一道平面幾何題的說題設(shè)計(jì)的探究

☉華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院　陳　奕　蘇洪雨

一道平面幾何題的說題設(shè)計(jì)的探究

☉華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院陳奕蘇洪雨

隨著近幾年素質(zhì)教育改革與實(shí)踐，說題作為一種新型的教研模式受到廣泛關(guān)注，逐漸成為一種教師同行之間、學(xué)科備課組內(nèi)互相交流教學(xué)經(jīng)驗(yàn)、探討教學(xué)方法和教學(xué)思路的有效方式.所謂說題，就是教師在做題的基礎(chǔ)上，闡述對(duì)題目的理解與分析、解題所用的思想方法、策略、依據(jù)及題后歸納拓展的一種教研模式.說題的目的是教師如何更好地教，因此，說題要注重教師如何“教”、學(xué)生如何“學(xué)”及題目如何“考”這三方面的聯(lián)系.下面筆者就一道初中的平面幾何題目進(jìn)行說題設(shè)計(jì)的探究.

一、試題呈現(xiàn)

圖1

題目如圖1所示，在△ABC中，∠CAB是鈍角，AB=BD=DC，∠BCA=30°，求∠CAD的大小.

二、說題設(shè)計(jì)

（一）審題分析

1.題目背景

本題是一道平面幾何題，出自于人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第十七章“勾股定理”的配套練習(xí).本題考查了學(xué)生的平面幾何的綜合能力，難度中等，要求學(xué)生根據(jù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，利用題目給出的條件，準(zhǔn)確作出輔助線進(jìn)行求解.

題目涉及的知識(shí)點(diǎn)包括三個(gè)方面：（1）全等三角形的判定；（2）直角三角形的性質(zhì)：直角三角形30°角所對(duì)的直角邊邊長是斜邊邊長的一半；（3）等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形底邊的中線、高和頂角的角平分線“三線合一”.其中，直角三角形的性質(zhì)是本題考查的重點(diǎn).問題解決的難點(diǎn)是學(xué)生對(duì)“∠CAB是鈍角”這個(gè)條件無從下手及不知如何作輔助線.其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想主要是化歸的思想.

2.條件分析

在讀完題后，帶領(lǐng)學(xué)生分析題目給出的三個(gè)條件，分別是：（1）在△ABC中，∠CAB是鈍角；（2）AB=BD=DC；（3）∠BCA=30°.由題目所給的條件，借助思維導(dǎo)圖（圖2）進(jìn)一步分析能得到什么初始的結(jié)論，利用這些結(jié)論得到若干個(gè)解決問題的思路.這樣的做法符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生不是根據(jù)感覺，而是有理有據(jù)地獲得問題的解決辦法，體會(huì)到解法的“水到渠成”.

圖2

3.題目價(jià)值

面對(duì)幾何題，學(xué)生通常會(huì)覺得輔助線的作法是從天而降，沒有規(guī)律可循，只能憑感覺，對(duì)幾何題產(chǎn)生了畏懼心理.本題的價(jià)值在于解決問題后學(xué)生掌握直角三角形的性質(zhì)與應(yīng)用，鞏固全等三角形的判定與等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí).在經(jīng)歷問題的解決后，學(xué)會(huì)如何挖掘題目信息，利用思維導(dǎo)圖分析題目的已知條件，準(zhǔn)確作出輔助線，獲得添加輔助線的策略，提高解決平面幾何的綜合能力.

圖3

（二）解題過程分析

1.解題思路的形成

思路一：從三角形內(nèi)角和180°出發(fā).

拿到題目，學(xué)生很容易想到利用三角形內(nèi)角和180°與等腰三角形底角相等來建立恒等式（圖3）.∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=（180°-2∠2）+∠2+ ∠3+30°+∠6=180°?∠2-∠3-∠6=30°.

上式得到的是關(guān)于∠2、∠3、∠6的恒等式，并不能求出∠3的大小.而且題目中的條件“∠CAB是鈍角”沒有使用，所以僅利用三角形內(nèi)角和不能解決問題.這時(shí)學(xué)生會(huì)想到通過添加輔助線求∠3的大小.

思路二：作輔助線.

在本題中，輔助線的作法有很多種，到底如何有效地作輔助線呢？這需要結(jié)合題目的信息進(jìn)行選擇.由思維導(dǎo)圖（圖2）我們得到幾個(gè)有用的結(jié)論：①30°角所對(duì)的直角邊邊長是斜邊邊長的一半；②鈍角三角形的一個(gè)垂足在三角形外；③等腰三角形底角相等，三線合一.根據(jù)這些結(jié)論，我們選擇基于等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)作輔助線，以及基于鈍角三角形作輔助線.

（1）基于等腰三角形三線合一的性質(zhì)作輔助線.

本題中關(guān)于邊相等的條件很多，關(guān)于角的條件只有一個(gè)（30°），所以首先可以考慮利用BD=DC，∠BCA=30°這兩個(gè)條件.利用BD=DC，可以知道等腰△BDC三線合一，所以考慮過點(diǎn)D作BC邊的垂線交BC于點(diǎn)H.又因?yàn)椤螧CA=30°，所以將HD延長交AC于點(diǎn)E（圖4）.

為什么不過點(diǎn)A作BC邊的垂線？這是因?yàn)轭}目條件是BD=DC，在△BDC中三線合一，既利用了邊相等的條件，又用到∠BCA=30°的條件，若是過點(diǎn)A作BC邊的垂線，只有∠BCA=30°這一個(gè)條件可用，并且得不到更多的結(jié)論.

再根據(jù)條件，可以得到△EHB≌EHC（HL）?∠CEH=∠HEB=∠BEA=60°.

圖4

圖5

通過上面證明全等三角形得到了∠HEB=∠BEA= 60°，這時(shí)引導(dǎo)學(xué)生思考：能否再尋找等量關(guān)系來證明AE=DE，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到BE⊥AD，從而得到∠CAD=30°呢？學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)由現(xiàn)有的條件很難證明AE=ED，但還有一個(gè)條件“∠CAB是鈍角”沒有用到.

由得到的結(jié)論：鈍角三角形的一個(gè)垂足在三角形外，學(xué)生可以想到過點(diǎn)B作AC邊的垂線交CA延長線于點(diǎn)F，證明△BFA≌△BHD和△BFE≌△BHE.

（2）基于鈍角三角形作輔助線.

過點(diǎn)B作AC邊的垂線交CA延長線于點(diǎn)F（圖5）.由于∠CAB是鈍角，所以垂足F在CA的延長線上.直角三角形中，30°角對(duì)應(yīng)的直角邊長度是斜邊的一半，所以FB=BH. 又AB=BD，所以△BFA≌△BHD（HL），△BFE≌△BHE （HL），所以FE-FA=AE=EH-DH=ED.又∠HEB=∠BEA= 60°，繼而得到BE⊥AD，所以∠CAD=90°-60°=30°.

2.解答呈現(xiàn)

輔助線作法：過點(diǎn)D作BC邊的垂線交BC于點(diǎn)H，將HD延長交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作AC邊的垂線交CA延長線于點(diǎn)F（圖5）.解答過程見流程圖（圖6），詳細(xì)解答略.

圖6

（三）變式與拓展

1.利用幾何畫板尋求答案

在解決完本題后向?qū)W生演示幾何畫板操作，通過觀察測量可以很直觀地得到本題的答案.在進(jìn)一步操作后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：改變∠BCA的大小可以得到如下結(jié)論（圖8）：

圖7

（1）當(dāng)∠BCA=30°時(shí)，∠CAD的大小不會(huì)隨著∠CAB（為鈍角）的大小改變而改變；

（2）當(dāng)∠BCA≠30°時(shí)，∠CAD的大小會(huì)隨著∠CAB（為鈍角）的大小改變而改變.

由此可以知道，∠BCA=30°在本題中起著制約∠CAD的作用，即改變∠BCA的大小，本題答案就不同了，所以∠BCA=30°不僅僅是一個(gè)角的度數(shù)那么簡單，它制約著本題中邊與邊的關(guān)系，以及其他角的度數(shù).因此，解決本題要使用∠BCA=30°的性質(zhì)，如在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊長度是斜邊的一半.這時(shí)學(xué)生可以體會(huì)到為什么要如此添加輔助線了.

2.題目的“來”與“去”

解題要了解題目是從哪里來，往哪里去.從哪里來就是揣摩出題者的意圖，尋找題目的原型.往哪里去即題目還有什么變式，一題變多題.

本題的條件“∠BAC是鈍角”讓學(xué)生不知如何入手，利用幾何畫板通過改變∠BAC的大小可以發(fā)現(xiàn)：

（1）當(dāng)∠CAB為鈍角（一定范圍內(nèi)）時(shí)，∠CAB的大小不改變∠CAD的大小，即∠CAD保持30°不變；

（2）當(dāng)∠CAB為直角時(shí)，D為BC的中點(diǎn)，∠CAD=30°；

（3）當(dāng)∠CAB為銳角時(shí)，此時(shí)點(diǎn)D在△ABC的下方，∠CAD的大小會(huì)隨著∠CAB的變化而變化，即∠CAD不是定值（圖8）.

圖8

圖9

其實(shí)，當(dāng)∠CA′B為直角，D′為BC的中點(diǎn)時(shí)，就是本題的原型.容易證明此時(shí)的∠CA′D′=30°.出題者實(shí)際將A′D′向右平移，當(dāng)交A′C于點(diǎn)A時(shí)（圖9），∠CAB為鈍角，D為A′D′平移后與過D′的中垂線的交點(diǎn)，得到本題的△ABC，而且在平移的過程當(dāng)中，△BA′A和△BD′D保持全等.若我們了解出題者的意圖，我們很容易可以由平移的性質(zhì)知道∠CAD=30°.在接下來的證明過程中只要證明△BA′A和△BD′D確實(shí)保持全等即可.

當(dāng)然了，細(xì)心的學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)A移動(dòng)到CG中間時(shí)，點(diǎn)D移動(dòng)到三角形△ABC上方；當(dāng)點(diǎn)A移動(dòng)到CA′延長線上時(shí)，點(diǎn)D移動(dòng)到三角形△ABC下方，注意到無論A′D′怎樣平移，△BA′A和△BD′D保持全等，這是解題的一個(gè)切入點(diǎn).據(jù)此就可以對(duì)本題進(jìn)行一系列的變式.

變式1：如圖10，在△BDC中，∠BCD＞30°，AB=BD= DC，∠BCA=30°，求∠CAD的大小.

圖10

圖11

思路：變式1其實(shí)是將直角△A′BC中的邊A′D′向右平移交BC中垂線和A′C于點(diǎn)D、A得到的（圖11），在這個(gè)過程中，△BA′A和△BD′D保持全等，解法類似本文一開始提出的問題的解法.

變式2：如圖12，在△ABC中，∠BAC是銳角，AB= BD=DC，∠BCA=30°，求∠CAD的大小.

圖12

圖13

思路：變式2其實(shí)是將直角△A′BC中的邊A′D′向左平移交BC中垂線和CA′延長線于點(diǎn)D、A得到的（圖13），在這個(gè)過程中，△BA′A和△BD′D保持全等，解法類似本文一開始提出的問題的解法.

三、總結(jié)

新課標(biāo)提倡學(xué)生為本，在習(xí)題課上的體現(xiàn)在于教師站在學(xué)生的角度，考慮學(xué)生可能的思維，剖析學(xué)生的解題思路.教師可以嘗試引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“出聲思維”，即把解題思路用語言表達(dá)出來，分析題目條件、考查的知識(shí)點(diǎn)、突破口、思想方法等.同時(shí)要重視題型歸納、辨析、變式、總結(jié)，實(shí)現(xiàn)一題多解、多題變一題，通過歸納提升、變式訓(xùn)練，提高學(xué)生的解題能力，真正地實(shí)現(xiàn)“減負(fù)”.在教學(xué)中要善于使用計(jì)算機(jī)技術(shù)（幾何畫板），在本題的解答過程中，幾何畫板的使用讓我們看到當(dāng)∠CAB改變的時(shí)候，不變的量是什么，從而可以指導(dǎo)我們進(jìn)行下一步的證明.

參考文獻(xiàn)：

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