幾個(gè)典型問(wèn)題的復(fù)數(shù)表示

程曉亮　車(chē)明剛

復(fù)平面上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，從而，復(fù)數(shù)為中學(xué)平面幾何的證明提供了新的視覺(jué)，即平面幾何中的問(wèn)題都能用復(fù)數(shù)方法加以證明.在平面幾何問(wèn)題的證明中恰當(dāng)穿插復(fù)數(shù)方法能夠化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，使問(wèn)題的解決更加方便.下面給出三點(diǎn)共線和四點(diǎn)共圓的復(fù)數(shù)表示，直觀地說(shuō)明托勒密定理.

1.三點(diǎn)共線問(wèn)題

給定復(fù)平面上互不相同的三點(diǎn)z1，z2，z3，試確定它們共線的充分必要條件.

解顯然互不相同的三點(diǎn)z1，z2，z3共線的充分必要條件是向量z1z3和z2z3同向或者反向共線，所以它們的幅角相差π的整數(shù)倍.即這樣就得到了托勒密定理.

托勒密定理是平面幾何中基本的定理，從它出發(fā)可以推出正、余弦的和差公式及一系列三角恒等式……順便指出，復(fù)平面上圓的一般方程可以表示為

azz-+bz-+b-z+c=0，

其中a，c為實(shí)數(shù)，a≠0，b為復(fù)數(shù)，并且|b|2-ac>0.

標(biāo)準(zhǔn)方程（z-a）（z-a）=r，其中復(fù)數(shù)a為圓心所在的點(diǎn)，實(shí)數(shù)r為圓的半徑.利用這兩個(gè)方程對(duì)于求解某些與圓相關(guān)的問(wèn)題也會(huì)收到意想不到的效果.