE=90°,

    ∴DE為⊙O的切線。

    (2)解:連接AD,

    ∵AC為⊙O的直徑,∴∠ADC=90°。

    ∵AB=AC,∴∠B=∠C=30°,BD=CD,

    ∴∠AOD=60°。

    【點評】本題考查了切線的判定,有兩種方法:①過半徑外端,且垂直于半徑;②圓心到直線的距離等于半徑。問題(1)用的就是第①種方法。問題(2)中要求弧長,須知弧所對圓心角和所在圓的半徑這兩個條件,證得∠AOD=60°是解題的關(guān)鍵。

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