對(duì)一道高考試題的討論

楊宋鵬 姚新利

(銅川市耀州中學(xué) 陜西 銅川 727100)

文獻(xiàn)[1]刊登了對(duì)2010年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(上海卷)物理試題的評(píng)析，其中第24小題，給出了兩種解法，這兩種解法的確簡(jiǎn)單，但是讀完之后，總覺得這樣的解法沒有考慮初始位置間的夾角，有些不妥.課堂上給學(xué)生講完上述兩種解法后，大部分學(xué)生同樣不能理解：為什么不考慮初始位置間的夾角？從圖1所示位置開始到第一次共線，a，b運(yùn)動(dòng)過的圓心角的差值并不等于π.思考再三，原來教師總是向?qū)W生強(qiáng)調(diào)重視過程的分析，但學(xué)生對(duì)題目中a，b物體運(yùn)動(dòng)過程中的關(guān)系并沒有弄清，上述兩種解法中同樣沒有過程的分析.為什么不考慮初始位置間的夾角，的確存在思維上的漏洞．于是筆者在課堂上引導(dǎo)學(xué)生分析，找到了兩種更好的、更常規(guī)的解法，現(xiàn)在與大家分享．

題目：如圖1所示，3個(gè)質(zhì)點(diǎn)a，b，c質(zhì)量分別為m1，m2，M(M?m1，M?m2)．在質(zhì)點(diǎn)c的萬有引力作用下，a，b在同一平面內(nèi)繞c沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑之比為ra∶rb=1∶4，則它們的周期之比Ta∶Tb=______；從圖示位置開始，在b運(yùn)動(dòng)一周的過程中，a，b，c共線了______次．

圖1

解析：萬有引力提供向心力，則

所以Ta∶Tb=1∶8．第一問的求解與參考答案相同．

現(xiàn)將第二問的兩種常規(guī)解法介紹如下.

解法一：物理過程分析法

第一問已經(jīng)求得Ta∶Tb=1∶8，即b物體運(yùn)動(dòng)1周的時(shí)間內(nèi)a物體運(yùn)動(dòng)8周．據(jù)此，將b物體運(yùn)動(dòng)的軌跡圓周分成8等份，如圖2所示．

圖2

在a物體運(yùn)動(dòng)第1周的時(shí)間內(nèi)，b物體從圖2中的b位置到b1位置，此過程中，a的線速度大，質(zhì)點(diǎn)a，b，c第一次共線出現(xiàn)在當(dāng)a在b4cb5區(qū)域運(yùn)動(dòng)的過程中(a、b在c的兩側(cè))；由于a最后回到出發(fā)點(diǎn)，因此a，b，c第二次共線出現(xiàn)在當(dāng)a在bcb1區(qū)域運(yùn)動(dòng)的過程中(a，b在c的同側(cè))．所以在a運(yùn)動(dòng)第1周的時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)a，b，c共線出現(xiàn)2次．

在a運(yùn)動(dòng)第2周的時(shí)間內(nèi)，b從圖2中的b1位置到b2位置，a的線速度大，b的線速度小，a，b，c的第一次共線出現(xiàn)在當(dāng)a在b5cb6區(qū)域運(yùn)動(dòng)的過程中(a、b在c的兩側(cè))，此后a最后回到出發(fā)點(diǎn)，不可能再出現(xiàn)a，b，c共線的情形．所以在a運(yùn)動(dòng)第2周的時(shí)間內(nèi)，a，b，c共線出現(xiàn)1次．

在a運(yùn)動(dòng)第3周的時(shí)間內(nèi)，b從圖2中的b2位置到b3位置，a的線速度大，b的線速度小，質(zhì)點(diǎn)a，b，c的第一次共線出現(xiàn)在當(dāng)a在b2cb3區(qū)域運(yùn)動(dòng)的過程中(a、b在c的同側(cè))，相當(dāng)于a超過b時(shí)；質(zhì)點(diǎn)a，b，c第二次共線出現(xiàn)在當(dāng)a在b6cb7區(qū)域運(yùn)動(dòng)的過程中(a，b在c的兩側(cè))．所以在a運(yùn)動(dòng)第3周的時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)a，b，c共線出現(xiàn)2次．

同理，b從圖2中的b3位置到b4位置，從b4到b5，從b6到b7，b從圖中的b7位置回b位置，這幾個(gè)過程中，質(zhì)點(diǎn)a，b，c共線出現(xiàn)2次．而b從圖中的b5位置到b6位置的過程，與b從圖中的b1位置到b2位置的過程相似，質(zhì)點(diǎn)a，b，c共線出現(xiàn)1次．

所以在b運(yùn)動(dòng)1周的時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)a，b，c共線了14次．從分析求解過程可以看出：當(dāng)b在a的起始位置所在的區(qū)域及其對(duì)稱區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)a，b，c共線出現(xiàn)1次，其他區(qū)域質(zhì)點(diǎn)a，b，c共線出現(xiàn)2次，與初始位置間夾角∠acb的大小無關(guān)．

這個(gè)解法符合學(xué)生的思維習(xí)慣，便于解答學(xué)生心中的疑惑，有利于學(xué)生思維能力和分析力、動(dòng)手能力的培養(yǎng)，但是過程繁瑣，考試中較費(fèi)時(shí)間．

解法二：計(jì)算法

也是利用兩次共線的時(shí)間間隔t計(jì)算，但將開始計(jì)時(shí)到第一次共線的時(shí)間單列計(jì)算．

為便于理解，先分析起始位置共線的兩類情況．在圖3所示的兩類情況中，設(shè)每隔時(shí)間t，質(zhì)點(diǎn)a，b，c共線1次，則

(ωa-ωb)t=π

圖3

所以b運(yùn)動(dòng)1周的過程中，質(zhì)點(diǎn)a，b，c共線的次數(shù)為

圖4

本題中，第一次共線后的其他共線，均可視為上述情況．這樣考慮起始夾角∠acb=θ.設(shè)由圖4所示a，b位置運(yùn)動(dòng)到第一次共線(即a，b運(yùn)動(dòng)到a′，b′,位置)用時(shí)為t1，則由圖4中的關(guān)系可得

ωat1+θ-ωbt1=π

此后的情形與圖3所示情形相同，即設(shè)每隔時(shí)間t，質(zhì)點(diǎn)a，b，c共線1次，則

(ωa-ωb)t=π

那么在b運(yùn)動(dòng)1周的時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)a，b，c共線的次數(shù)為

這種解法學(xué)生從過程分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算兩個(gè)方面都容易理解和接受．但是，學(xué)生往往容易產(chǎn)生一個(gè)錯(cuò)誤的推論：若θ>π， 那么n=15．其實(shí)這個(gè)想法是錯(cuò)誤的．

圖5

分析如下：設(shè)由圖5所示a，b位置運(yùn)動(dòng)到第一次共線(即a，b運(yùn)動(dòng)到a′，b′,位置)用時(shí)為t1，則由圖5中的關(guān)系可得

ωat1+θ-ωbt1=2π

此后的情形與上一種情形相同，即設(shè)每隔時(shí)間t，質(zhì)點(diǎn)a，b，c共線1次，則

(ωa-ωb)t=π

那么在b運(yùn)動(dòng)1周的時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)a，b，c共線的次數(shù)為

這樣，學(xué)生更容易理解和接受，而且也證明了，結(jié)果的確與初始位置夾角θ的大小無關(guān)．

參考文獻(xiàn)

1 宋淑光.對(duì)2010年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(上海卷)物理試題的評(píng)析.中學(xué)物理教學(xué)參考，2010(9)：44