微專題：“圓”中常見定理及常見輔助線

☉江蘇江陰市青陽(yáng)第二中學(xué)　孫海峰

微專題：“圓”中常見定理及常見輔助線

☉江蘇江陰市青陽(yáng)第二中學(xué)孫海峰

近期，閱讀《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下）刊發(fā)的系列“一題一課”的文章，受益匪淺，恰逢筆者所在學(xué)校大力推行中考復(fù)習(xí)課“微專題”設(shè)計(jì)，筆者結(jié)合讀刊心得和自己的教學(xué)實(shí)踐設(shè)計(jì)的“圓中常見定理及常見輔助線”受到驗(yàn)收組專家的一致好評(píng)，現(xiàn)成文簡(jiǎn)單介紹，并對(duì)“微專題”的設(shè)計(jì)思路給出兩點(diǎn)思考，不當(dāng)之處，還請(qǐng)各位專家和同行批評(píng)指正.

“圓”是中考的必考內(nèi)容，也是中學(xué)階段幾何學(xué)習(xí)的核心知識(shí).由于教育部2013年審定的《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》和《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》刪掉了“圓”中的部分內(nèi)容，只保留了最“母體”的知識(shí)和定理：比如垂徑定理及其推論、圓周角定理及其推論、切線的性質(zhì)定理和判定定理、切線長(zhǎng)定理等，導(dǎo)致部分一線教師對(duì)“圓”這一章內(nèi)容的教學(xué)有所淡化，這是極其嚴(yán)重的錯(cuò)誤；當(dāng)然也出現(xiàn)了一個(gè)更為極端的現(xiàn)象，有的教師把已經(jīng)刪掉的內(nèi)容又搬回了課堂.對(duì)于上述兩種極端，在教學(xué)中應(yīng)該引起一線教師的足夠重視.

一、原題呈現(xiàn)

如圖1，半圓O的直徑AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，則AD的長(zhǎng)為（）.

說(shuō)明：所選試題為2013年四川省內(nèi)江市的一道中考選擇題，題目的題干敘述簡(jiǎn)潔，清晰明了，圖形也比較簡(jiǎn)單，但是所考查的知識(shí)卻幾乎涵蓋與“圓”相關(guān)的所有知識(shí)，比如垂徑定理及其推論、圓周角定理及其推論，是一個(gè)不錯(cuò)的題目，符合“好的題目”（章建躍語(yǔ)）的特點(diǎn)，重要的是符合“微專題”的“微”這一典型特點(diǎn).

圖1

圖2

二、解法探究

解法1：連接BD，連接OD和BC交于點(diǎn)E（如圖2）.

因?yàn)锳B是直徑，所以AD⊥BD.

因?yàn)锳D平分∠BAC，所以點(diǎn)D是弧BC的中點(diǎn).

根據(jù)垂徑定理可得：E為BC的中點(diǎn)，且OD⊥BC.

因?yàn)锳B是直徑，所以AC⊥BC.又因?yàn)锳B=10cm， AC=6cm，所以BC=8cm，進(jìn)而BE=BC=4cm.

總結(jié)：通過(guò)上述求解過(guò)程可以看出，整個(gè)求解過(guò)程共添加了三條輔助線：連接BD和BC，都是因?yàn)锳B是直徑（直徑所對(duì)的圓周角為90°），連接OD，是因?yàn)镈是弧BC的中點(diǎn)，是為了構(gòu)造垂徑定理的基本圖形.

解法2：連接OD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，過(guò)點(diǎn)O 作OF⊥AC，垂足為F（如圖3），則△AFO≌△OED（AAS）.

所以O(shè)E=AF=3cm，DE=OF=4cm.

在Rt△AED中，AE=AO+OE=8cm，DE=4cm，所以AD=4cm.

總結(jié)：可以看出，不管是方法1還是方法2，都是把AD放在直角三角形中，借助勾股定理的逆定理進(jìn)行求解的.解法2也添加了三條輔助線，其中OF也是為了構(gòu)造垂徑定理的基本圖形，OD是為了構(gòu)造一條半徑，而DE是為了構(gòu)造直角三角形和全等三角形而添加的.

圖3

圖4

解法3：需要用到角平分線的性質(zhì)，在此略去求解過(guò)程，只給出添加輔助線后的圖形（如圖4）.

添加的兩條輔助線（由于用到了其他知識(shí)，所以輔助線的條數(shù)少了）在解法1中已經(jīng)說(shuō)明.

解法4：我們還可以利用高中所學(xué)知識(shí)（二倍角公式）來(lái)解決上述問(wèn)題，在此略去.

下面對(duì)上述四種解法，特別是解法1和解法2進(jìn)行簡(jiǎn)單的總結(jié)，同時(shí)也對(duì)這個(gè)微專題給出一個(gè)小結(jié)：

圓中常見的定理　　圓中常見的輔助線垂徑定理及其推論　　連接圓心和弦的中點(diǎn)圓周角定理及其推論　　構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角

說(shuō)明：對(duì)于現(xiàn)行教材中與“圓”相關(guān)的另外兩個(gè)重要定理（切線的判定定理和性質(zhì)定理），在下一個(gè)微專題復(fù)習(xí).

下面給出一個(gè)對(duì)應(yīng)課堂練習(xí)：

如圖5，⊙O是△ABC的外接圓，∠B=60°，⊙O的半徑為4，則AC的長(zhǎng)等于（）.

圖5

圖6

圖7

下面只給出該題添加輔助線的方式（如圖6和圖7），其中圖6對(duì)應(yīng)著圓周角定理及其推論；圖7對(duì)應(yīng)著垂徑定理及其推論.

下面再給出兩個(gè)對(duì)應(yīng)的課下練習(xí)，主要是為了引出下一個(gè)“微專題——切線的判定定理及性質(zhì)定理”，做到課堂教學(xué)的“承前啟后”.

題1：如圖8，AB是⊙O的直徑，且經(jīng)過(guò)弦CD的中點(diǎn)H，過(guò)CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)E作⊙O的切線，切點(diǎn)為F.若∠ACF=65°，則∠E=_______.

題2：如圖9，AB是⊙O的直徑，OD垂直于弦AC于點(diǎn)E，且交⊙O于點(diǎn)D，F(xiàn)是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn).若∠CDB= ∠BFD，求證：FD是⊙O的一條切線.

圖8

圖9

三、兩點(diǎn)思考

1.“微專題”要“微”

從上述題目的選擇（一道選擇題）就可以看出“微”是其一個(gè)顯著特點(diǎn)，切記長(zhǎng)篇大論，更不要選擇一個(gè)連讀完題干都要花很長(zhǎng)時(shí)間的題目.本題整個(gè)題干僅有十余字，讀來(lái)簡(jiǎn)潔易懂，不會(huì)產(chǎn)生歧義.

其中，另外一個(gè)“微”體現(xiàn)在“一題一課”上，避免了課堂教學(xué)的“滿堂灌”，一節(jié)課下來(lái)，老師講了很多題，不要說(shuō)理解題意，更不用說(shuō)會(huì)做了，一節(jié)課下來(lái)讀完題干都困難.“一題一課”“微專題”是一個(gè)很好的糾偏方法，應(yīng)該大力提倡.

最后，“微專題”應(yīng)該要做到課堂教學(xué)時(shí)間的把控，最好不要超過(guò)15分鐘，時(shí)間過(guò)長(zhǎng)就違背了“微專題”設(shè)計(jì)的初衷.

2.“微專題”要“?！?/p>

“微專題”設(shè)計(jì)的另外一個(gè)顯著特點(diǎn)就是一定要“專”.比如本專題定位于“圓”中重要的定理和常見的輔助線，沒(méi)有夾雜過(guò)多的教學(xué)目標(biāo)，僅僅涉及與“圓”相關(guān)的兩個(gè)重要定理（垂徑定理及其推論、圓周角定理及其推論），顯得很“單純”，符合“追求簡(jiǎn)潔”的課堂教學(xué)的理念.

此外，“微專題”的“?！边€體現(xiàn)在選題的專業(yè)上，所選題目應(yīng)該考查該問(wèn)題的核心知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)突出，所選題目應(yīng)該具有典型性、代表性，同時(shí)具有一定的推廣性，能夠起到舉一反三、觸類旁通的教學(xué)效果，使學(xué)生再遇到類似問(wèn)題的時(shí)候，可以順利求解，起到借鑒的作用.

四、結(jié)語(yǔ)

微信、微博到現(xiàn)在席卷教育界的微課，這都體現(xiàn)了信息技術(shù)對(duì)我們的生活方式和學(xué)習(xí)方式的改變.作為一線教師，在課堂教學(xué)中，也應(yīng)該做到與時(shí)俱進(jìn)，不斷將新的技術(shù)融入到我們的課堂教學(xué)中，開發(fā)出適合當(dāng)下的校本課程.

我們?yōu)椤拔ｎ}”所作的研究還處于起步階段，歡迎更多的老師參與進(jìn)來(lái)，設(shè)計(jì)出更多、更好的典型案例.