一道三點(diǎn)共線問題的解法探究

陳小燕

(福建省廈門大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)，363123)

證明三點(diǎn)共線是幾何問題中的熱點(diǎn)，很多競(jìng)賽題都涉及到三點(diǎn)共線的問題.不少學(xué)生對(duì)這類問題感到困惑和棘手,不知道從何處入手.本文以2022年福建省的一道競(jìng)賽題為例,從不同視角給出多種解法，為同學(xué)們?cè)诮窈笥龅酱祟悊栴}時(shí)提供一定的參考.

試題(2022年福建省青少年數(shù)學(xué)水平測(cè)試題)如圖1,四邊形ABCD是平行四邊形,∠DAC=45°,以線段AC為直徑的圓與AB和AD的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)E和F,過點(diǎn)B作AC的垂線,垂足為H.求證:E,H,F三點(diǎn)共線.

視角1利用鄰角互補(bǔ)

連結(jié)CE,CF,要證E,H,F三點(diǎn)共線,只要證∠CHE+∠CHF=180°.

證法1如圖2,延長(zhǎng)BH交直線AD于點(diǎn)P,連結(jié)CP.因?yàn)椤螪AC=45°,BP⊥AC,所以∠BPA=45°.

又由四邊形ABCD是平行四邊形,可得∠BCA=∠DAC=45°,所以有∠BPA=∠BCA.于是P,A,B,C四點(diǎn)共圓,得

∠CBE=∠APC.

①

連結(jié)CE.由AC為圓的直徑,得∠CEA=90°=∠CHB,所以C,E,B,H四點(diǎn)共圓,可得

∠CHE=∠CBE.

②

連結(jié)CF.由AC為圓直徑,得∠CFP=90°=∠CHP,所以C,H,F,P四點(diǎn)共圓,可得

∠APC=180°-∠CHF.

③

綜合上述①②③ 三式,可得到∠CHE=∠CBE=∠APC=180°-∠CHF,即∠CHE+∠CHF=180°.所以E,H,F三點(diǎn)共線.

視角2利用西姆松定理

延長(zhǎng)BH交直線AD于點(diǎn)P,連結(jié)CF,CE,易見CF⊥AP,CE⊥AB,CH⊥PB.由西姆松定理,要證E,H,F三點(diǎn)共線,只要證A,B,C,P四點(diǎn)共圓.

證法2如圖3,延長(zhǎng)BH交直線AD于點(diǎn)P,連結(jié)CF,CE.因?yàn)椤螪AC=45°,BP⊥AC,所以∠APH=45°.

又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形,所以∠ACB=∠DAC=45°=∠APH,可得A,B,C,P四點(diǎn)共圓.

因?yàn)锳C為圓的直徑,所以CF⊥AP,CE⊥AB.又因?yàn)镃H⊥PB,由西姆松定理,得E,H,F三點(diǎn)共線.

視角3利用兩角重合

連結(jié)CE,CF,EF,要證E,H,F三點(diǎn)共線,只要證∠FEC=∠HEC.

證法3如圖4,連結(jié)FC,CE,HE,FE.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形,所以∠ACB=∠DAC=45°.

因?yàn)锳C為圓的直徑,所以CF⊥AF,CE⊥AB.又因?yàn)锽H⊥AC,所以C,E,B,H四點(diǎn)共圓.于是∠HEC=∠HBC=90°-∠ACB=45°.

因?yàn)镕,A,E,C四點(diǎn)共圓,所以∠FEC=∠FAC=45°.所以∠FEC=∠HEC,可得E,H,F三點(diǎn)共線.

視角4同一法

如圖5，連結(jié)FH并延長(zhǎng)交題設(shè)圓于點(diǎn)G.要證E,H,F三點(diǎn)共線,只要證點(diǎn)G與E重合.

證法4連結(jié)FC,EC,延長(zhǎng)FH交題設(shè)圓于點(diǎn)G.

所以?CFH∽?CAB.

綜上,E,H,F三點(diǎn)共線.

綜上可見,求解三點(diǎn)共線問題的方法靈活多樣,結(jié)我們的解題留下了廣闊的思維空間.對(duì)于此類問題的解法進(jìn)行探究,有助于加強(qiáng)幾何不同模塊有關(guān)知識(shí)的聯(lián)系,多角度探究問題的求解途徑,不斷培養(yǎng)解題能力,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).