多種方法解一道高考向量平行問題

蘇保明

(云南省紅河州蒙自市蒙自一中新校區(qū) 661100)

在平面向量中有一類關(guān)于兩個向量平行(或共線)的問題，常常出現(xiàn)在高考真題中，其題目簡單樸實，解題思路卻靈活多樣，求解過程妙趣橫生，能更好地考查學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決具體問題的能力，本文列舉一道2016年的高考題介紹一題多解.

題目(2016年高考新課標(biāo)Ⅱ卷文科數(shù)學(xué))已知向量a=(m,4),b=(3,-2)且a∥b，則m=________.

這是一道以向量知識為背景的選擇題，雖然試題內(nèi)容樸實、形式平和，但解題方法靈活巧妙.如果我們略加思考，進(jìn)行追本溯源，那么此高考題的根源來于“普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修4(人教版)”中的三個例(習(xí))題：

(1)P98例6：已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b，求y.

(2)P101習(xí)題2.3A組5：n為何值時，a=(2,3)與b=(x,-6)共線？

(3)P118復(fù)習(xí)參考題A組8：n為何值時，向量a=(n,1)與b=(4,n)共線且方向相同？

經(jīng)過筆者的認(rèn)真思考和研究，給出上述高考題的幾種解法.

方法一：利用向量平行的坐標(biāo)公式

思路點撥利用向量平行的坐標(biāo)公式：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),則a∥b的充要條件是x1y2-x2y1=0.

解法1 因為a=(m,4),b=(3,-2) 且a∥b，

所以(-2)×m-3×4=0，所以m=-6.故填：-6.

評注利用向量平行的坐標(biāo)公式解決向量平行問題，是最基本的常規(guī)解法，屬于通性通法.此法通俗易懂，務(wù)必熟練掌握.

方法二：利用向量共線定理

思路點撥利用向量共線定理：向量a與b(b≠0)共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一實數(shù)λ，使a=λb.

解法2 因為a∥b，且b≠0,

所以當(dāng)且僅當(dāng)存在實數(shù)λ,使a=λb.

故填：-6.

評注向量共線定理是解決一切向量共線問題的最有效的方法，對于較為復(fù)雜的問題也不失為一種好方法，只有掌握其本質(zhì)，才能運(yùn)用自如.

方法三：利用直線的斜率

思路點撥如果同一平面內(nèi)的三點共線，并且任意兩點所在直線的斜率存在，那么任意兩點所在直線的斜率相等.

解法3 設(shè)a和b的始點都是原點O(0,0)，則a和b的終點分別是A(m,4),B(3,-2).

因為a∥b，且有公共始點O，所以直線OA與直線OB重合,

評注把向量平行問題轉(zhuǎn)化為向量所在直線平行(或共線)問題，利用斜率相等解決向量平行問題，不失為一種靈活的解題方法.

方法四：利用點與直線的位置關(guān)系

思路點撥如果同一平面內(nèi)的三點共線，那么任意兩點所在直線經(jīng)過第三點.

解法4 設(shè)a和b的始點都是原點O(0,0)，則a和b的終點分別是A(m,4),B(3,-2).

因為a與b共線，且有公共始點O，所以點O、A、B三點共線.

因為點B(3,-2)在直線OA上,

解得m=-6.故填:-6.

評注借用三點共線的特殊情形“任意兩點所在直線經(jīng)過第三點”這一結(jié)論，巧妙地與向量平行“牽手”求出m的值，從而進(jìn)一步證實了向量平行問題與直線平行(或共線)問題的內(nèi)在關(guān)系和緊密聯(lián)系.

方法五：利用點到直線的距離

思路點撥如果同一平面內(nèi)的三點共線，那么任意一點到另外兩點所在直線的距離等于0.

解法5 設(shè)a和b的始點都是原點O(0,0)，則a和b的終點分別是A(m,4),B(3,-2),

因為a與b共線，且有公共始點O，所以點O、A、B三點共線，

所以點B到直線OA的距離為

所以|12+2m|=0，解得m=-6.故填：-6.

評注借助三點共線的巧妙方法“任意一點到另外兩點所在直線的距離等于0”，巧妙地與向量平行“聯(lián)手” 求出m的值，此法需要同學(xué)們在平時的解題過程中加以分析、思考和歸納總結(jié)，解題時才能運(yùn)用自如.

方法六：利用兩直線重合的內(nèi)在關(guān)系

思路點撥如果同一平面內(nèi)的三點共線，那么任意兩點所在直線的未知數(shù)的系數(shù)分別對應(yīng)相等，且常數(shù)項對應(yīng)相等.

解法6 設(shè)a和b的始點都是原點O(0,0)，則a和b的終點分別是A(m,4),B(3,-2)

因為a與b共線，且有公共始點O，所以點O、A、B三點共線，

因為直線OA與直線OB重合，所以未知數(shù)x與y的系數(shù)分別相等，

所以-m=6，即m=-6.故填：-6.

評注借助兩直線平行的內(nèi)在關(guān)系“未知數(shù)x與y的系數(shù)分別相等，常數(shù)項對應(yīng)相等”這一關(guān)系，巧妙地與向量平行“聯(lián)姻” 求出m的值，此法靈活性較強(qiáng)，需要熟練掌握，才能巧妙運(yùn)用.

參考文獻(xiàn)：

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書(必修)數(shù)學(xué)4(A版)[M].北京:人民教育出版社，2014.