圓周角定理應(yīng)用的“兩融合”

劉家良

縱觀全國(guó)各地以圓為載體求角大小的中考試題，多以圓周角定理的應(yīng)用為核心，并結(jié)合其他相關(guān)知識(shí)來(lái)考查，下面舉例介紹.

一、融合垂徑定理，轉(zhuǎn)化三量關(guān)系

過(guò)圓心且垂直于弦的直徑，是垂徑定理的條件，同圓中的弧、弧所對(duì)的弦及弧所對(duì)的圓心角這三個(gè)量中若有一組量相等，則其余兩組量分別相等.

例1（2020·湖北·荊門）如圖1，⊙O中，OC⊥AB，∠APC=28°，則∠BOC的度數(shù)為（ ）.

A. 14° B. 28° C. 42° D. 56°

分析：由OC⊥AB，得[AC] = [BC]，于是可想到連接OA，得到∠AOC = ∠BOC. 由圓周角定理得∠AOC = 2∠APC=56°，進(jìn)而得∠BOC的度數(shù).

解：連接OA，如圖1. 在⊙O中，∵OC⊥AB，∴[AC] = [BC]，∴∠AOC = ∠BOC. 由圓周角定理，得∠AOC = 2∠APC=56°，∴∠BOC=56°. 故選D.

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)垂徑定理和“三個(gè)量”的關(guān)系，就將所求角和已知角間接地轉(zhuǎn)化到同一條弧所對(duì)的圓心角和圓周角上了.

二、融合圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理，求解內(nèi)角大小

由圓內(nèi)接四邊形想到其對(duì)角互補(bǔ).

例2（2020·黑龍江·牡丹江）如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接BD. 若[AC] = [BC]，∠BDC=50°，則∠ADC的度數(shù)是（ ）.

A. 125° B. 130° C. 135° D. 140°

分析：由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知，欲求∠ADC的度數(shù)，需求∠ABC的度數(shù).由[AC] = [BC]，得∠ABC=∠CAB. 由“同弧所對(duì)的圓周角相等”得∠CAB = ∠BDC=50°，即∠ABC=50°.

解：連接AC，如圖2. ∵∠CAB，∠BDC都為[BC]所對(duì)圓周角，∴∠CAB =∠BDC=50°. ∵[AC] = [BC]，∴∠ABC=∠CAB=50°. ∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠ADC =180° - ∠ABC = 130°.

故選B.

點(diǎn)評(píng)：由“四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O”想到四邊形ABCD對(duì)角互補(bǔ)，從而可知欲求∠ADC的度數(shù)需求∠ABC的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.