巧用平面幾何性質(zhì)，解決與圓有關(guān)的問題

江蘇省梁豐高級中學數(shù)學組 王 燕

直線和圓的位置關(guān)系在高考要求中屬于“理解”，它是平面解析幾何的基礎(chǔ)。平面解析幾何中解決這類問題的方法通常是坐標法，也就是將幾何問題代數(shù)化、用代數(shù)的方法解決幾何問題?？荚嚧缶V中對橢圓、雙曲線、拋物線要求的弱化，更加凸顯了直線與圓的地位，但是有些直線與圓的題目如果用代數(shù)法解決計算比較復雜，得分也就比較低。 圓的垂徑定理和蘇教版選修4-1《幾何證明選講》中割線定理、切割線定理、相交弦定理在考試大綱要求中屬于“理解”。如果我們能夠熟練應用圓的這幾個定理，則一定會為我們解決解析幾何中直線與圓的有關(guān)問題提供更為廣闊的思維空間。

方法二：取弦AB的中點M，由垂徑定理，設(shè)OA=x，AB=2x，兩次利用勾股定理，得

評注：本題如果設(shè)直線方程后和圓方程聯(lián)立來求弦長，AB=2OA這個條件用起來比較困難，而且計算比較復雜。這里巧妙利用圓的相交弦定理或垂徑定理，使問題得到了順利解決。

評注：本題若設(shè)兩條直線的方程并與圓方程聯(lián)立來解決，計算非常復雜，而且還需要討論直線斜率是否存在，在此巧妙運用圓的垂徑定理和基本不等式處理，使問題很快就迎刃而解。

例3 （2008年江蘇省百所高中樣本分析考試第18題）如圖，已知圓A的半徑是2，圓外一定點N與圓A上的點的最短距離為6，過動點P作A的切線PM（M為切點），連接PN，使得

（1）試建立適當?shù)淖鴺讼担髣狱cP的軌跡E；

（2）方法一：設(shè)圓心（16,0），作圓的切線AK，連接MK。

方法二：設(shè)x軸與圓交于點Q，R，則由圓的割線定理得：

評注：本題第二問利用圓的切割線定理或割線定理，巧妙簡化了計算，為求解其他題目可以贏得更多的時間。

例4 （2009屆蘇州五市三區(qū)高三數(shù)學九月調(diào)研測試卷第17題）已知圓，直線。

（1）求證：對m∈R，直線l與圓C總有兩個不同的交點A、B；

（2）求弦AB的中點M的軌跡方程，并說明其軌跡是什么曲線；

（2）由垂徑定理，CM⊥l, ∠CMP=90°，所以點M的軌跡是以CP為直徑的圓，即以為圓心，為半徑的圓（除掉點P（1,1））。所以AB的中點M的軌跡方程是：（除掉點P（1,1））。

（3）P（1,1）在直線l上，∴P，A，B共線。

過點P作圓C的直徑EF，

評注：本題第（2）小題若將直線與圓聯(lián)立得交點，再求中點，然后消去參數(shù)m，得中點的軌跡方程。大多數(shù)同學在求出后，不知如何消去參數(shù)m，也就無法得出軌跡了。這里我們利用圓的垂徑定理，得中點M的軌跡是以CP為直徑的圓（除掉點P（1,1））），巧妙地得到了解答，而且也簡化了計算。

（1）求橢圓C的方程；

（2）證明點Q在以AB為直徑的圓O上；

（3）試判斷直線QN與圓O的位置關(guān)系。

（3）QN與圓O相切。

證明：連接OQ,ON,QB。

由（2）得，OQ=OB，∠AQB=90°，N為MB中點，所以QN=NB，OQ=OB，得出△OQN≌△OBN,所以∠OQN=∠OBN=90°，OQ⊥QN，QN與圓O相切。

評注：本題第三問研究直線與圓相切，可以利用斜率之積為-1，但是需要討論分母是否為0，計算相對麻煩。在這里利用兩個直角三角形全等，獨辟蹊徑，使問題得到圓滿解決。

處理直線與圓的位置關(guān)系這一類的問題，如果我們能夠換一種思路，從我們學習過的圓的性質(zhì)入手，也許我們就能夠找到柳暗花明又一村的感覺。如果我們平時能夠積累一些處理類似問題的方法，在解決問題的時候也會往這方面想一想，而不是一味蠻干，這樣也就達到了知識之間的融會貫通和綜合運用的目的。