變化的“魚”

吉宏湘

學習了平面直角坐標系后，我們一起來探究一下平面直角坐標系內(nèi)圖形的變化與坐標的關(guān)系。

例如，將下列各點A（0，0）、B（5，4）、C（3，0）、D（5，1）、E（5，-1）、F（4，-2）在平面直角坐標系中描出，然后按照A→B→C→D→E→C→F→A的順序?qū)⒏鼽c用線段依次連接起來，如圖1。你們看，圖1像不像一條可愛的小魚呢？

探究1 圖形的平移

如果把6個點的橫坐標分別加6，縱坐標保持不變，再按照原來的順序?qū)⑺玫母鼽c用線段依次連接起來，那么所得的小魚與原來的小魚在大小、形狀、位置上有什么變化？如圖2，我們發(fā)現(xiàn)，小魚的大小、形狀不變，但位置發(fā)生了變化——向右移動了6個單位長度。

因此，要使這條小魚上下平移，我們可適當增加或減少這些點的縱坐標，橫坐標保持不變。比如，如果把這些點的橫坐標都加1，縱坐標都減2，再按照原來的順序?qū)⒏鼽c用線段依次連接起來，所得的小魚與原來的小魚相比，大小、形狀不變，位置發(fā)生變化——先向右平移1個單位，再向下平移2個單位。

我們發(fā)現(xiàn)，當圖形中各點縱坐標保持不變，橫坐標分別加上或減去a（a>0），則圖形向右或向左平移a個單位；當橫坐標保持不變，縱坐標分別加上或減去a（a>0），則圖形向上或向下平移a個單位。

探究2 圖形的伸縮

我們將圖1中各點進行如下變化：縱坐標保持不變，橫坐標分別變成原來的2倍，再按照原來的順序?qū)⒏鼽c用線段依次連接起來（如圖3），所得的小魚與原來的小魚相比，大小和形狀都發(fā)生了變化。我們發(fā)現(xiàn)，“小魚”變長了。

因此，我們要想將小魚上下伸縮，則可改變各點縱坐標的大小，橫坐標不變；左右伸縮，可改變各點橫坐標的大小，縱坐標不變。比如，橫、縱坐標分別變?yōu)樵瓉淼?倍（如圖4）。

我們發(fā)現(xiàn)，當圖形中各點縱坐標保持不變，橫坐標分別變成原來的a（a≥1）倍（或[1/a]），則圖形橫向伸長（或壓縮）為原來的a倍（或[1/a]）；當橫坐標保持不變，縱坐標分別變成原來的a倍（或[1/a]），則圖形縱向伸長（或壓縮）為原來的a倍（或[1/a]）。

探究3 圖形的對稱

若圖1中各點縱坐標保持不變，橫坐標分別乘-1，再將所得的各點用線段依次連接起來（如圖5），我們可以發(fā)現(xiàn)，所得的小魚與原來的小魚關(guān)于y軸對稱（即沿著y軸翻折能互相重合）。

若將圖1中各點橫坐標保持不變，縱坐標分別乘-1，再將所得的各點用線段依次連接起來，所得的圖案與原來的圖案相比有什么變化？請同學們自己畫出圖形，觀察圖案。

我們發(fā)現(xiàn)，當圖形中各點橫坐標保持不變，縱坐標分別乘-1，所得的圖案與原圖案關(guān)于x軸對稱；縱坐標保持不變，橫坐標分別乘-1，所得的圖案與原圖案關(guān)于y軸對稱。

（作者單位：江蘇省海安市城南實驗中學）