中考熱點(diǎn)“三點(diǎn)共線”的初高中證法11例*

黃聯(lián)輝

(福建省德化第三中學(xué)，362500)

一、從初中的視角證明“三點(diǎn)共線”

方法1利用平角的定義證三點(diǎn)共線

例1如圖1,在?ABC中,延長(zhǎng)兩邊的中線BD，CE到點(diǎn)F，G,使DF=BD,EG=CE,求證:G，A，F(xiàn)三點(diǎn)共線.

分析要證明G，A，F(xiàn)三點(diǎn)共線,可證明∠FAC+∠BAC+∠GAB=180°.

由于BD=DF,AD=CD,連結(jié)CF,則四邊形ABCF為平行四邊形,AF∥BC,∠FAC=∠ACB.

同理∠GAB=∠ABC.

∴∠FAC+∠BAC+∠GAB=∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°.

說(shuō)明用平角的定義是證明“三點(diǎn)共線”使用頻率最高的、最大眾、最主流的方法.

方法2先求其中兩點(diǎn)所在直線的解析式,再驗(yàn)證第三點(diǎn)也在該直線上,證明三點(diǎn)共線.

所以,點(diǎn)B在直線CO上,即C，O，B三點(diǎn)共線.

說(shuō)明此方法比較適用于帶參數(shù)的函數(shù),但此法對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力的要求較高,關(guān)鍵是“消參”.

方法3利用“過(guò)直線外一點(diǎn)有且僅有1條直線與已知直線平行(或垂直)”證三點(diǎn)共線

例3如圖3,在?ABC中,M為BC的中點(diǎn),AD為∠BAC的平分線,CD⊥AD于點(diǎn)D,AE是∠BAC的外角∠CAK的平分線,CE⊥AE于點(diǎn)E,CD和CE的延長(zhǎng)線分別交射線BA于點(diǎn)H，K.求證:M，D，E三點(diǎn)共線.

證明∵AD為∠BAC的平分線,CD⊥AD.

∴CD=DH.

∵M(jìn)為BC的中點(diǎn), ∴DM∥AB,

同理可證DE∥AB,M，D，E三點(diǎn)共線.

說(shuō)明要證D，E，M三點(diǎn)共線,AD為∠BAC的平分線,CD⊥AD,可證D是CH的中點(diǎn),M為BC的中點(diǎn),所以DM∥AB,同理DE∥AB,所以D，E，M三點(diǎn)共線,其依據(jù)是“過(guò)直線外一點(diǎn)有且僅有1條直線與已知直線平行”這一基本事實(shí).

方法4利用“較短兩邊之和等于最長(zhǎng)邊”證三點(diǎn)共線

例4如圖4,在等腰?ABC和等腰?ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,過(guò)點(diǎn)A作線段AM⊥DE于點(diǎn)M,連結(jié)CM.若BD+DM=CM,求證:C，E，D三點(diǎn)共線.

證明∵?ADE為等腰三角形,AM⊥DE,DM=ME,

∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,∠CAE=∠BAD,

∴?BAD≌?CAE,∴BD=CE,

∴BD+DM=CM.

∵CE+DM=CE+ME=CM,

∴C，E，D三點(diǎn)共線.

說(shuō)明此方法比較適用于研究三條線段之間的大小關(guān)系的題型.

方法5用“同一法”證三點(diǎn)共線

例如圖5,⊙O1與⊙O2相交于A，B兩點(diǎn),公切線切兩圓于C，D兩點(diǎn),M為CD的中點(diǎn),求證:A，B，M三點(diǎn)共線.

分析可連結(jié)AB并延長(zhǎng)交CD于M′,再利用切割線定理證明M′與M重合,則點(diǎn)M在AB的延長(zhǎng)線上,即A，B，M三點(diǎn)共線.

證明連結(jié)BA,并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)M′.

∵CD是⊙O1與⊙O2的公切線,

∴CM′2=AM′·BM′,M′D2=AM′·BM′.CM′=DM′.

即M′是CD的中點(diǎn), 又M是CD的中點(diǎn),

∵M(jìn)′與M重合,即M在BA延長(zhǎng)線上,

∴A，B，M三點(diǎn)共線.

說(shuō)明同一法最顯著的特點(diǎn)是——先假設(shè)一個(gè)新的點(diǎn),再證明新的點(diǎn)與原有的點(diǎn)重合(系同一點(diǎn)).

方法6利用“共邊同側(cè)等角線”證三點(diǎn)共線

∴tan∠BOM=tan∠DOH,∠BOM=∠DOH,

∴O,B,D三點(diǎn)共線.

說(shuō)明此方法涉及到角,因此經(jīng)常借助內(nèi)(外)角和定理或圓周角定理或三角函數(shù)的方法加以證明.

二、從高中的視角證明“三點(diǎn)共線”

方法7利用“點(diǎn)到直線的距離為零”證三點(diǎn)共線

例7平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(-1,0),B(0,1),C(1,2),試證:A，B，C三點(diǎn)共線.

說(shuō)明此方法要求熟記“點(diǎn)到直線的距離公式”,且通常在已知條件中有出現(xiàn)許多點(diǎn)的坐標(biāo).

方法8利用“兩直線的夾角為零度”證三點(diǎn)共線

例8平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(-1,0),B(0,1),C(1,2),試證:A，B，C三點(diǎn)共線.

說(shuō)明“有公共點(diǎn)的兩直線夾角為零度時(shí)則它們重合”是此證法的依據(jù)所在.

方法9利用向量平行的充要條件證三點(diǎn)共線

例9平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(-1,0),B(0,1),C(2,3),試證:A，B，C三點(diǎn)共線.

又線段AB和線段BC有公共點(diǎn)B,故有A，B，C三點(diǎn)共線.

說(shuō)明此法主要是用向量的充要條件加以證明.

方法10用梅涅勞斯定理的逆定理證三點(diǎn)共線

值得一提的是,該方法對(duì)于解初中數(shù)學(xué)的競(jìng)賽題較為適用,但中考或其他考試一般較少用得到.

說(shuō)明該方法對(duì)于解初中數(shù)學(xué)的競(jìng)賽題較為適用,一般中考題比較少用.

方法11利用線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式證明三點(diǎn)共線

例11平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(1,2),B(2,4),C(3,6),試證:A，B，C三點(diǎn)共線.

說(shuō)明運(yùn)用此證明方法時(shí),務(wù)必要牢記線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式,否則不可輕易使用.

值得一提的是,“三點(diǎn)共線”證明并不局限于以上的11種方法,還有許多其他的證法,比如,可以借助四點(diǎn)共圓、借助帕普斯定理、通過(guò)證三角形的面積為零等方式證明三點(diǎn)共線,限于篇幅,這里不一一列舉．