高二數(shù)學(xué)測(cè)試

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，計(jì)40分)

1. 甲、乙、丙三人到三個(gè)景點(diǎn)旅游,每人只去一個(gè)景點(diǎn),設(shè)事件A為“三個(gè)人去的景點(diǎn)不相同”,事件B為“甲獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”,則概率P(A|B)等于( )

2.已知空間三點(diǎn)O(0，0，0)，A(-1，1，0)，B(0，1，1)，在直線OA上有一點(diǎn)H滿足BH⊥OA,則點(diǎn)H的坐標(biāo)為( )

(C)(-2,2,0) (D)(2,-2,0)

3.2020年?yáng)|京夏季奧運(yùn)會(huì)設(shè)置4×100米男女混合泳接力這一新的比賽項(xiàng)目,比賽的規(guī)則是:每個(gè)參賽國(guó)家派出2男2女共計(jì)4名運(yùn)動(dòng)員比賽,按照仰泳→蛙泳→蝶泳→自由泳的接力順序,每種泳姿100米且由一名運(yùn)動(dòng)員完成,每個(gè)運(yùn)動(dòng)員都要出場(chǎng),中國(guó)隊(duì)確定了備戰(zhàn)該項(xiàng)目的4名運(yùn)動(dòng)員名單,其中女運(yùn)動(dòng)員甲只能承擔(dān)仰泳或者自由泳,男運(yùn)動(dòng)員乙只能承擔(dān)蝶泳或自由泳,剩下的男女各一名運(yùn)動(dòng)員則四種泳姿都可以上,那么中國(guó)隊(duì)共有布陣的方式( )

(A)6種 (B)12種

(C)24種 (D)144種

(A)(1，-1，1) (B)(-1,1,1)

(C)(1,-1,2) (D)(-1,1,2)

(A)(1,1,1) (B)(-1,1,1)

(C)(1,-1,1) (D)(1,1,-1)

7.某高中期中考試需要考查九個(gè)學(xué)科(語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、生物、物理、化學(xué)、政治、歷史、地理),已知語(yǔ)文考試必須安排在首場(chǎng),且物理考試與英語(yǔ)考試不能相鄰,則這九個(gè)學(xué)科不同的考試順序共有( )種

8.如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AD=1，AA1=1,∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，則線段AC1的長(zhǎng)為( )

二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,每小題5分,計(jì)20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分)

9.為了解目前全市高一學(xué)生身體素質(zhì)狀況,對(duì)某校高一學(xué)生進(jìn)行了體能抽測(cè),得到學(xué)生的體育成績(jī)X～N(70，100),其中60分及以上為及格,90分及以上為優(yōu)秀,則下列說(shuō)法正確的是( )

附:若X～N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X<μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ≤X<μ+2σ)=0.954 4

(A)該校學(xué)生體育成績(jī)的方差為10

(B)該校學(xué)生體育成績(jī)的期望為70

(C)該校學(xué)生體育成績(jī)的及格率不到85%

(D)該校學(xué)生體育成績(jī)的優(yōu)秀率超過(guò)4%

10.已知空間中三點(diǎn)A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(-1，3，1)，則下列說(shuō)法不正確的是( )

(D)平面ABC的一個(gè)法向量是(1，-2，5)

11.下列問(wèn)題中是排列問(wèn)題的是( )

(A)從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名分別參加數(shù)學(xué)、物理興趣小組

(B)從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩人參加一項(xiàng)活動(dòng)

(C)從a,b,c,d中選出3個(gè)字母

(D)從1,2,3,4，5這五個(gè)數(shù)字中取出2個(gè)數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù)

12.下列說(shuō)法正確的是( )

(A)點(diǎn)P(-1，2，3)關(guān)于xOy平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是P(1，-2，3)

(B)若{a,b,c}為空間中一組基底,則{a+b,a-b,c}可構(gòu)成空間另一組基底

三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,計(jì)20分)

14.空間直角坐標(biāo)系中,兩平面α與β分別以n1=(2,1,1)與n2=(0,2,1)為其法向量，若α∩β=l,則直線l的一個(gè)方向向量為_(kāi)_____.(寫(xiě)出一個(gè)方向向量的坐標(biāo))

15.假設(shè)某次數(shù)學(xué)測(cè)試共有20道選擇題,每題都給了4個(gè)選項(xiàng)(其中有且僅有一個(gè)是正確的).評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定:每題只選1項(xiàng),答對(duì)得5分,否則得0分.某考生每道題都給出了答案,并且會(huì)做其中的12道題,其他試題隨機(jī)答題,則他的得分X的方差D(X)=______.

四、解答題(本大題共6小題,計(jì)70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分)已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2).

(1)若(a+kb)∥(2a+b)，求實(shí)數(shù)k;

(2)若向量a+kb與2a+b所成角為銳角，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

18.(本小題滿分12分)已知1 500件產(chǎn)品中有100件不合格品,從中抽取15件進(jìn)行檢查,用隨機(jī)變量X表示取出的15件產(chǎn)品中不合格品的件數(shù).試求:

(1)X的分布列;

(2)X的均值E(X).

19.(本小題滿分12分)已知向量a=(2,1,-2),c=(-1,0,1),若向量b同時(shí)滿足①a·b=-1;②|b|=3;③b與c垂直.

(1)求向量b的坐標(biāo)；

20.(本小題滿分12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,?PAD是等腰三角形,AB=2AD，E是AB的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)A)，CE與DA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連結(jié)PF.

(1)求直線PD與EF所成角的余弦值；

(2)求二面角A-PE-F的正切值.

21.(本小題滿分12分)當(dāng)前,以“立德樹(shù)人”為目標(biāo)的課程改革正在有序推進(jìn).高中聯(lián)招對(duì)初三畢業(yè)學(xué)生進(jìn)行體育測(cè)試,是激發(fā)學(xué)生、家長(zhǎng)和學(xué)校積極開(kāi)展體育活動(dòng),保證學(xué)生健康成長(zhǎng)的有效措施.鄭州市2018年初中畢業(yè)生升學(xué)體育考試規(guī)定,考生必須參加立定跳遠(yuǎn)、擲實(shí)心球、1分鐘跳繩三項(xiàng)測(cè)試,三項(xiàng)考試滿分為50分,其中立定跳遠(yuǎn)15分,擲實(shí)心球15分,1分鐘跳繩20分.某學(xué)校在初三上期開(kāi)始時(shí)要掌握全年級(jí)學(xué)生每分鐘跳繩的情況,隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試,得到下邊頻率分布直方圖,且規(guī)定計(jì)分規(guī)則如下表:

每分鐘跳繩個(gè)數(shù)[155,165)[165,175)[175,185)[185,+∞)得分17181920

(1)現(xiàn)從樣本的100名學(xué)生中，任意選取2人，求兩人得分之和不大于35分的概率；

(2)若該校初三年級(jí)所有學(xué)生的跳繩個(gè)數(shù)X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計(jì)總體的期望和方差，已知樣本方差S2≈169(各組數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值代替).根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn)，該校初三年級(jí)學(xué)生經(jīng)過(guò)一年的訓(xùn)練，正式測(cè)試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)都有明顯進(jìn)步，假設(shè)今年正式測(cè)試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)比初三上學(xué)期開(kāi)始時(shí)個(gè)數(shù)增加10個(gè)，現(xiàn)利用所得正態(tài)分布模型：

(i)預(yù)估全年級(jí)恰好有2 000名學(xué)生時(shí),正式測(cè)試每分鐘跳182個(gè)以上的人數(shù);(結(jié)果四舍五入到整數(shù))

(ii)若在全年級(jí)所有學(xué)生中任意選取3人,記正式測(cè)試時(shí)每分鐘跳195個(gè)以上的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和期望.

附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ

P(μ-2σ

P(μ-3σ

22.(本小題滿分12分)在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為A1B1,CD的中點(diǎn).

(2)求直線EC與AF所成角的余弦值；

(3)求面AFE和面AFB夾角的余弦值.

參考答案

一、單項(xiàng)選擇題

1.C;2.B;3.A;4.D;5.B;

6.A;7.C;8.C.

二、多項(xiàng)選擇題

9.BC;10.ABC;11.AD;12.BC.

三、填空題

四、解答題

(2)因?yàn)閍+kb與2a+b所成角為銳角，所以由(1)可得(a+kb)·(2a+b)=(1-k,1,2k)·(1,2,2)=1-k+2+4k>0,解得k>-1.

X01…k…15PC015×1415()15C115×115()×1415()14…Ck15×115()k×1415()15-k…C1515×115()15

又σ2≈169,σ=13,所以正式測(cè)試時(shí)，μ=196，σ=13,得μ-σ=182.

(ii)由正態(tài)分布模型，從全年級(jí)所有學(xué)生中任取1人，每分鐘跳繩個(gè)數(shù)195以上的概率為0.5,即ξ～B(3,0.5).

ξ0123P0.1250.3750.3750.125

E(ξ)=3×0.5=1.5.

22.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則題設(shè)點(diǎn)A(2，0，0)，F(xiàn)(0，1，0)，C(0，2，0)，E(2，1，2).

(1)由CE=(2，-1，2)，得

(3)平面AFB的一個(gè)法向量為n1=(0,0,1).