代數(shù)巧設(shè)撥迷霧 問題剖析覓歸處
——動直線背景下圓錐曲線問題的解法探究

顧鵬飛 李 剛

(江蘇省揚州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，225002)

圓錐曲線作為中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,是歷年各地高考的考查重點.以動直線為背景的圓錐曲線問題又是高考命題的熱點,但從處理這類問題的表現(xiàn)上看,學(xué)生往往摸不清思路,導(dǎo)致事倍功半.究其原因,在解題過程中,學(xué)生難以回答“從何處下手”與“向何處前進(jìn)”這兩個最基本的問題[1].本文結(jié)合近幾年的高考中出現(xiàn)的以動直線為背景的圓錐曲線題,淺談筆者在處理這類問題時的觀點,與同行交流.

一、由問題解法引出的思考

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)O為原點,直線l:y=kx+t(t≠±1)與橢圓C交于兩個不同點P,Q,直線AP與x軸交于點M,直線AQ與x軸交于點N.若|OM||ON|=2,求證:直線l經(jīng)過定點.

(2)解法1設(shè)而不求

又因為|OM||ON|=2,所以t=0,即直線l經(jīng)過定點(0,0).

解法2直接求

設(shè)直線AP的方程為y=k1x+1,AQ的方程為y=k2x+1.

故k1,k2為(2t2-2)x2+(4k-4tk)x+(t-1)2=0的兩個根,有

在處理圓錐曲線問題時,解題方法大致分為兩類:“設(shè)而不求”與“直接求”[2].顯然這道例題適應(yīng)兩種不同的解法,但本文主題并非探討一題多解,而是通過對方法的比較,總結(jié)出這兩種解法在不同問題中的優(yōu)劣性.下面筆者將對這兩種方法進(jìn)行探討.

二、兩種方法的要點總結(jié)

“設(shè)而不求”的方法,是通過設(shè)動直線與圓錐曲線的兩個交點,記為A(x1,y1),B(x2,y2),然后將動直線與圓錐曲線聯(lián)立方程組,得到韋達(dá)定理的結(jié)果,再把目標(biāo)問題的代數(shù)形式化簡成便于運用韋達(dá)定理的形式.在解題過程中,設(shè)兩個交點的坐標(biāo),但不求出任一交點坐標(biāo)的具體形式,故此種解法稱為“設(shè)而不求”.

“設(shè)而不求”的核心手段在于韋達(dá)定理,從韋達(dá)定理的形式x1+x2,x1x2(y1+y2,y1y2,x1y2+x2y1等皆是韋達(dá)定理的變形)知,x1與x2要保持某種對稱性,這里的對稱性指的是A與B兩點的“地位”相同,即在題目中對A，B兩點的操作相仿且在目標(biāo)問題中代數(shù)式可轉(zhuǎn)化為韋達(dá)定理的表達(dá)形式.在實際問題中,這兩點要求通常是同時滿足或同時不滿足,故只需對其中一個要求進(jìn)行判斷即可.但值得注意的是,前者要求容易判斷但主觀性強(qiáng),而后者略難判斷但更客觀,所以選擇哪一個要求判斷需要讀者自己斟酌.值得一提的是,若通過前者確定了選用“設(shè)而不求”的方法,就可以引導(dǎo)學(xué)生將目標(biāo)問題的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化成運用韋達(dá)定理的表達(dá)形式.

“設(shè)而不求”方法的意義不僅在于簡化計算,而且能夠讓學(xué)生以全局的視角來思考數(shù)學(xué)問題,提升學(xué)生的邏輯推理核心素養(yǎng).

“直接求”的方法,顧名思義,是先設(shè)未知數(shù),然后通過聯(lián)立圓錐曲線、利用題目所給條件等,將目標(biāo)問題中的要求信息用所設(shè)的未知數(shù)表示出來的方法.“直接求”是一種解題線索較為清晰的“拼圖式”方法,因為題中出現(xiàn)的重要的點和線可以通過所設(shè)未知數(shù)表示出來,故稱為“直接求”方法.

“直接求”的核心思想在于由點及面,因為它是通過所設(shè)的未知數(shù)展開,利用題中條件來直接表示出各點與直線.值得注意的是,“直接求”方法的重中之重在于設(shè)未知數(shù),因為題中的各個重要的點、直線等信息都將用這個未知數(shù)表示,同時所設(shè)未知數(shù)要盡量少,因為“多則生亂”,故未知數(shù)的選取決定計算量.

要確定最優(yōu)的設(shè)法,必須從目標(biāo)問題的角度考慮,由果溯因,從中找出需要得到的信息,然后比較哪一種設(shè)法能最快得出所要求的信息,使計算量降到最小.通常情況下,所設(shè)的未知數(shù)與動直線有關(guān).

“直接求”方法的價值在于解題思路清晰,讓學(xué)生反向出發(fā),由果溯因,同時培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).

綜上,解決動直線背景下的圓錐曲線問題,運用“設(shè)而不求”或“直接求”的思路解題,其思維導(dǎo)圖如下(注：其中的要求1：題目中對動直線與圓錐曲線的交點A，B的操作相仿；要求2：在目標(biāo)問題中的代數(shù)式可轉(zhuǎn)化為韋達(dá)定理的表達(dá)形式)：

三、應(yīng)用舉例與思路闡述

例2(2018年全國高考題題)設(shè)拋物線C:y2=2x,點A(2,0),B(-2,0),過點A的直線l與C交于M,N兩點.

(1)當(dāng)l與x軸垂直時,求直線BM的方程;

(2)證明:∠ABM=∠ABN.

例3(2018年北京高考題)已知拋物線C:y2=2px經(jīng)過點P(1,2).過點Q(0,1)的直線與拋物線C有兩個不同的交點A,B,且直線PA交y軸于點M,直線PB交y軸于點N.

(1)求直線l的斜率的取值范圍;

解析(1)(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1)(過程略)

(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè)過點A的直線l與橢圓交于點B(B不在x軸上),垂直于l的直線與l交于點M,與y軸交于點H.若BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO，求直線l的斜率取值范圍.

四、結(jié)論與建議

至此,本文介紹了以動直線為背景的圓錐曲線問題的解題策略,通過閱讀題目，從巧妙設(shè)置變量、分析目標(biāo)問題，雙向出發(fā),回答了“從何處下手”和“向何處前進(jìn)”的問題.本文更像是一篇指導(dǎo),引導(dǎo)學(xué)生的解題思路,避免陷入題海.因為數(shù)學(xué)解題杜絕拿筆就寫,而是要先理解題目,思考題中條件與目標(biāo)之間的內(nèi)在聯(lián)系.當(dāng)然,若是作為壓軸題出現(xiàn)的圓錐曲線問題,扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與清晰的解題思路缺一不可,如此才能在解題中游刃有余.