牽手“面積函數(shù)”的四邊形壓軸題

☉河南省商水縣平店鄉(xiāng)第一初級中學(xué)　支永輝

牽手“面積函數(shù)”的四邊形壓軸題

☉河南省商水縣平店鄉(xiāng)第一初級中學(xué)支永輝

近年來的中考打破了坐標(biāo)系與圓聯(lián)手坐陣中考壓軸題的格局，出現(xiàn)了“一枝獨(dú)秀不是春，萬紫千紅春滿園”這種百花競放的新景觀，其中很難占據(jù)壓軸位置的四邊形悄然牽手“面積函數(shù)”（以求面積為目標(biāo)的函數(shù)，為表述方便，在此自設(shè)的特定稱謂），博得壓軸的一席之位，給“把關(guān)題”帶來了活力.現(xiàn)擇幾道近幾年的中考題作一盤點(diǎn)，以饗讀者.

一、矩形牽手“面積函數(shù)”

圖1

例1（2016年寧夏）如圖1，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，沿AB向點(diǎn)B移動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，仍以每秒1個(gè)單位的速度，沿BC向點(diǎn)C移動(dòng)，連接QP，QD，PD.若兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒（0＜x≤3），解答下列問題：

（1）設(shè)△QPD的面積為S，用含x的函數(shù)關(guān)系式表示S；當(dāng)x為何值時(shí)，S有最大值？并求出最小值.

（2）是否存在x的值，使得QP⊥DP？試說明理由.

分析：本題為四邊形的綜合應(yīng)用，涉及的知識點(diǎn)有矩形的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值、相似三角形的判定和性質(zhì)及方程思想等.在（1）中求得S關(guān)于x的關(guān)系式（面積函數(shù)）后，求S的最值時(shí)，x的取值范圍尤為重要，不謹(jǐn)慎就會出錯(cuò)；在（2）中尋出三角形相似并證明其相似是解題的關(guān)鍵.這種探索性追溯是近來中考中常見的題類，值得我們關(guān)注.（1）可用x表示出AQ、BQ、BP、CP，從而可表示出S△ADQ、S△BPQ、S△PCD的面積，則可表示出S，再利用二次函數(shù)的增減性可求得是否有最大值，并能求得其最小值；（2）用x表示出BQ、BP、PC，當(dāng)QP⊥DP時(shí)，可證明△BPQ∽△CDP，利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于x的方程，可求得x的值.

解：（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以BC=AD=4，CD=AB=3.

又S矩形ABCD=AB·BC=3×4=12，所以S=S矩形ABCD-S△ADQ-

所以S為開口向上的二次函數(shù)，且對稱軸為x=2.

所以當(dāng)0＜x＜2時(shí)，S隨x的增大而減小，當(dāng)2＜x≤3時(shí)，S隨x的增大而增大.

（2）存在，理由如下：

由（1）可知，BQ=3-x，BP=x，CP=4-x.

當(dāng)QP⊥DP時(shí)，則∠BPQ+∠DPC=∠DPC+∠PDC.

所以∠BPQ=∠PDC，且∠B=∠C.

所以△BPQ∽△PCD.

二、正方形牽手“面積函數(shù)”

例2（2016年廣東）如圖2，BD是正方形ABCD的對角線，BC=2，邊BC在其所在的直線上平移，將通過平移得到的線段記為PQ，連接PA、QD，并過點(diǎn)Q作QO⊥BD，垂足為O，連接OA、OP.

（1）請直接寫出線段BC在平移過程中，四邊形APQD是什么四邊形？

（2）請判斷OA、OP之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明.

（3）在平移變換過程中，設(shè)y=S△OPB，BP=x（0≤x≤2），求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最大值.

圖2

分析：三個(gè)問題形成關(guān)聯(lián)，第（1）、（2）問為第（3）問提供了數(shù)量及位置的關(guān)系，既然是求三角形的面積，自然離不開高線，這樣以來輔助高可謂呼之欲出.（1）、（2）略；（3）需要分類討論的支持，然后借力輔助線獲得兩個(gè)不同的面積函數(shù)，這樣，在最后最大值的確定上就需要比對選擇.

解：（1）四邊形APQD為平行四邊形.（過程略）

（2）OA=OP，OA⊥OP，理由如下：

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°.

因?yàn)镺Q⊥BD，所以∠PQO=45°，所以∠ABO= ∠OBQ=∠PQO=45°.

所以O(shè)B=OQ，所以△AOB≌△OPQ.

所以O(shè)A=OP，∠AOB=∠POQ.

所以∠AOP=∠BOQ=90°.

所以O(shè)A⊥OP.

（3）過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E.

圖3

圖4

又0≤x≤2，所以當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值為2.

綜上所述，當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值為2.

三、平行四邊形牽手“面積函數(shù)”

例3（2007年長沙）如圖5，在?ABCD中，AB=4，BC=3，∠BAD=120°，E為BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B重合），作EF⊥AB于點(diǎn)F，F(xiàn)E、DC的延長線交于點(diǎn)G，設(shè)BE=x，△DEF的面積為S.

圖5

（1）求證：△BEF∽△CEG；

（2）求用x表示S的函數(shù)表達(dá)式，并寫出x的取值范圍；

（3）當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，S有最大值，最大值為多少？

分析：本題通過一個(gè)簡單的相似證明揭開序幕，然后仍然聚焦“面積與函數(shù)、取值范圍及運(yùn)動(dòng)中的最大（小）”問題，所不同的是本題需要三角函數(shù)的支持，并且最大（?。┲挡荒茉陧旤c(diǎn)處取得，需要靈活使用函數(shù)的增減性做出選擇，這顯然是一個(gè)美麗的陷阱！

解：（1）證明略.

（2）由（1）得DG為△DEF中EF邊上的高.

所以，當(dāng)x=3，即點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，S有最大值，S最大=

四、菱形牽手“面積函數(shù)”

例4（2016年長春）如圖6，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB=8，∠BAD=60°.點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以每秒2個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)E不與點(diǎn)A重合時(shí)，過點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，作EG∥AD交AC于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GH⊥AD交AD（或AD的延長線）于點(diǎn)H，得到矩形EFGH.設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.

圖6

（1）求線段EF的長.（用含t的代數(shù)式表示）

（2）求點(diǎn)H與點(diǎn)D重合時(shí)t的值.

（3）設(shè)矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.

（4）矩形EFHG的對角線EH與FG相交于點(diǎn)O′.當(dāng)OO′∥AD時(shí)，t的值為______；當(dāng)OO′⊥AD時(shí)，t的值為______.

圖7

圖8

（4）t=4；t=3.（矩形EFHG的對角線EH與FG相交于點(diǎn)O′，當(dāng)OO′∥AD時(shí)，如圖7，點(diǎn)O與點(diǎn)O′為所在線段中點(diǎn)，t的值為4；當(dāng)OO′⊥AD時(shí)，如圖8，有AF+FM+MD=t+t+2= 8，t=3）

縱觀以上不難發(fā)現(xiàn)，這類題目以特殊四邊形作載體，融入新課程標(biāo)準(zhǔn)所關(guān)注的動(dòng)的理念，在其上設(shè)置了點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，并在運(yùn)動(dòng)中探索以“面積為本”的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而尋得最大或最小值，其中需要函數(shù)、相似、三角函數(shù)、方程等核心知識，以及數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程等思想方法的鼎力相助，它們在四邊形的平臺上各顯神通，成為中考的亮點(diǎn)之一.