構(gòu)造圓心角 解題好巧妙

左效平

圓心角與圓周角關(guān)系定理是圓中一個(gè)重要的應(yīng)用性定理，下面舉例介紹其應(yīng)用.

一、構(gòu)造直徑上的圓周角

例1 （2019·山東·聊城）如圖1，BC是半圓O的直徑，D，E是[BC]上兩點(diǎn)，連接BD，CE并延長(zhǎng)交于點(diǎn)A，連接OD，OE. 如果∠A=70°，那么∠DOE的度數(shù)為（ ）.

A. 35° B. 38° C. 40° D. 42°

解析：如圖1，連接CD，∵BC是半圓O的直徑，∴∠BDC = 90°，

∴∠ADC = 90°，∴∠ACD=90° - ∠A = 20°，

∴∠DOE = 2∠ACD = 40°，故選C.

點(diǎn)評(píng)：構(gòu)造直徑上的圓周角得到直角三角形是解題的關(guān)鍵.

二、利用垂徑定理等量代換

例2（2019·內(nèi)蒙古·赤峰）如圖2，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn)，∠ADC=30°，則∠BOC的度數(shù)為（ ）.

A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°

解析：如圖2，∵∠ADC = 30°，∴∠AOC = 2∠ADC = 60°.

∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于點(diǎn)C，∴[AC] =[ BC].

∴∠BOC = ∠AOC = 60°. 故選D.

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握垂徑定理實(shí)現(xiàn)等量代換是解題的關(guān)鍵.

例3（2019·山東·威海）如圖3，⊙P與x軸交于點(diǎn)A（-5，0），B（1，0），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C. 若∠ACB = 60°，則點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為（ ）.

A. [13] + [3] B. 2[2] + [3] C. 4[2] D. 2[2] + 2

解析：如圖3，連接PA，PB，PC，過(guò)P作PD⊥AB于D，PE⊥OC于E，

∵∠ACB = 60°，∴∠APB = 120°，∵PA = PB，∴∠PAB = ∠PBA = 30°，

∵A（-5，0），B（1，0），∴AB = 6，∴AD = BD = 3，

∴PD = [3]，PA = PB = PC = 2[3]，∵PD⊥AB，PE⊥OC，∠AOC = 90°，

∴四邊形PEOD是矩形，∴OE = PD =[ 3]，PE = OD = 2，

∴CE = [PC2-PE2] = [12-4] = 2[2]，∴OC = CE + OE = 2[2] + [3]，

∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2[2 ]+ [3]，故選B.

點(diǎn)評(píng)：正確作出輔助線將角進(jìn)行等量代換是解題的關(guān)鍵.