潮流方程的割線法求解

趙 澤，何飛躍

（中國(guó)水利水電科學(xué)研究院 自動(dòng)化研究所，北京 100038）

1 研究背景

潮流計(jì)算是指在電力系統(tǒng)中給定輸入的有功功率和無功功率，線路參數(shù)以及網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，計(jì)算線路潮流分布以及節(jié)點(diǎn)電壓的一類算法。潮流計(jì)算是電力系統(tǒng)分析中最重要、最基本的計(jì)算，是電力系統(tǒng)運(yùn)行、規(guī)劃及安全、可靠性分析和優(yōu)化的基礎(chǔ)。經(jīng)典的牛頓類方法是電力系統(tǒng)潮流計(jì)算的應(yīng)用方法之一，雖然具有二階的收斂特性，但其對(duì)初值的敏感性較高。文獻(xiàn)［1］通過縮小初值的選擇范圍來改善牛頓類潮流計(jì)算的收斂性。另外，先使用快速分解法［2-4］求得合理的迭代初值，然后使用牛頓法對(duì)潮流方程進(jìn)行迭代求解，是連續(xù)潮流求解的常用方法。

割線法是一個(gè)傳統(tǒng)的解偏微分方程的方法。本文將割線法應(yīng)用于潮流計(jì)算中，通過對(duì)潮流方程的簡(jiǎn)化和計(jì)算修正，快速準(zhǔn)確解出潮流方程。

2 割線法介紹

2.1 差商思想的割線法 一般的牛頓-拉夫遜法的表示為：

為了避免對(duì)每次迭代形成新的雅克比矩陣，通過差商的思想，將微分方程化為代數(shù)方程：

將式（2）帶入式（1）即得到了割線法迭代方程：

圖1和圖2所示分別表示N-R法和一般型割線法。從圖中可以看出，割線法需要兩個(gè)初值才能進(jìn)行迭代計(jì)算。圖3為改進(jìn)型的割線法，要求f（xk-1）?f（xk）＜0。

圖1 N-R法

圖2 一般型割線法

2.2 收斂性在文獻(xiàn)［5］中指出，單根情況下N-R法具有二階收斂性。在選取初值較好的情況下，N-R法可以很快迭代收斂到方程的解，但由于其每次迭代都要求取新的雅可比矩陣，一次計(jì)算速度大大下降，合適的初值并不容易估計(jì)到，所有單獨(dú)的N-R法并不適合快速潮流的求解?？焖俜纸夥ㄊ且环N定雅可比法，是對(duì)雅可比矩陣進(jìn)行了簡(jiǎn)化，并且節(jié)點(diǎn)功率偏差量的計(jì)算及收斂條件都是嚴(yán)格的，因此能夠保證計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性；快速分解法僅有線性收斂速度，但是其魯棒性較好，適合在線計(jì)算［6］。割線法的收斂階為1.618［5］，理論上，在相同的迭代條件下，割線法迭代次數(shù)介于牛頓-拉夫遜法和快速分解法之間，具有快速迭代的特點(diǎn)。本文對(duì)割線法進(jìn)行了改進(jìn)和條件約束，有效保證了合適的迭代方向，而且經(jīng)過后文的仿真驗(yàn)證，結(jié)果的準(zhǔn)確性也能得到保障。

3 割線法潮流計(jì)算

3.1 潮流方程極坐標(biāo)形式的潮流方程［6］：

式中：是給定量，是節(jié)點(diǎn)的注入功率；Gij和Bij是節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的實(shí)部和虛部。

3.2 迭代初值設(shè)第k次迭代的結(jié)果為集合雖然割線法對(duì)初值的選擇不敏感，但是多值迭代的情況下，可能會(huì)出現(xiàn)個(gè)別值的單次迭代精度差異較大，增加迭代的次數(shù)。因此，選擇初值應(yīng)符合電力系統(tǒng)需求。

3.3 迭代方程的簡(jiǎn)化及迭代方向的修正由于割線法求解潮流時(shí)需要兩組迭代結(jié)果作為初值進(jìn)行下一次迭代，如集合X（2）基于集合X（0）和集合X（1）獲得。根據(jù)高斯-塞德爾迭代的思想，對(duì)潮流方程做類似的迭代處理，迭代出來的新值在隨后的迭代中立即使用，見下式：

4 算法實(shí)現(xiàn)

改進(jìn)的割線法［7］是利用根的存在定理，引導(dǎo)一個(gè)正確的迭代方向，見圖3所示。

基于文獻(xiàn)［7］對(duì)割線法的優(yōu)化思想，實(shí)現(xiàn)了單一變量的割線法求解，每次迭代會(huì)修正迭代方向，改進(jìn)了割線法的迭代速度。文獻(xiàn)［7］提出的改進(jìn)的割線法的思想，實(shí)現(xiàn)多變量的割線法求解。每次每個(gè)變量的迭代使用改進(jìn)的割線法來保證每次迭代的正確方向，每次迭代每個(gè)變量之間借鑒高斯-塞德爾迭代的思想，修正變量的迭代值，使迭代結(jié)果向真實(shí)值靠攏。

4.1 割線法的優(yōu)化由上述討論，已經(jīng)將潮流方程化成了多個(gè)單變量的代數(shù)方程的求解，設(shè)任意一個(gè)變量和任意一個(gè)潮流方程分別為x和f（x）。

文獻(xiàn)［7］給出了單值求解的改進(jìn)型迭代算法：

4.2 割線法的迭代過程綜合割線法潮流計(jì)算分析和改進(jìn)型迭代算法的實(shí)現(xiàn)，給出割線法潮流計(jì)算的迭代過程。

（1）給定初值x0，x1。如果轉(zhuǎn)（2）；否則，令x1=x1+2kS，其中S=(x0-x1)?直至取到滿足轉(zhuǎn)（7）；否則轉(zhuǎn)（4）。（4）執(zhí)行k=k+1，x2=x1+2kS，直至轉(zhuǎn)（5）。（5）如果轉(zhuǎn)（6）。（6）x0=x1，x1=x2，x2=x1+S ，轉(zhuǎn)（3）。（7）x0=x1，x1=x2；轉(zhuǎn)（2）。

5 算例分析

圖4和圖5所示的三母線電力系統(tǒng)，已知t=1.05，PD1+jQD1=2+j1，PD2+jQD2=0.5+j0.25，PG2=1，V2=1.01，V3∠θ=1∠0°，用割線法計(jì)算極坐標(biāo)形式的潮流方程。

節(jié)點(diǎn)①為PQ節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)②為PV節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)③為Vθ節(jié)點(diǎn)；待求參數(shù)為θ1、θ2、V1。

容易列出潮流方程，此處略去。

割線法的迭代方程：

圖4 三母線電力系統(tǒng)

圖5 節(jié)點(diǎn)編號(hào)后的三母線電力系統(tǒng)

需要6個(gè)初值才能進(jìn)行迭代，

取初始值取初始值

利用割線法的迭代算法，收斂閥值為0.0000 5，求解結(jié)果列于表1中。運(yùn)算時(shí)間0.0052 s。

表1 三母線系統(tǒng)割線法求解的迭代結(jié)果

利用快速分解法，使用平啟動(dòng)的方式進(jìn)行潮流計(jì)算；計(jì)算結(jié)果見表2。運(yùn)算時(shí)間0.0049 s。

利用N-R法，使用平啟動(dòng)的方式進(jìn)行潮流計(jì)算；計(jì)算結(jié)果見表3。運(yùn)算時(shí)間0.026 s。

表2 三母線系統(tǒng)快速分解法求解的迭代結(jié)果（平啟動(dòng)）

表3 三母線系統(tǒng)N-R法求解的迭代結(jié)果（平啟動(dòng)）

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，電壓一般都是在標(biāo)幺值1.0附近，所以選擇初值時(shí)電壓的取值應(yīng)在1.0左右；而相角的變化不易確定，但是一般節(jié)點(diǎn)間的角度差不會(huì)太大。經(jīng)過測(cè)試，改進(jìn)型割線法經(jīng)過5-8次迭代后收斂到5×10-5，其迭代結(jié)果與快速分解法和N-R法吻合，保證了用割線法求解的正確性。計(jì)算時(shí)間與快速分解法近似，效率上優(yōu)于N-R法。由于N-R法每次迭代重新生成雅可比矩陣，導(dǎo)致單次迭代計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)，所以，雖然迭代次數(shù)少，但是總的計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)。

圖6和圖7反應(yīng)了初值選擇對(duì)N-R法和割線法計(jì)算效率的影響，可以觀察到θ1從-1到1變化，初值選擇在真實(shí)值附近時(shí)，迭代次數(shù)較少，計(jì)算時(shí)間較短。當(dāng)初值選擇為0.8后，N-R法的迭代此時(shí)達(dá)到了16次，計(jì)算時(shí)間達(dá)到了0.156 s；而割線法的迭代次數(shù)維持在6-8次，計(jì)算時(shí)間為0.005-0.007 s。割線法在保證計(jì)算時(shí)間的同時(shí)，可以有效避開初值的選擇對(duì)迭代收斂性的影響。

圖6 N-R法迭代次數(shù)和迭代時(shí)間趨勢(shì)

圖7 割線法迭代次數(shù)和迭代時(shí)間趨勢(shì)

6 結(jié)論

本文討論了割線法在求解潮流方程的有效應(yīng)用，并用改進(jìn)的割線法和簡(jiǎn)化的潮流方程給潮流方程的求解提供了新的思路。割線法求解潮流方程可以避開初值對(duì)迭代過程收斂性的影響，并使迭代過程向著真實(shí)值的方向發(fā)展，可以有效的提高計(jì)算的速度。本文中實(shí)現(xiàn)了對(duì)潮流方程的變量的簡(jiǎn)化、迭代方向的修正以及迭代過程的改進(jìn)，驗(yàn)證了割線法求解潮流方程的可行性、準(zhǔn)確性和時(shí)效性，有利于快速準(zhǔn)確地求解潮流分布。

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