對飲料杯重心位置最小值的探討

鄭 金

（凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500）

文獻(xiàn)［1］利用質(zhì)心計(jì)算公式導(dǎo)出重心位置坐標(biāo)跟水面高度的關(guān)系式，然后求導(dǎo)數(shù)得出重心位置的最小值，其解題過程和結(jié)果都是正確的，但在求極值時(shí)兩次對分式求導(dǎo)數(shù)，難度較大，而且所得結(jié)果不是最終答案，還需進(jìn)一步化簡.那么除了原解以外，是否還有其他方法呢？現(xiàn)對上述問題進(jìn)行探討.

原題：如圖1所示，一個(gè)飲料杯裝滿水，杯的底部有一小孔，在水從小孔不斷流出的過程中，杯連同杯中水的共同重心將

A.一直下降 B.一直上升

C.先升后降 D.先降后升

圖2

圖1

原解：建立空間直角坐標(biāo)系如圖2所示，假設(shè)飲料杯的質(zhì)量為m，高度為h，杯底的半徑為r，水的密度為ρ，當(dāng)水面到杯底的高度為l時(shí)，水的質(zhì)量為M＝ρπr2l由質(zhì)心公式得整體重心的位置為

用求導(dǎo)數(shù)的方法得出的重心位置的最小值為

這個(gè)結(jié)果顯得非常復(fù)雜，其實(shí)還可化簡為

下面再給出兩種簡單解法.

解法1：質(zhì)心坐標(biāo)法

可知，整體重心的位置為

把M＝ρπr2h代入得

可利用判別式求極值，需把函數(shù)關(guān)系式變形為關(guān)于l的一元二次方程的形式，由（1）式得

因重心最低的位置只有一個(gè)，則對應(yīng)的l值只有一個(gè)，即方程有唯一解，只有一個(gè)根（兩個(gè)相同的根），其條件是判別式為零，即

化簡得

考慮到重心高度z大于零，解方程（5）得

此時(shí)l有唯一值，對方程（3）由極值條件得

所以，當(dāng)整體的重心最低時(shí)，水面與重心位置等高.

解法2：勢能疊加法

對于變質(zhì)量物體，若在其重心的左側(cè)增加質(zhì)量，則重心位置將向左移；若在其重心的右側(cè)增加質(zhì)量，則重心位置將向右移.同理，若在其重心的左側(cè)減少質(zhì)量，則重心位置將向右移；若在其重心的右側(cè)減少質(zhì)量，則重心位置將向左移.

當(dāng)滿杯水時(shí)，重心在幾何中心，位于水面以下.當(dāng)開始放水時(shí)，是在整體重心上方減少質(zhì)量，則重心將下移，同時(shí)水面也下降，但由于杯的重心固定不動(dòng)，則整體重心下降的速度比水面下降的速度慢，當(dāng)水面下降到與整體重心重合時(shí)，若繼續(xù)放水，則是在整體重心下方減少質(zhì)量，那么整體重心將上升，由此可見，整體重心的位置是先降后升，因此整體重心的高度存在最小值，即當(dāng)水面與整體重心的位置重合時(shí)，整體重心的位置最低.

以杯底為重力勢能的零勢能面，當(dāng)整體的重心最低時(shí)，重心位于水面上，設(shè)此時(shí)杯中水的高度為l，則水的質(zhì)量為

其重力勢能為

杯的重力勢能為

整體重心到杯底的高度也為l，則整體的重力勢能為

根據(jù)整體的重力勢能等于各部分的重力勢能之和有

代入并整理得

解得

所以整體重心位置的最小值即水面的高度為

圖3

整理得

由此可解得整體重心位置到杯底距離的最小值.

1 宮長瑩，石安山.探究飲料杯重心的變化規(guī)律.物理通報(bào)，2011（3）：70～71