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    圓周角定理應(yīng)用的“兩融合”

    2021-08-28 13:40:02劉家良
    關(guān)鍵詞:垂徑欲求圓心角

    劉家良

    縱觀全國(guó)各地以圓為載體求角大小的中考試題,多以圓周角定理的應(yīng)用為核心,并結(jié)合其他相關(guān)知識(shí)來(lái)考查,下面舉例介紹.

    一、融合垂徑定理,轉(zhuǎn)化三量關(guān)系

    過(guò)圓心且垂直于弦的直徑,是垂徑定理的條件,同圓中的弧、弧所對(duì)的弦及弧所對(duì)的圓心角這三個(gè)量中若有一組量相等,則其余兩組量分別相等.

    例1(2020·湖北·荊門)如圖1,⊙O中,OC⊥AB,∠APC=28°,則∠BOC的度數(shù)為( ).

    A. 14° B. 28° C. 42° D. 56°

    分析:由OC⊥AB,得[AC] = [BC],于是可想到連接OA,得到∠AOC = ∠BOC. 由圓周角定理得∠AOC = 2∠APC=56°,進(jìn)而得∠BOC的度數(shù).

    解:連接OA,如圖1. 在⊙O中,∵OC⊥AB,∴[AC] = [BC],∴∠AOC = ∠BOC. 由圓周角定理,得∠AOC = 2∠APC=56°,∴∠BOC=56°. 故選D.

    點(diǎn)評(píng):通過(guò)垂徑定理和“三個(gè)量”的關(guān)系,就將所求角和已知角間接地轉(zhuǎn)化到同一條弧所對(duì)的圓心角和圓周角上了.

    二、融合圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理,求解內(nèi)角大小

    由圓內(nèi)接四邊形想到其對(duì)角互補(bǔ).

    例2(2020·黑龍江·牡丹江)如圖2,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,連接BD. 若[AC] = [BC],∠BDC=50°,則∠ADC的度數(shù)是( ).

    A. 125° B. 130° C. 135° D. 140°

    分析:由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知,欲求∠ADC的度數(shù),需求∠ABC的度數(shù).由[AC] = [BC],得∠ABC=∠CAB. 由“同弧所對(duì)的圓周角相等”得∠CAB = ∠BDC=50°,即∠ABC=50°.

    解:連接AC,如圖2. ∵∠CAB,∠BDC都為[BC]所對(duì)圓周角,∴∠CAB =∠BDC=50°. ∵[AC] = [BC],∴∠ABC=∠CAB=50°. ∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,∴∠ADC =180° - ∠ABC = 130°.

    故選B.

    點(diǎn)評(píng):由“四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O”想到四邊形ABCD對(duì)角互補(bǔ),從而可知欲求∠ADC的度數(shù)需求∠ABC的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

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