以圓周角定理為例談中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)策略*

福建省廈門實驗中學(xué)(361116) 劉云啟 黃耿躍

中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)是學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識,形成基本技能,提升基本能力和基本思想的關(guān)鍵環(huán)節(jié).而數(shù)學(xué)知識點繁多,知識點之間的聯(lián)系龐雜,如何讓學(xué)生在較短的時間內(nèi)復(fù)習(xí)質(zhì)量最大化,這就需要教師在中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)策略上下功夫.笛卡爾在《方法論》中寫道：“可以將要研究的復(fù)雜問題,盡量分解為多個比較簡單的小問題,一個一個地分開解決.將這些小問題從簡單到復(fù)雜排列,先從容易解決的問題著手.所有問題解決后,再綜合起來檢驗,看是否完全,是否將問題徹底解決了”[1].筆者認為,緊扣中考考試大綱,以基礎(chǔ)知識、基本技能、基本能力和基本思想構(gòu)成的“四基”為復(fù)習(xí)路徑,不僅能夠較好地滲透笛卡爾著名的方法論準(zhǔn)則,而且可以作為中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中比較有效的方式.本文以圓周角定理這一知識點為例,談?wù)勅绾卧谥锌紨?shù)學(xué)復(fù)習(xí)中實踐以上復(fù)習(xí)方式.

一、圓周角定理的基礎(chǔ)知識

定理學(xué)習(xí)是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的優(yōu)質(zhì)素材,創(chuàng)設(shè)思維的空間[2].圓周角定理中有兩層意思,一層意思是“同弧所對的圓周角相等”,另一層意思是“一條弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半”.圓周角定理教學(xué)的實質(zhì)就是挖掘揭示這兩層意思的思維過程[3].

例1已知：如圖1, 在⊙O 中,弧BC 所對的圓周角和圓心角分別是∠BAC、∠BOC.求證：∠BAC =

圖1

評注例1 只是探究同弧所對圓周角和圓心角關(guān)系的一種情況,在復(fù)習(xí)教學(xué)時,教師應(yīng)要求學(xué)生將其它兩種情況表示出來.目的在于加深學(xué)生分類討論的意識,加強學(xué)生識圖作圖的能力,滲透轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.雖然圓周角定理比較容易理解,但在復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識時,不應(yīng)急于練習(xí),而應(yīng)追根溯源,弄清楚推導(dǎo)圓周角定理的路徑,吃透圓周角定理,知其所以然,也為提升基本技能做鋪墊.

例2(2018年廣東)同圓中,已知弧AB 所對的圓心角是100°,則弧AB 所對的圓周角是____.

變式題1同圓中,已知弧AB 所對的圓周角是100°,則弧AB 所對的圓心角是____.

評注考查的知識點：圓周角定理(圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半).雖然例2 及變式可以直接利用圓周角定理得出答案,但熟練得出答案的前提應(yīng)基于例1 的追根溯源,建立起圓周角定理的強大根基,學(xué)生才能夠適應(yīng)在基本技能和基本能力方面的考查.

二、考查圓周角定理的基本技能

例3(2018年吉林, 13) 如圖2,A,B,C,D 是⊙O 上的四個點,弧AB =弧BC, 若∠AOB = 58°, 則∠BDC =____度.

圖2

評注上題考查了圓心角定理推論和圓周角定理知識,求解本題需要熟練掌握這兩個知識點,并通過知識點間的聯(lián)系進行技能疊加.學(xué)生形成圓周角定理的基本技能,有助于實現(xiàn)同類型題目的多題一解.我們給出例3 的變式題2.

變式題2(2018年廣州, 7) 如圖3,AB 是⊙O 的弦,OC ⊥AB,交⊙O 于點C,連接OA,OB,BC,若∠ABC = 20°,則∠AOB 的度數(shù)是( )

圖3

A.40°B.50°C.70°D.80°

評注變式題2 是考查圓周角定理基本技能的進一步深化.除了涉及圓心角定理推論和圓周角定理,它還考查了垂徑定理.

例4(2018年北京, 12) 如圖4,點A,B,C,D 在⊙O 上, 弧CB = 弧CD, ∠CAD = 30°, ∠ACD = 50°, 則∠ADB =____.

圖4

評注與例3 不同,本題考查了圓周角與圓心角及其所對弧的關(guān)系、圓周角定理.但其中都涉及到圓周角定理,以圓周角定理為出發(fā)點,可以進行多個單一技能的疊加.

變式題3(2018年天津,21)已知AB 是⊙O 的直徑,弦CD 與AB 相交,∠BAC =38°.

(1) 如圖5,若D 為弧AB 的中點,求∠ABC 和∠ABD的大小;

(2) 如圖6,過點D 作⊙O 的切線,與AB 的延長線交于點P,若DP//AC,求∠OCD 的大小.

圖5

圖6

評注變式題3 除了對例3 知識點的考查,還要求學(xué)生掌握平行線的性質(zhì)定理、三角形的內(nèi)角和定理,這就需要學(xué)生能夠通過多個技能的疊加達到求解的目的.

上述試題均考查了圓周角定理,但每一道題目之間涉及的考點又有所不同.在教學(xué)中,培養(yǎng)學(xué)生進行題目之間的比較分析,有助于學(xué)生夯實知識點,建構(gòu)知識點之間的聯(lián)系,形成局部的知識網(wǎng)絡(luò),從而養(yǎng)成圓周角定理的基本技能,也為進一步提升基本能力打好基礎(chǔ).通過這四道試題的展示,可以清晰地發(fā)現(xiàn)例1 及其它兩種情況的推導(dǎo)是十分有必要的,這有助于學(xué)生由單一技能向多技能疊加的轉(zhuǎn)變,而熟練進行技能疊加的前提是對每一個知識點追根溯源的執(zhí)著.當(dāng)然,上述試題也有不同的解法,考查的知識點亦有所不同.

三、滲透在圓周角定理中的基本能力和基本思想

例5(2017年廈門市九年級期末質(zhì)檢試題,24)在⊙O中,點C 在劣弧AB 上,D 是弦AB 上的點,∠ACD =40°.

(1) 如圖7,若⊙O 的半徑為3,∠CDB =70°,求弧BC的長;

(2) 如圖8, 若DC 的延長線上存在點P, 使得PD =PB,試探究∠ABC 與∠OBP 的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.

圖7

圖8

評注(1)略.對(2)的思路可以從考查知識點、基本能力和基本思想分析,即從綜合運用圓的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形性質(zhì)、三角形中有關(guān)角的性質(zhì),到空間觀念——利用半徑等腰、同弧所對的圓心角與圓周角、三角形外角、等腰三角形等基本圖形尋找已知量與未知量之間的簡捷聯(lián)系;推理能力、運算能力——根據(jù)設(shè)問,及圖形特征,有向有序分析運算條件、探究運算方向,設(shè)計簡捷的運算途徑;再到化歸與轉(zhuǎn)化思想的滲透.

變式題4(2018年廈門市九年級期末質(zhì)檢試題,24)已知AB 是半圓O 的直徑,M,N 是半圓上不與A, B 重合的兩點,且點N 在弧MB 上.

(1) 如圖9,MA = 6,MB = 8,∠NOB = 60°,求NB的長;

(2) 如圖 10, 過點 M 作 MC ⊥ AB 于點C, P 是MN 的中點, 連接MB,NA,PC, 試探究∠MCP, ∠NAB,∠MBA 之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.

圖9

圖10

評注從考查內(nèi)容上,變式題4 與例5 如出一轍.

變式題5(2019年廈門市九年級期末質(zhì)檢試題,24)已知P 是⊙O 上一點, 過點P 作不過圓心的弦PQ, 在劣弧PQ 和優(yōu)弧PQ 上分別有動點A,B (不與P,Q 重合),連接AP,BP.若∠APQ=∠BPQ.

(2) 如圖12,連接AB,交PQ 于點M,點N 在線段PM上(不與P,M 重合),連接ON,OP,若∠NOP+2∠OPN =90°,探究直線AB 與ON 的位置關(guān)系,并證明.

圖11

圖12

評注變式題5(2)整體上考查的內(nèi)容與例5 和變式題4基本一致,但細分起來,又有所不同,主要在于空間觀念——識別或構(gòu)造等圓周角結(jié)構(gòu)、半徑等腰、“垂徑定理結(jié)構(gòu)”;推理能力——能結(jié)合題目條件中的角的數(shù)量關(guān)系聯(lián)想圖形性質(zhì),并能選擇恰當(dāng)、簡捷的基本圖形建立已知量與未知量之間的簡捷聯(lián)系,利用圖形性質(zhì)實現(xiàn)轉(zhuǎn)化.

筆者曾以17 和18年廈門質(zhì)檢題作為學(xué)生測試的題目,19年參與閱卷,恰好批改的也是24 題,這三道題的第二問得分率比較低.在講評試卷時,如果結(jié)合已知條件進行局部推導(dǎo),較多的學(xué)生是可以做到的,但較少有學(xué)生能夠做到完整推導(dǎo),足以反映上述試題不再是單純的技能疊加,說明本題重在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,區(qū)分學(xué)生的層次.而學(xué)生在該題得分較低的原因正是缺乏技能疊加之間的嵌合.如何嵌合才能使學(xué)生在這一塊盡量能得高分? 可以從以下方面進行實施：一是構(gòu)造輔助線的能力.學(xué)生能夠從平時的練習(xí)中總結(jié)圓中常用的輔助線.比如例5圖11 中連接OA;變式題4 中能夠看出垂徑定理的影子從而補全半圓并延長MC,能夠由中點聯(lián)想到中位線進而作出輔助線;變式題5 圖11 中連接OQ、OB.二是這三道題目重點考查了劃歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,而對數(shù)學(xué)思想的理解,是串聯(lián)局部知識網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵環(huán)節(jié),從而對數(shù)學(xué)知識進行宏觀把控.這就需要學(xué)生平時練習(xí)時注意比較同類型題目之間的區(qū)別與聯(lián)系,歸納特征,總結(jié)方法.

四、感悟

在復(fù)習(xí)教學(xué)中, 對圓周角定理的梳理是“由點成面”的過程,即在基礎(chǔ)知識上理清吃透知識點;在基本技能上用題目“包抄”知識點,強化局部知識網(wǎng)絡(luò)的聯(lián)系,形成解決知識點的內(nèi)驅(qū)力;在基本能力和基本思想上,需要清醒地認識到：“數(shù)學(xué)中最重要的是動腦、而不是動手,基本能力和基本思想往往以已有的東西(活動、運演、概念、理論等)作為直接的分析對象,并就主要表現(xiàn)為由較低的抽象層次上升到了更高的層面”[4].通過“四基”復(fù)習(xí)路徑,不僅復(fù)習(xí)了圓周角定理,還串聯(lián)了其它知識點,可以使不同層次的學(xué)生得到提高,能夠有效因材施教,提升中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的質(zhì)量.此外,“四基”復(fù)習(xí)路徑有助于學(xué)生更好地實現(xiàn)數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)思想的形成,有效銜接初高中數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí).