數(shù)形結(jié)合與有效課堂教學(xué)

江蘇省蘇州市吳中區(qū)木瀆金山高級(jí)中學(xué) 顧維維

一、培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合意識(shí)，尋找契合點(diǎn)

“冰凍三尺非一日之寒”，要讓學(xué)生能夠熟練掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法，首先應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生具備數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，這要求我們教師必須在平時(shí)的教學(xué)中經(jīng)常滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，要注意培養(yǎng)學(xué)生這種思想意識(shí)，爭取做到見數(shù)思形，見形想數(shù)。

分析：由于本題所給函數(shù)解析式結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，沒用明顯突破點(diǎn)，運(yùn)用常規(guī)辦法難度較大，而且過程煩瑣。仔細(xì)觀察，可以發(fā)現(xiàn)題目所求可以看成是兩段距離差值的最大值，將“數(shù)” 化成“形”來解決，值得一試。

如圖所示，結(jié)合圖形可知，當(dāng)A，B，P三點(diǎn)共線時(shí)，f（x）最小，此時(shí)

分析：題目已知的是分別關(guān)于a，b和c，d的兩個(gè)方程，很一般，但是所求的形式卻給了我們很好的靈感，它不就是兩點(diǎn)間距離的平方嗎？而這兩點(diǎn)分別在所給方程對(duì)應(yīng)的函數(shù)曲線上，那么強(qiáng)烈的數(shù)形結(jié)合意識(shí)便油然而生。

通過這兩個(gè)例題可以看出，在平時(shí)教學(xué)中主動(dòng)設(shè)置類似問題，引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)審題，認(rèn)真觀察，找到數(shù)形結(jié)合的契合點(diǎn)或者突破點(diǎn)，逐步培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，由于數(shù)形結(jié)合是直觀想象（數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要素之一）的重要內(nèi)容，所以數(shù)形結(jié)合思想的滲透過程也是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)過程。

二、抓住本質(zhì)，真正做到“心中有形”

（1）若f（x）≥0，求a的值；

分析：（1）問的解法很多，比如對(duì)a與0比較，進(jìn)行分類討論，或者參變分離，求導(dǎo)，求最小值等等。事實(shí)上，本題還可以通過數(shù)形結(jié)合來研究，當(dāng)然，這種方法不一定最簡單，筆者單純從研究角度考慮本題的第（1）問。

解：令f（x）≥0，即x-1≥alnx，若a＜0，不妨取則顯然不合題意。a=0時(shí)，取則 f（x）＜0，同樣不合題意，故a＞0。

由于x-1≥alnx，該不等式所表示的含義可以這樣理解：定直線y=x-1恒在過定點(diǎn)（1,0）的曲線y=alnx的上方，當(dāng)a=1時(shí)，y=alnx在（1,0）處的切線是y=x-1，如下圖中曲線C1所示，符合題意；

當(dāng)a＞1時(shí)，如曲線C2，不符合題意；

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，如曲線C3，不符合題意。

所以，要滿足定直線y=x-1恒在曲線y=alnx的上方，當(dāng)且僅當(dāng)a=1。

思維發(fā)散：事實(shí)上，本題還可以換個(gè)角度去研究，根據(jù)前面的分析可知a＞0，則x-1≥alnx可變形為那么問題轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線恒在定曲線的上方，

當(dāng)a=1時(shí)，y=alnx在（1,0）處的切線是y=x-1，結(jié)合下圖，符合題意；

當(dāng)a＞1時(shí)，此時(shí)直線如下圖l1所示，與y=lnx交于另一點(diǎn)A，不符合題意；

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，此時(shí)直線如下圖l2所示，與y=lnx交于另一點(diǎn)B，不符合題意；

綜上可知，a=1。

評(píng)注：本題以高考題為研究背景，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，從多角度來展開探討，在課堂上做開放性研究，教師適當(dāng)引導(dǎo)，目的是要讓學(xué)生知道如何去除問題表面，抓住數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)，同時(shí)又感受到數(shù)形結(jié)合的魅力，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合的深刻理解，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和輕松面對(duì)高考的信心。

在高中的教學(xué)中，我們經(jīng)常會(huì)遇到許多相似的題目，這些題目大多數(shù)我們都很熟悉，作為教師，我們應(yīng)該善于總結(jié)，發(fā)現(xiàn)內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律，形成知識(shí)體系，傳授給學(xué)生，這樣做能夠開闊學(xué)生思維，增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)信心，同時(shí)可以有效避免題海戰(zhàn)術(shù)以及學(xué)生一做就錯(cuò)，再做再錯(cuò)導(dǎo)致的消極學(xué)習(xí)心理。

評(píng)注：兩種解法首先均是利用y=ax(a＞1)的單調(diào)性得到以c，d為根的方程，解法1為常規(guī)解法，但解方程和不等式過程比較煩瑣，而解法2比較靈活，首先對(duì)方程進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化為與常數(shù)函數(shù)y=lna的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合，答案一目了然。

當(dāng)然，此時(shí)應(yīng)趁熱打鐵，乘勝追擊!

分析：本題若用一般方法解決，難度較大，若考慮數(shù)形結(jié)合，以函數(shù)的性質(zhì)為依托，對(duì)函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)變形，將原函數(shù)存在零點(diǎn)轉(zhuǎn)為兩條曲線有交點(diǎn)，那么問題便可迎刃而解。

圖（1）

圖（2）

數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)始終貫穿在數(shù)學(xué)教學(xué)中，具體可以根據(jù)所授內(nèi)容，結(jié)合學(xué)生實(shí)際情況，在我們的課堂教學(xué)和課后訓(xùn)練中不斷滲透“數(shù)形結(jié)合”思想，事實(shí)上，這也是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)過程，在這個(gè)過程中，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的魅力，增強(qiáng)其學(xué)習(xí)的興趣和信心，快樂學(xué)習(xí)，同時(shí)也提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和解題能力。

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和教學(xué)中，我們要仔細(xì)觀察，善于總結(jié)，總結(jié)好的理論與思想，好的教學(xué)方法與對(duì)策，并實(shí)實(shí)在在地落實(shí)到每一節(jié)數(shù)學(xué)課堂中，切實(shí)提高教學(xué)實(shí)效。