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    圓的常見考點(diǎn)展示

    2021-12-12 12:39:34薛金鈺
    關(guān)鍵詞:垂徑圓心角度數(shù)

    薛金鈺

    圓是初中數(shù)學(xué)中最重要的內(nèi)容之一,該部分知識(shí)大致可分為與圓有關(guān)的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系及與圓有關(guān)的計(jì)算三部分,中考中一般以填空、選擇、計(jì)算和證明的形式出現(xiàn),難度中等.現(xiàn)舉例介紹其常見考點(diǎn),希望能對(duì)同學(xué)們有所幫助.

    考點(diǎn)1:垂徑定理

    例1(2021·四川·自貢)如圖1,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點(diǎn)F,OE⊥AC于點(diǎn)E,若OE = 3,OB = 5,則CD的長(zhǎng)度為( ).

    A. 9.6? ? ? ? ? B. 4[5]? ? ? ? C. 5[3]? ? ? ? D. 10

    分析:由垂徑定理可知AE = CE,由AO = BO,OE = 3,可求出BC和AC,再運(yùn)用面積法求出CF,即可由垂徑定理得到CD的長(zhǎng)度.

    解:如圖1,連接BC. ∵AB是⊙O的直徑,∴∠ACB = 90°. ∵OE⊥AC,∴AE = EC.∵AO = BO,∴BC = 2OE = 6.∵AB = 2OB = 10,∴AC = 8. ∵CD⊥AB,∴CD = 2CF. ∵S△ABC = [12]AC × BC = [12]AB × CF,即6 × 8 = 10CF,∴CF = 4.8,∴CD = 9.6,故選A.

    點(diǎn)評(píng):這里兩次運(yùn)用了垂徑定理,給解題帶來(lái)了便利.面積法是解題的有力武器,利用兩次算同一個(gè)圖形的面積得到等量關(guān)系,更是一個(gè)很有用的解題策略,同學(xué)們要學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用.

    考點(diǎn)2:弧、弦、圓心角的關(guān)系以及圓周角定理

    例2(2021·江蘇·連云港)如圖2,OA,OB是⊙O的半徑,點(diǎn)C在⊙O上,∠AOB = 30°,∠OBC = 40°,則∠OAC = .

    分析:如圖2,延長(zhǎng)AO,BO交⊙O于點(diǎn)D,E,連接OC,CD. 從弧、弦、圓心角的關(guān)系來(lái)考慮:由∠AOB = 30°可得弧DE的度數(shù)為30°.由∠OBC = 40°,可得弧CE的度數(shù)為80°,進(jìn)而得到弧CD的度數(shù)為50°, 即可得到∠OAC的度數(shù).從圓周角定理來(lái)考慮:由∠AOB = 30°,∠OBC = 40°,可得∠BOC = 100°,∠COD = 50°,進(jìn)而得到∠OAC的度數(shù). 從圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)來(lái)考慮:連接AB,由∠AOB = 30°,∠OBC = 40°,可得到∠ABC = 115°,∠CDA = 75°,進(jìn)而得到∠OAC的度數(shù).

    解:如圖2,延長(zhǎng)AO,BO交⊙O于點(diǎn)D,E,連接OC,CD,可得∠OAC = 25°.

    點(diǎn)評(píng):本題的解法還有很多,通過(guò)不同的解法可以系統(tǒng)復(fù)習(xí)圓的概念及其基本性質(zhì),同學(xué)們不妨試一試,并從中選擇出最簡(jiǎn)便的方法,與同伴交流.

    考點(diǎn)3:直線與圓的位置關(guān)系

    例3(2021·浙江·嘉興)平面內(nèi)有⊙O和點(diǎn)A,B,若⊙O的半徑為2 cm,線段OA = 3 cm,OB = 2 cm,則直線AB與⊙O的位置關(guān)系為( ).

    A. 相離? ? ? B. 相交? ? ? C. 相切? ? ? D. 相交或相切

    分析:由⊙O的半徑為2 cm和OB = 2 cm,可知直線AB與⊙O至少有一個(gè)公共點(diǎn),因此它們之間的位置關(guān)系為相交或相切.

    解:選D.

    點(diǎn)評(píng):本題雖然是直線與圓的位置關(guān)系(形)的判定,卻是通過(guò)比較點(diǎn)A,B與圓心O的距離(數(shù))的大小來(lái)做出判定的. 注意不要忽視相交的情況.

    考點(diǎn)4:圓的切線的判定

    例4(2021·四川·遂寧)如圖3,⊙O的半徑為1,點(diǎn)A是⊙O的直徑BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),C為⊙O上的一點(diǎn),AD = CD,∠A = 30°.

    求證:直線AC是⊙O的切線.

    分析:因點(diǎn)C在⊙O上,連接CO,只要證明∠ACO = 90°即可.

    證明:連接OC. ∵AD = CD ,∠A = 30°,∴∠ACD = 30°,∴∠CDB = 60°. ∵OD = OC,∴∠OCD = ∠ODC = 60°,∴∠ACO = ∠ACD + ∠OCD = 90°. ∵OC是半徑,∴直線AC是⊙O的切線.

    點(diǎn)評(píng):證明直線是圓的切線時(shí),若已知直線與圓有公共點(diǎn),通常連接過(guò)這點(diǎn)的半徑,證明這條半徑與直線垂直即可,簡(jiǎn)述為:連半徑,證垂直;若未知直線與圓的交點(diǎn),通常過(guò)圓心作直線的垂線段,證明這條垂線段的長(zhǎng)等于圓的半徑,簡(jiǎn)述為:作垂線,證相等.

    考點(diǎn)5:切線的性質(zhì)與弧長(zhǎng)的計(jì)算

    例5(2021·浙江·麗水)如圖4,在△ABC中,AC = BC,以BC為直徑的半圓O交AB于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作半圓的切線,交AC于點(diǎn)E.

    (1)求證:∠ACB = 2∠ADE;

    (2)若DE = 3,AE = [3],求[CD]的長(zhǎng).

    分析:(1)由BC為直徑,AC = BC,可知∠ACB = 2∠OCD,因此只要證明∠ADE = ∠OCD即可;(2)由已知條件證明△ABC是等邊三角形,求出圓的半徑和∠COD的度數(shù)即可.

    解:(1)連接OD,CD.∵DE是⊙O的切線,∴∠ODE = 90°,∴∠ODC + ∠CDE = 90°.

    ∵BC是直徑,∴∠BDC = 90°,∴∠ADC = 90°,∴∠ADE + ∠CDE = 90°,∴∠ADE = ∠ODC.

    ∵OD = OC,∴∠ODC = ∠OCD,∵AC = BC,∴∠ACB = 2∠OCD,∴∠ACB = 2∠ADE.

    (2)由(1)可知,∠AED = 90°.∵DE = 3,AE = [3],∴AD = 2[3],∴∠A = 60°,∴△ABC是等邊三角形,∠B = 60°,∴∠COD = 120°,OC = 2[3],∴[CD] = [120π×23180] = [43π3].

    點(diǎn)評(píng):已知切線,過(guò)切點(diǎn)連半徑得垂直是常用的輔助線.利用弧長(zhǎng)公式求弧長(zhǎng),關(guān)鍵是求出弧所在圓的半徑和弧所對(duì)的圓心角.

    (作者單位:江蘇省興化市戴南鎮(zhèn)顧莊學(xué)校)

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