人教版與北師大版初中數學教科書“圖形與幾何”內容習題難度的比較研究

☉西藏拉薩北京實驗中學　謝　穎

人教版與北師大版初中數學教科書“圖形與幾何”內容習題難度的比較研究

☉西藏拉薩北京實驗中學謝穎

教科書既是依據課程標準和學生接受能力編寫的教學材料，也是教師授課與學生學習的重要載體.而習題是教材的重要組成部分，習題的配置在一定程度上反映了數學教材編者的價值取向與編寫風格，因此，對教材中的習題進行研究是教材研究的一個重要方面.自新課程改革以來，“圖形與幾何”內容作為義務教育數學課程的4個學習領域之一，占有著非常重要的地位.基于此，以我國現(xiàn)行使用的人民教育出版社出版的義務教育數學課程標準實驗教科書（以下簡稱“人教版”）與北京師范大學出版社出版的義務教育數學課程標準實驗教科書（以下簡稱“北師大版”）兩個版本的教科書為例，通過對兩個版本教科書中“圖形與幾何”內容的習題在認知水平、習題背景和習題要求三個方面進行比較研究，希望能為一線數學教師習題處理提供一些啟示.

一、研究設計

二、研究結果與分析

本研究對兩版教科書中“圖形與幾何”領域的各類習題數量進行統(tǒng)計.由于兩版教科書配置的習題都有一個題目中包含多次提問和一個題目下有若干小題的情況，因此，在對習題數量進行統(tǒng)計時，對于題目里如有多次提問的習題，根據習題性質，是否含有并列關系，若含并列關系的為兩題，若不含并列關系，即按一個題目計算.根據習題的特點，按如下分類進行比較.

例如，如圖（圖略），等邊三角形的邊長是6.求：（1）高AD的長；（2）這個三角形的面積.該題目中有2次提問，但每問均有聯(lián)系不含并列關系，按1題計算.又如，（1）等腰三角形的一個角是110°，它的另外兩個角是多少度？（2）等腰三角形的一個角是80°，它的另外兩個角是多少度？該題目中有2次提問，含有并列關系，按2題計算.按此標準分別統(tǒng)計兩版教科書中“圖形與幾何”領域共有的練習題、習題和復習題的數量及所占比例，結果如表1所示.

表1　兩版本教科書中“圖形與幾何”領域習題總量統(tǒng)計表

從表1中可以看出，在習題總量上，北師大版比人教版教科書多122個題目.但從習題類型上看，兩版教科書的習題均分為練習題、習題和復習題，人教版中的三類習題分別占習題總量的29.7%、47.6%、22.7%；北師大版的三類習題分別占習題總量的21.1%、48.0%、30.9%.由此可見，兩版教科書習題在配置上有明顯差異，人教版中練習題的數量比北師大版多，說明人教版注重基礎性習題，而北師大版中復習題的數量多，說明北師大版更加注重于綜合性較強的習題.

1.習題認知水平的比較

習題的認知水平（E1），基于教科書中習題與正文、例題的關系和相關已有研究，在分析兩版教科書習題實際情況后，將習題與例題匹配或習題認知要求的內涵界定為作答方式、運算或推理步驟及解題方法等數學特征.本文依據教科書習題與例題或示例在這些方面的相似程度，劃分為模仿、遷移和探究三個水平，其賦值標準界定如表2所示.

表2　習題認知水平的賦值標準界定表

在這3個層次中，水平1為較低認知水平，水平2為較高認知水平，水平3為高認知水平.本文中根據學生解答某類習題所需要達到的數學認知水平層次，對習題的數學認知水平的層次作如下界定.

水平1：模仿，也稱概念、計算——操作性記憶水平.該層次的習題是考查學生對教科書中概念的理解和簡單的計算，只需要學生呈現(xiàn)已經學習過的數學事實或術語、基本概念等，能對概念進行特殊分類，揭示概念的外延，并利用概念的定義進行簡單的識別活動，要求學生具備最低層次的數學認知水平就可以完成解答.

水平2：遷移，也稱領會——說明性理解水平.該層次的習題所要求的數學認知水平超越了前面僅依賴記憶的認知水平.解答這類習題需要學生徹底理解所提問題的原理和問題中涉及的概念，對所給信息進行篩選、提煉和簡單的推理，使問題得到解決，這不僅需要對運算、概念有徹底的理解，還需要確定題目所給的哪些信息對解決問題是有用的，包括與例題相近的習題.

水平3：探究，也稱分析——探究性理解水平.該層次的習題需要學生具備高層次的數學認知水平.解答這類習題需要學生對問題進行分析，并把分析過程綜合起來，創(chuàng)造性地解決問題.該類習題學生之前沒有接觸過或沒有現(xiàn)成的解決方案，包括開放題、探究問題，不同于例題的非常規(guī)問題等.

基于此，統(tǒng)計出人教版與北師大版教科書中“圖形與幾何”領域的習題認知水平的數量，如表3所示.

表3　習題認知水平的數量統(tǒng)計表

根據以上數據，通過對比可知：人教版教科書“圖形與幾何”領域的習題處在模仿、遷移和探究三個習題認知水平上的知識點個數分別為395、561、98，各自占的百分比分別為37.47%、53.23%、9.30%；而北師大版教科書“圖形與幾何”領域的習題處在模仿、遷移和探究三個習題認知水平上的知識點個數分別為357、757、62，各自占的百分比分別為30.36%、64.37%、5.27%.在“模仿”和“探究”水平上人教版比北師大版分別高7.11和4.03個百分點，而在“遷移”水平上北師大版卻比人教版高出11.14個百分點.

兩版教科書中“圖形與幾何”領域的習題認知水平層次差異不大.練習題與習題的背景主要是單一的概念、運算法則，對某種數學技能和性質的應用等，在習題認知水平上以模仿和遷移的題目為主；而復習題要求學生對知識、技能進行分析、綜合、復習與運用，創(chuàng)造性地解決相關綜合性強的題目，靈活性更高，綜合性更強，供每章復習時使用.人教版中的復習題包括復習鞏固、綜合運用和拓廣探索；北師大版中的復習題包括知識技能、數學理解和聯(lián)系拓廣，在認知水平上更注重于遷移和探究的綜合應用較多.整體來看，該知識領域中習題的總體認知水平主要以模仿和遷移為主，較低認知水平（概念、計算—模仿）與中認知水平（領會—遷移）、較高認知水平（分析—探究）的習題，呈“頭重后輕”的形式，凸顯出“圖形與幾何”領域知識的特點，同時也反映了我國教科書中習題選擇和編排的層次性，這點既滿足新課程改革的教學要求，也非常符合我國的水平結構化考試要求.

2.習題背景的比較

關于習題背景（E2），根據我國義務教育數學課程標準提出學生的現(xiàn)實主要包括數學現(xiàn)實、生活現(xiàn)實和其他學科現(xiàn)實，［2］基于此和學生能否直接感知，以及習題是否要求學生從背景中提取數學信息或數學化，將教科書習題背景劃分為無背景、生活背景和科學背景三個水平，其賦值標準界定如表4所示.

表4　習題背景的賦值標準界定表

在這3個層次中，水平1為無背景水平，水平2為生活背景水平，水平3為科學背景水平.本文中根據教科書呈現(xiàn)的習題內容背景對習題背景層次作如下界定.

無背景：在△ABC中，∠C=90°，AC=2.1，BC=2.8.求：（1）△ABC的面積；（2）斜邊AB；（3）高CD.（人教版八年級下冊28頁習題17.1第7題）.分析：此題背景只是三角形圖形，所以歸為“無背景”水平習題.

生活背景：某地地震過后，河沿村中學的同學用下面的方法檢測教室的房梁是否水平：在等腰直角三角尺斜邊中拴一條線繩，線繩的另一端掛一個線錘，把這塊三角尺的斜邊貼在房梁上，結果線繩經過三角尺的直角頂點，同學們由此確信房梁是水平的.他們的判斷對嗎？為什么？（圖略）（人教版八年級上冊第82頁習題13.3第9題）分析：河沿村中學的同學檢測教室的房梁是否水平，屬于與學生熟悉的生活問題，所以歸為“生活背景”水平習題.

科學背景：收集歐幾里得和《原本》的有關資料，并與同伴進行交流（北師大版八年級上冊171頁習題7.3第3題）.分析：歐幾里得是著名的數學家，《原本》是一部世界數學名著，所以歸為“科學情景”水平習題.

基于此，統(tǒng)計出人教版與北師大版教科書中“圖形與幾何”領域的習題背景的數量，如表5所示.

表5　習題背景的數量統(tǒng)計表

根據以上數據，通過對比可知：人教版教科書“圖形與幾何”領域的習題背景處在無背景、生活背景和科學背景三個習題背景水平上的知識點個數分別為850、199、5，各自占的百分比分別為80.65%、18.88%、0.47%；而北師大版教科書“圖形與幾何”領域的習題背景處在無背景、生活背景和科學背景三個習題背景水平上的知識點個數分別為894、267、15，各自占的百分比分別為76.02%、22.70%、1.28%.在“生活背景”和“科學背景”水平上北師大版比人教版分別高3.82和0.81個百分點，而在“無背景”水平上人教版卻比北師大版高出4.63個百分點.

3.習題要求的比較研究

習題要求（E3）更多關注的是如何解決問題，運用事實、概念和程序等，通過訓練、鞏固，形成能力，學以致用.結合習題的特有功能，界定習題要求的賦值標準如表6所示.

表6　習題要求的賦值標準界定表

在這3個層次中，水平1為知道水平，水平2為應用水平，水平3為探究水平.本文中根據習題情境對習題要求層次作如下界定.

知道：下列各圖中，∠1和∠2是不是對頂角？（圖略）（人教版七年級下冊第7頁習題5.1第一題的第一小問）分析：因為此題只需辨別哪兩個角是對頂角，屬于概念性識記問題，所以歸為“知道”水平的習題.

應用：如圖，一條公路的兩側鋪設了兩條平行管道，如果公路一側鋪設的管道與縱向聯(lián)通管道的角度為120°，那么，為了使管道對接，另一側應以什么角度鋪設縱向聯(lián)通管道？為什么？（圖略）（人教版七年級下冊第23頁習題5.3第5題）分析：因為此題是利用兩平行線的性質解決實際問題，所以歸為“應用”水平的習題.

探究：（1）大家知道（3，4，5），（5，12，13），（8，15，17）都是勾股數組，有人說它們中好像一定有一個是偶數，你認為這種觀點正確嗎？說明你的理由.（2）除此之外，你還能發(fā)現(xiàn)勾股數具有哪些規(guī)律？與同伴進行交流.（北師大版八年級上冊第19頁復習題第14題）分析：此題需要根據勾股數組發(fā)現(xiàn)規(guī)律，作出結論，并根據規(guī)律論證結論，屬于“探究”性水平的習題，

基于此，統(tǒng)計出人教版與北師大版教科書中“圖形與幾何”領域的習題要求的數量，如表7所示.

表7　習題要求的數量統(tǒng)計表

根據以上數據，通過對比可知：人教版教科書“圖形與幾何”領域的習題處在知道、應用和探究三個習題要求水平上的知識點個數分別為155、799、100，各自占的百分比分別為14.71%、75.81%、9.48%；而北師大版教科書“圖形與幾何”領域的習題處在知道、應用和探究三個習題要求水平上的知識點個數分別為152、949、75，各自占的百分比分別為12.93%、80.70%、6.37%.在“知道”和“探究”水平上人教版比北師大版分別高1.78和3.11個百分點，而在“應用”水平上北師大版卻比人教版高出4.89個百分點.

三、研究結果與建議

1.兩版教科書“圖形與幾何”內容習題難度比較研究結論

兩個版本教科書中“圖形與幾何”領域的習題在習題要求上各部分所占的比例差別不是太大.兩版本教科書中的習題在習題要求上比較側重的是“應用”、“知道”和“探究”水平明顯較低.兩個版本教科書中屬于“探究”習題要求的題目在數量較少的基礎上，主要出現(xiàn)在小節(jié)習題的最后或單元復習題的最后，而極少出現(xiàn)在章節(jié)的“練習題”、“課堂練習”等部分的習題中，這是從具體題目上看得出的結果.

綜上所述，根據公式E=0.34E1+0.32E2+0.34E3，結合以上數據分別求得兩版教科書中“圖形與幾何”領域的習題難度量化值為：

為了更加直觀清晰地顯示兩版教科書中“圖形與幾何”領域的習題要求（E）的分布情況，特繪制柱形圖如圖1所示：

圖1　兩版教科書“圖形與幾何”內容習題難度的比較研究

從總量化上看，北師大版教科書略難，人教版教科書略易.事實上，依據前述習題難度確立的原則和標準，就習題認知水平而言，90%以上的習題能夠通過模仿例題或在理解知識點的基礎上得到解決，僅有少量習題與例題不相似，屬于探究水平的習題不到10%；就習題背景水平而言，兩版教科書中無背景習題占絕大多數，僅有20%左右的習題屬于生活背景題，還有少量涉及科學背景，這充分說明了兩個版本教科書中“圖形與幾何”領域的習題在背景素材的選用上更多地突出了幾何學特點；就習題要求水平而言，兩版教科書中習題要求知道所需事實、概念和程序，以及選擇或應用事實、概念和程序解決有預設程序或途徑的常規(guī)問題占90%以上，極少數題要求探究，占比低于10%.

2.教科書使用建議

基于習題設置特點，為學生提供分層練習.注重課后練習、精選習題、有效訓練是學好數學的有效方案.作為教師要對教科書中的習題應該加以靈活的運用，針對具體的知識內容，設置出能夠促進學生思維發(fā)展并引起學生產生學習興趣的問題情境.選擇合理的教學方式能夠讓學生掌握基礎知識的同時并能獲得思維能力.對習題進行有效開發(fā)、分層練習，在保證習題質量的基礎上，確保習題的數量，減輕學生的負擔.

因此，教師要立足于學生已有的數學知識經驗和生活經驗，結合本地、本校的實際需求，對教科書進行靈活地處理，及時調整教學活動.因地制宜地開發(fā)有利于學生自主、合作、探究等形式學習的教輔，制作適合學生自主交流、動手操作及小組合作中使用的教具等.

參考文獻：

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.蔡慶有，鄺孔秀，宋乃慶.小學數學教材難度模型研究［J］.教育學報，2014（10）.