高三數(shù)學(xué)綜合測試

一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，計40分)

1. 已知集合A={1,3,4,5},B={x∈Z|x2-4x-5<0},則A∩B的子集個數(shù)為( )

(A)2 (B)4 (C)8 (D)16

2. 已知函數(shù)g(x)=3x+t的圖象不經(jīng)過第二象限,則t的取值范圍為( )

(A)t≤-1 (B)t<-1

(C)t≤-3 (D)t≥-3

3. 在一組樣本數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)散點圖中,若所有樣本點(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直線y=-3x+1上,則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為( )

(A)-3 (B)0 (C)-1 (D)1

5. 如圖是當σ取三個不同值σ1,σ2,σ3時的三種正態(tài)曲線,那么σ1,σ2,σ3的大小關(guān)系是( )

(A)σ1>σ3>σ2>0

(B)0<σ1<σ3<σ2

(C)σ1>σ2>σ3>0

(D)0<σ1<σ2<σ3

7. 雙曲線C的左、右焦點分別為F1,F2,且F2恰好為拋物線y2=4x的焦點,設(shè)雙曲線C與該拋物線的一個交點為A,若|AF2|=|F1F2|,則雙曲線C的離心率為( )

(A)3 (B)2 (C)1 (D)0

二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,計20分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求,全選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)

9. 在某次高中學(xué)科知識競賽中,對4 000名考生的參賽成績進行統(tǒng)計,可得到如圖所示的頻率分布直方圖,其中分組的區(qū)間為[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],60分以下視為不及格.若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值作代表值,則下列說法中正確的是( )

(A)成績在[70,80)的考生人數(shù)最多

(B)不及格的考生人數(shù)為1 000

(C)考生競賽成績的平均分約為70.5分

(D)考生競賽成績的中位數(shù)為75分

11. 在?ABC中,D,E,F分別是邊BC,AC,AB的中點,下列說法正確的是( )

12. 意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時,發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù):1,1,2,3,5,8,…,該數(shù)列的特點是:前兩個數(shù)均為1,從第三個數(shù)起,每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列{fn}稱為斐波那契數(shù)列. 并將數(shù)列{fn}中的各項除以4所得余數(shù)按原順序構(gòu)成的數(shù)列記為{gn},則下列結(jié)論正確的是( )

(A)g2 019=2

(C)g1+g2+g3+…+g2 019=2 688

三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,計20分)

13. 已知(ax2-1)7(a>0)的展開式中第6項的系數(shù)為-189,則展開式中各項的系數(shù)和為______.

14. 已知一袋中有標有號碼1，2，3，4的卡片各一張,每次從中取出一張,記下號碼后放回,當四種號碼的卡片全部取出時即停止,則恰好取6次卡片時停止的概率為______.

15. 已知直線y=2x+1與圓x2+y2+ax+2y+1=0交于A，B兩點,直線mx+y+2=0垂直平分弦AB,則m的值為______,弦AB的長為______.

16. 在三棱錐A-BCD中,AB=AC,DB=DC,AB+DB=4,AB⊥BD,則三棱錐A-BCD外接球的體積的最小值為______.

四、解答題(本大題共6小題,計70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

(1)若∠BAD=60°,求∠ADC的大小;

18.(本小題滿分12分)已知{an}為正項等比數(shù)列,a1=1;數(shù)列{bn}滿足b2=3,a1b1+a2b2+…+anbn=3+(2n-3)2n.

(1)求an;

(1)證明:BM⊥PC;

(2)求直線AB和平面PBC所成角的正弦值.

20.(本小題滿分12分)為了增強學(xué)生的冬奧會知識,弘揚奧林匹克精神,北京市多所中小學(xué)校開展了模擬冬奧會各項比賽的活動.為了了解學(xué)生在越野滑輪和旱地冰壺兩項中的參與情況,在北京市中小學(xué)學(xué)校中隨機抽取了10所學(xué)校,10所學(xué)校的參與人數(shù)如下:

(1)現(xiàn)從這10所學(xué)校中隨機選取2所學(xué)校進行調(diào)查.求選出2所學(xué)校參與越野滑輪人數(shù)都超過40人的概率;

(2)現(xiàn)有一名旱地冰壺教練在這10所學(xué)校中隨機選取2所學(xué)校進行指導(dǎo),記X為教練選中參加旱地冰壺人數(shù)在30人以上的學(xué)校個數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(3)某校聘請了一名越野滑輪教練,對高山滑降、轉(zhuǎn)彎、八字登坡滑行這3個動作進行技術(shù)指導(dǎo).規(guī)定:這3個動作中至少有2個動作達到“優(yōu)”,總考核記為“優(yōu)”.在指導(dǎo)前,該校甲同學(xué)3個動作中每個動作達到“優(yōu)”的概率為0.1.在指導(dǎo)后的考核中,甲同學(xué)總考核成績?yōu)椤皟?yōu)”.能否認為甲同學(xué)在指導(dǎo)后總考核達到“優(yōu)”的概率發(fā)生了變化?請說明理由.

(1)求橢圓E方程;

22.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2(a∈R).

(1)若曲線f(x)與直線l:y=(e-2)x+b(b∈R)在x=1處相切.

(i)求a+b的值;

(ii)求證:當x≥0時,f(x)≥(e-2)x+b;

(2)當a=0且x∈(0,+∞)時,關(guān)于的x不等式x2f(x)≤mx+2lnx+1有解,求實數(shù)m的取值范圍.

參考答案

一、單項選擇題

1.C;2.A;3.C;4.D;5.D;

6.B;7.A;8.D.

二、多項選擇題

9.ABC; 10.BD; 11.BCD; 12.AB.

三、填空題

四、解答題

17.(1)由∠BAD=60°,∠BAC=90°,可得∠DAC=30°.

又∠BAD=60°,故∠ADC=120°.

(2)當n≥2時,a1b1+a2b2+…+an-1bn-1=3+[2(n-1)-3]2n-1,而a1b1+a2b2+…+anbn=3+(2n-3)2n,兩式相減,得anbn=(2n-1)2n-1.又an=2n-1,所以bn=2n-1.

n=1時也成立,所以bn=2n-1(n∈N*).

由AB=BC,E為BC的中點,得BE⊥AC.又平面PAC⊥平面ABC,交線為AC,BE?平面ABC,所以BE⊥平面PAC.又PC?平面PAC,所以BE⊥PC.

又ME∩BE=E,所以PC⊥平面MBE.由BM?平面MBE,得PC⊥BM.

(2)由(1)知PC⊥平面MBE.因為PC?平面PBC,所以平面MBE⊥平面PBC.

過點E作EH⊥MB于點H,由平面MBE∩平面PBC=MB,EH?平面MBE,得EH⊥平面PBC.所以,EH是點E到平面PBC的距離.

(2)X的所有可能取值為0,1,2,參加旱地冰壺人數(shù)在30人以上的學(xué)校共4所.

X012 P13815215

(3)答案不唯一.

22.(1)(i)f′(x)=ex-2ax,依題意可得f′(1)=e-2a=e-2,解得a=1.所以f(x)=ex-x2.

由f(1)=e-1,切點(1,e-1)在直線l上,所以e-1=e-2+b,得b=1.所以a+b=2.

(ii)由(i)知a=1,b=1,可設(shè)h(x)=ex-x2-(e-2)x-1(x≥0),則g(x)=h′(x)=ex-2x-(e-2),g′(x)=ex-2.當xln 2時,g′(x)>0,h′(x)在(ln 2,+∞)單調(diào)增.

因為h′(0)=3-e>0,h′(1)=0,00,當x∈(x0,1)時,h′(x)<0,所以h(x)在(0,x0)單調(diào)增,在(x0,1)單調(diào)減,在(1,+∞)單調(diào)增.

因為h(0)=h(1)=0,所以h(x)≥0,即f(x)≥(e-2)x+1,當且僅當x=1時取等號.故當x≥0時,f(x)≥(e-2)x+b.

(3)先證ex≥x+1. 構(gòu)造函數(shù)p(x)=ex-x-1,則p′(x)=ex-1,當x∈(0,+∞)時,p′(x)>0,p(x)單調(diào)增;當x∈(-∞,0)時,p′(x)<0,p(x)單調(diào)減.所以p(x)≥p(0)=0,即ex≥x+1.