巧思妙想　化“圓”為“方”

☉江蘇鹽城市尚莊初級(jí)中學(xué)　劉志才☉江蘇鹽城市葛武初級(jí)中學(xué)　王云峰☉江蘇鹽城市尚莊初級(jí)中學(xué)　王壽云

巧思妙想化“圓”為“方”

☉江蘇鹽城市尚莊初級(jí)中學(xué)劉志才
☉江蘇鹽城市葛武初級(jí)中學(xué)王云峰
☉江蘇鹽城市尚莊初級(jí)中學(xué)王壽云

一、引入議題

如何作一個(gè)正方形，使其面積等于已知圓的面積？

如圖1，假定正方形ABCD已經(jīng)作出，滿足S正方形ABCD=S⊙O.

圖1

設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，⊙O的半徑為R，必有a2= πR2.

二、聯(lián)想構(gòu)思巧變換

由a2=πR2容易聯(lián)想到圓的切割線定理，于是將a2= πR2變形為a2=R·πR，進(jìn)而變形為a2=R·C，其中C為圓周長(zhǎng).可見(jiàn)，求出半圓的周長(zhǎng)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在.

三、化“曲”為“直”以求解

圖2

在這里，我們有必要對(duì)直線和曲線的認(rèn)識(shí)重新作一番解釋，實(shí)質(zhì)上，這個(gè)世界上不存在真正意義上的直線，換一個(gè)角度說(shuō)，直線與曲線是存在于同一事物中的兩個(gè)矛盾對(duì)立的統(tǒng)一體.曲線是直線之母，沒(méi)有曲線，直線就不復(fù)存在，一條曲線是由若干條連貫的直線組合而成的.因此我們把曲線中的極小部分稱為直線，所謂直線曲中求就是這個(gè)道理.判斷直線的標(biāo)準(zhǔn)就是：顯得較為扁平、平滑的曲線是直線.因此，當(dāng)我們將一個(gè)半圓分成2n等份（n為自然數(shù)，n≥5）后，隨著我們對(duì)n的取值的逐步增大（如圖2），夾在相鄰兩半徑之間的弧EF就顯得越扁平、平滑，但為了能夠獲得較為清晰的幾何作圖痕跡，一般取n=5即可.（對(duì)精確度要求不是十分苛求的情況下采用）但隨著對(duì)精確度要求的提高，n的值可逐步加大到一定的程度，但圓的半徑的取值也要隨之加大，以便于操作和獲得清晰的幾何作圖痕跡為原則.以線段EF的長(zhǎng)取代于弧EF的長(zhǎng)，能否取代，主要的判斷標(biāo)準(zhǔn)是看曲線EF是否已被直線化，在這里還需要強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，這時(shí)線段EF就是弧EF的本身，所以真正意義上線段是不存在的.設(shè)EF=b，從而求出半圓的長(zhǎng)32b（當(dāng)n=5時(shí)）.

四、相關(guān)證明得結(jié)論

1.相關(guān)理論證明

在2n（n為自然數(shù)，n≥5）中，當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí)，這時(shí)夾在相鄰兩半徑之間的弧EF的長(zhǎng)趨向于零，線段EF的長(zhǎng)亦趨向于零.這時(shí)我們說(shuō)弧EF的長(zhǎng)等于線段EF的長(zhǎng)，所以我們以線段EF的長(zhǎng)取代于弧EF的長(zhǎng)成立.

2.相關(guān)實(shí)驗(yàn)證明

之間的誤差分別是不足4忽米、不足4絲米和不足4毫米，有興趣的朋友不妨驗(yàn)證一下.從而得出結(jié)論：當(dāng)n=5時(shí)，即將半圓32等分后，夾在相鄰兩半徑之間的曲線EF已經(jīng)開始直線化.

五、作圖實(shí)例

圖3

如圖3，已知⊙O.

求作：正方形ABCD，使S正方形ABCD= S⊙O.

作法：（1）將已知半圓32等分，得一等份的弧EF；

（2）視弧EF為線段，并設(shè)EF=b，在射線AL上截取AG=32b=C（C為⊙O的周長(zhǎng)）；

（3）在AG上截取AH=R；

（4）以HG為直徑畫⊙O′；

（5）以AO′為直徑畫半圓O″，與⊙O′相交于點(diǎn)B，連接AB；

（6）以AB為一邊作正方形ABCD.

如圖4，則正方形ABCD為所求.

圖4

證明：連接O′B，則O′B⊥AB，所以AB為⊙O′的切線. 設(shè)AB=a，因?yàn)锳H=R，AG=C=πR，據(jù)圓的切割線定理知：a2=R·πR=πR2，即S正方形ABCD=S⊙O成立.