關(guān)于圓的對稱性命題可逆性的研究

湖北省赤壁市第一初級中學(xué)(437300) 李道生 李亞平 鄧楚明

內(nèi)容決定形式,形式反映內(nèi)容.圓作為天底下最對稱的平面圖形,具有完善的全方位的輪換對稱不變性.于是猜想,涉及圓的方方面面的內(nèi)容,也應(yīng)具有全方位的輪換對稱不變性.圓的性質(zhì)是以命題的形式反映出來的,根據(jù)圓的輪換對稱不變性的完美性,我們預(yù)測：反映圓的性質(zhì)的命題的題設(shè)與結(jié)論之間應(yīng)有輪換對稱不變性,亦即：

一.圓的性質(zhì)輪換不變性的猜想

(圓的性質(zhì)輪換不變性)猜想所有關(guān)于圓的性質(zhì)的命題,其題設(shè)與結(jié)論之間具有輪換對稱不變性(即等量交換不變性).換句話說,所有關(guān)于圓的性質(zhì)的真命題的逆命題都是真命題.

(圓的性質(zhì)輪換不變性)猜想是根據(jù)圓的全方位對稱性的的完美性所作的預(yù)測.揭示圓的對稱性的特點(diǎn),由圓的對稱性的完美性猜想圓的性質(zhì)的等量交換不變性,這是美的召喚,美的預(yù)測功能在這里得到淋漓盡致的表現(xiàn).

由于(圓的性質(zhì)輪換不變性)猜想是根據(jù)圓的結(jié)構(gòu)的全方位對稱性出發(fā)作出的,因而具有合理性、準(zhǔn)確性(注意,這里所作的預(yù)測不能看作圓的性質(zhì)定理, 它不是證明的產(chǎn)物,而是美的直覺產(chǎn)生的預(yù)感,是一種哲理性的認(rèn)識).如此預(yù)測,不但有利于教師設(shè)計(jì)教學(xué)程序,而且有利于學(xué)生對圓的性質(zhì)的探索發(fā)現(xiàn).不斷猜想、不斷證實(shí),極有利于學(xué)生對圓的性質(zhì)的深刻理解、全面掌握.

這里,我們以垂徑定理及推論的教學(xué)設(shè)計(jì)為例,說明(圓的性質(zhì)輪換不變性)猜想的教學(xué)價值.

垂徑定理及推論的教學(xué)設(shè)計(jì)

如圖1,垂徑定理可以表示如下：

根據(jù)(圓的性質(zhì)輪換不變性)猜想,其條件與結(jié)論等量交換后所得逆命題(共九個)皆為真命題(稱為推論),于是垂徑定理及九個推論,可用一句話概括如下：

圖1

“對一個圓和對一條直線來說,如果具備下列條件中的任何兩個,那么也具有其它三個：(1)過圓心(2)垂直于弦(3)平分弦(4)平分弦所對的優(yōu)弧(5)平分弦所對的劣弧”(經(jīng)證明本預(yù)測完全成立,注意：當(dāng)(2)、(3)為條件時要對弦增加它不是直徑的限制)

至此,關(guān)于垂徑定理及推論一覽無余地展示出來,從而為全面、靈活、選擇垂徑定理及推論的各種情況提供了完備的理論基礎(chǔ).

反觀課本,只給出了九個推論中的一個,對需要運(yùn)用其它八個推論之一的問題(學(xué)生尚不知另有其它八個推論可供利用),只有采用迂回曲折的方法解決之.

正是因?yàn)閷W(xué)生掌握的知識支離破碎,沒有形成系統(tǒng)全面的規(guī)律性的認(rèn)識(教材內(nèi)容造成),致使學(xué)生初次接觸垂徑定理及推論的時侯,被復(fù)雜多變的表述形式所迷惑,更談不上融會貫通、靈活運(yùn)用了.

筆者認(rèn)為,對垂徑定理一節(jié)的教學(xué),應(yīng)在講完垂徑定理后,根據(jù)(圓的性質(zhì)輪換不變性)猜想,直接引出一個統(tǒng)一的概括性的命題讓學(xué)生掌握,無須專門額外安排垂徑定理的一個推論讓學(xué)生去背記(可告訴學(xué)生垂徑定理的九個推論都是正確的,我們可用統(tǒng)一的一句話來概括,至于具體證明留給大家去思考,如果證明有困難可先放著;這樣讓學(xué)生對知識有一個全面的認(rèn)識,從中感受到圓的性質(zhì)的和諧美、統(tǒng)一美.課本只安排垂徑定理的一個推論而刪去其它八個推論,則如腸梗阻,如喉梗刺,阻斷了圓性質(zhì)的流暢性與全面性).統(tǒng)一的表述,條理性的記憶,不但簡化了對它實(shí)際代表的10 條定理及推論的記憶且便于解題時的靈活選用(教材只安排垂徑定理的一個推論,估計(jì)是怕增加學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān),只挑選一個認(rèn)為最重要的推論讓學(xué)生掌握,要知道每增加一個推論,就必須給出一個證明才能確定下來,九個推論要證明九次,這是多么麻煩啊.但有(圓的性質(zhì)輪換不變性)預(yù)測及后面的說明,我們完全可以在不增加學(xué)生負(fù)擔(dān)的前提下直接引出垂徑定理及推論的一個統(tǒng)一的概括性的命題讓學(xué)生掌握,從而讓學(xué)生更加全面地掌握垂徑定理及推論的實(shí)質(zhì),更利于學(xué)生感受到知識之間的縱橫聯(lián)系及來龍去脈;預(yù)測一有彌補(bǔ)知識暫時不足的缺陷,有先打預(yù)防針,先讓學(xué)生放心地運(yùn)用垂徑定理及九個推論解題的功效).

二.圓的性質(zhì)輪換不變性猜想的驗(yàn)證分析

分析圓的三大基本性質(zhì)定理：1.垂徑定理; 2.圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理;3.切線性質(zhì)定理(它們是圓的理論發(fā)展的基石)

我們發(fā)現(xiàn)一個共同的特征;每個定理的的條件與結(jié)論一一對換,所得的所有命題都是真命題.因此,每個定理及推論都可用統(tǒng)一的形式進(jìn)行表述：垂徑定理及推論可以統(tǒng)一表述為“知二推三”;圓心角、弧、弦、弦心距四者之間的關(guān)系定理及推論,可統(tǒng)一表述為“知一推三”;切線性質(zhì)定理及推論可統(tǒng)一表述為“知二推一”.

至此,所有接觸到的圓的性質(zhì)都滿足(圓的性質(zhì)輪換不變性)猜想,(圓的性質(zhì)輪換不變性)猜想所揭示的有關(guān)圓的性質(zhì)具有輪換對稱不變性的背后是否潛伏著深刻的必然性來暗示(圓的性質(zhì)輪換不變性)猜想的正確性呢? 有必要進(jìn)行深入的研究與探討(注意,(圓的性質(zhì)輪換不變性)猜想是一種美的感覺而作出的猜想,不可能有嚴(yán)格的幾何證明來確定,我們只能多做些感覺性的工作來認(rèn)同它,為感覺打氣鼓勁.培養(yǎng)學(xué)生美的直覺能力是培養(yǎng)學(xué)生探索創(chuàng)新能力的重要途徑).

首先從垂徑定理說起.

對于圓內(nèi)異于圓心的一個定點(diǎn)M, ①對應(yīng)著圓內(nèi)唯一的一條過定點(diǎn)M 的直徑CD (兩點(diǎn)確定一條直線), ②對應(yīng)著唯一的一條過定點(diǎn)M 且垂直于直徑CD 的弦AA′(過直線上或直線外一點(diǎn)有且只有唯一一條直線與已知直線垂直);從而 ③對應(yīng)著唯一的一條以M 為中點(diǎn)的弦, ④優(yōu)弧ACA′的中點(diǎn)C 唯一, ⑤劣弧ADA′的中點(diǎn)D 唯一(垂徑定理).

唯一意味著確定, 垂徑定理圖告訴我們, 對一個圓和對一條直線來說, 如果具備下列條件中的任何兩個, 那么也具有其它三個：(1)過圓心, (2)垂直于弦, (3)平分弦, (4)平分弦所對的優(yōu)弧,(5)平分弦所對的劣弧.

圖2

正是垂徑定理圖所顯示的結(jié)構(gòu)關(guān)系的唯一確定性,就有了垂徑定理的條件與結(jié)論的一一交換不變性.

再看切線性質(zhì)定理.

對于圓上的一個確定的點(diǎn)A, ①對應(yīng)唯一的一條過圓心O 與點(diǎn)A 的直線OA(兩點(diǎn)確定一條直線), ②對應(yīng)唯一的一條以點(diǎn)A 為切點(diǎn)的切線(過直線上或直線外一點(diǎn)有且只有唯一一條直線與已知直線垂直).

切線性質(zhì)定理圖告訴我們,對一個圓和對一條直線來說,如果具備下列三個條件中的任何兩個, 那么也具有第三個：(1)過圓心, (2)過切點(diǎn), (3)垂直于切線.

正是切線性質(zhì)定理圖所顯示的結(jié)構(gòu)關(guān)系的唯一確定性,就有了切線性質(zhì)定理的條件與結(jié)論的一一交換不變性.

最后看圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理(簡稱“關(guān)系定理”,教材刪去了弦心距).

“關(guān)系定理”換一種說法就是：在同圓中,圓心角確定,則所對的弧確定,所對的弦確定,所對的弦心距確定.

“關(guān)系定理”圖告訴我們,在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦心距中有一組量相等,那么它們所對應(yīng)的其余各組量分別相等.

正是“關(guān)系定理”圖所顯示的結(jié)構(gòu)關(guān)系的唯一確定性,就有了“關(guān)系定理”的條件與結(jié)論的一一交換不變性.

可見,圓性質(zhì)的輪換對稱不變性,在于圓性質(zhì)定理圖所顯示的結(jié)構(gòu)關(guān)系的唯一確定性.

如若教材每給出一個有關(guān)圓的性質(zhì)定理就指出所有的逆命題都成立并統(tǒng)一表述,則可讓學(xué)生對定理及推論形成系統(tǒng)完整的認(rèn)識,并作為探索性問題留在心中,不一定先要個個證明一遍才罷休.如同三角形全等的判定定理,有些作公理(盡管不是公理)處理承認(rèn)它成立;再如圓面積公式也是先記住它并去應(yīng)用它, 其證明等以后學(xué)了微積分再證也不晚.在嚴(yán)格要求下,我們應(yīng)允許若干重要的暫時不能證明的基礎(chǔ)性定理讓學(xué)生先行掌握,以形成完整系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu),感受知識的和諧統(tǒng)一美.

圓性質(zhì)的輪換對稱不變性,在于圓的性質(zhì)定理圖所顯示的結(jié)構(gòu)關(guān)系的唯一確定性.圓性質(zhì)的輪換對稱不變性,用映射的觀點(diǎn)看,就是在全方位對稱前提下的一一對應(yīng)關(guān)系下的交換不變性.(圓的性質(zhì)輪換不變性)預(yù)測成立的“真相”就在于此(這里的“真相”,仍是一種美的感覺,不是證明意義下的“真相”).

對與圓有關(guān)的性質(zhì)定理的教學(xué),主張每學(xué)一個性質(zhì)定理,學(xué)生能自覺地去探討所有形式的逆命題(有可能的話,自行證明之),并由此進(jìn)行全面統(tǒng)一的表述及記憶.盡管教材可能未給出某些命題的逆命題, 但學(xué)生應(yīng)認(rèn)識到逆命題的正確性(預(yù)測的教學(xué)功能),甚至允許學(xué)生運(yùn)用這些未學(xué)的逆命題去思考問題、解決問題,只有這樣,學(xué)生學(xué)握的知識才有系統(tǒng)性、全面性,從而達(dá)到靈活運(yùn)用的效果.

寫到這里,可能有人舉出反例,說明(圓的性質(zhì)輪換不變性)猜想不正確.如：

定理圓的兩條平行弦所夾的弧相等.

逆命題若圓的兩條弦所夾的弧相等,則這兩條弦平行.

顯然, 該逆命題不成立, 如圖(3), 弧CB = 弧AD, 但AB 不平行于CD.

這是怎么回事? 實(shí)際上,上命題并不是原命題的逆命題, 原命題的條件“兩條平行弦”暗含有兩弦不相交這一隱蔽性條件.因此, 原命題的逆命題應(yīng)是“若圓內(nèi)兩條不相交的弦所夾的弧相等,則此兩弦平行”,該逆命題易證成立.

圖3

推論同弧所對的圓周角相等.

逆命題相等的圓角角所對的弧是同弧.

顯然,該逆命題也不成立.

這又是怎么回事呢? 圓的旋轉(zhuǎn)不變性告訴我們,這里的同弧應(yīng)理解為能夠互相重合的弧,即原命題應(yīng)是：同弧或等弧所對的圓周角相等,所以,真正的逆命題應(yīng)是：相等的圓角角所對的弧是同弧或等弧(前提是“在同圓或等圓中”)

倘若有人能舉出—個與圓有關(guān)的某性質(zhì)定理的逆命題不成立,那么我們只有懷疑圓的結(jié)構(gòu)對稱性的完善性,即圓一定有不對稱的地方,這顯然不符合圓的結(jié)構(gòu)特征.可以說,我們對(圓的性質(zhì)輪換不變性)猜想深信不疑,就在于圓的結(jié)構(gòu)對稱性的完善性.完美無缺,圓也.

總之,猜想到關(guān)于圓的每一個性質(zhì)定理的條件與結(jié)論之間具有等量交換不變性, 并由此演變出所有形式的逆命題,進(jìn)而用一個統(tǒng)一的形式進(jìn)行表述,則圓的每一個性質(zhì)定理及推論的各種變化全握在手(以不變應(yīng)萬變),記憶也一目了然,不會被復(fù)雜多變的形式所迷惑,以完整的知識結(jié)構(gòu)牢記于心.

三.圓的性質(zhì)輪換不變性猜想的特殊價值

設(shè)想將(圓的性質(zhì)輪換不變性) 猜想, 看作一個臨時的“公理”,這樣,對圓一章的有關(guān)性質(zhì),我們只需給出原命題的證明,其演變出的所有逆命題,就可暫時不經(jīng)證明直接當(dāng)作定理去使用.如此處理,學(xué)生既掌握了系統(tǒng)全面的知識結(jié)構(gòu),增加了知識容量,拓寬了解題思路,又不增加課本“厚度”及學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān),如此“革命性”的設(shè)想,筆者認(rèn)為有探討研究的必要.(當(dāng)條件成熟時,再要求學(xué)生對未證明的逆定理進(jìn)行證明也不晚;即使在初中階段學(xué)生沒有能力去證明它,(圓的性質(zhì)輪換不變性)預(yù)測的科學(xué)性仍使他們對尚未證明的逆定理的應(yīng)用,顯得“底氣十足、深信不疑”.他們心里明白,所應(yīng)用的逆定理是成立的,到了一定時候就可證明之,因此可放心大膽地去應(yīng)用去探索去思考.如此設(shè)想,有關(guān)四點(diǎn)共圓、相交弦定理等被刪去的內(nèi)容重回初中幾何教材就變得順理成章了.四點(diǎn)共圓的性質(zhì)非常優(yōu)美,是作輔助圓解決非圓類幾何問題的理論基礎(chǔ)之一,從中顯示圓的性質(zhì)美,感受圓的內(nèi)在美,是欣賞圓形美、體驗(yàn)圓的美學(xué)價值的絕佳范例.圓一章內(nèi)容的增刪, 應(yīng)考慮圓性質(zhì)的整體完善性及發(fā)揮它獨(dú)特的美育功能).

圓的美育功能是圓的一項(xiàng)重要的教育功能,在數(shù)學(xué)美育功能上處于獨(dú)一無二的最佳地位, 是美育教材的最佳標(biāo)本,其美育功能是其它任何幾何圖形無法比擬的.將圓形美的內(nèi)涵全方位的揭示出來,完美展示圓的形式美、結(jié)構(gòu)美、性質(zhì)美及美的啟發(fā)預(yù)測功能, 才能讓學(xué)生陶醉在圓形美的世界里,從內(nèi)心去欣賞它、感受它,進(jìn)而無怨無悔的去學(xué)習(xí)它、應(yīng)用它.

學(xué)習(xí)知識要直達(dá)核心抓住精義,要善于尋找美、感受美,產(chǎn)生美的直覺去發(fā)現(xiàn)美的光輝,這樣的學(xué)習(xí)才是有趣的充滿生機(jī)的.