借題發(fā)揮 生長(zhǎng)思維
——一道課本習(xí)題的探究與拓展
2022-10-24 14:00:52項(xiàng)當(dāng)
初中數(shù)學(xué)教與學(xué) 2022年16期
項(xiàng) 當(dāng)
(湖北省武漢市光谷湯遜湖學(xué)校,430072)
一、原題呈現(xiàn)
人教版義務(wù)教育教科書,八年級(jí)下冊(cè)第63頁(實(shí)驗(yàn)與探究)
分析本題難點(diǎn)在于重疊部分面積是不規(guī)則四邊形,無法直接求解,結(jié)合正方形的性質(zhì),現(xiàn)給出如下兩種方法求解．
二、 一題多解探根源
解法1如圖2所示,可證?AOE≌?BOF,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為如圖3的面積.
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，
所以O(shè)A=OB∠OAE=∠OBF,∠AOB=90°.
又因?yàn)樗倪呅蜛1B1C1O為正方形，
所以∠A1OC1=90°，∠AOE=∠BOF.
所以?AOE≌?BOF，S?AOE=S?BOF,
所以SBEOF=S?BEO+S?BFO
=S?BEO+S?AOE
點(diǎn)評(píng)結(jié)合正方形的性質(zhì),將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積,進(jìn)而求解,本題也可證明?BEO≌?CFO,轉(zhuǎn)化為S?BOC.
解法2如圖4所示,過點(diǎn)O分別作OM⊥AB交AB于點(diǎn)M,作ON⊥BC交BC于點(diǎn)N,轉(zhuǎn)化為如圖5中的正方形MBNO的面積.
因?yàn)镺M⊥AB,ON⊥BC,
所以四邊形BMON為正方形,∠MON=90°，所以O(shè)M=ON.
因?yàn)?∠A1OC1=90°,
所以 ∠MOE=∠NOF,
所以?MOE≌?NOF,S?MOE=S?NOF.
所以SBEOF=SBMOF+S?MOE
=SBMOF+S?NOF
點(diǎn)評(píng)結(jié)合正方形的性質(zhì)及全等,將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積,進(jìn)而求解.
歸納1如圖6,對(duì)角互補(bǔ)模型
① 已知∠ABC=∠EOF=90°；
②BD平分∠ABC.
拓展:如圖7,點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上,
① 已知∠ABC=∠EDF=90°,
②BD平分∠ABC.
三、同源多解促思維
變式如圖9,正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,點(diǎn)O又是正方形A1B1C1O的一個(gè)頂點(diǎn),求證:OE=OF.
解法1(共點(diǎn)等邊旋轉(zhuǎn)全等),同前解法一.
解法2(見角平分線作雙垂直)同前解法二.
解法3如圖10,11，在AB上截取BH=BF.
可證?ADE′≌?CDF(SAS).
所以O(shè)H=OF,∠OHB=∠OFB;
因?yàn)?∠OFB+∠OEB=180°,
∠OHB+∠OHE=180°，
所以 ∠OEB=∠OHE，OH=OE=OF.
解法4如圖12,過點(diǎn)A作AN∥OF,過點(diǎn)C作CM∥OE(中位線定理).
因?yàn)镺是AC的中點(diǎn),AN∥OF,
可證?ABN≌?CBM(AAS),
所以AN=CM,OF=OE.
解法5如圖13,14，延長(zhǎng)FO交AD于點(diǎn)N，過N點(diǎn)作NM∥AB,延長(zhǎng)EO交CD于點(diǎn)G,過G點(diǎn)作GH∥BC(構(gòu)造正方形“十字架”)
可證?AOE≌?COG,得OE=OG.
同理ON=OF.
可證?EGH≌?FNM,
所以EG=NF,OF=OE.
解法6如圖15.連結(jié)EF,取EF的中點(diǎn)I,連接IB,IO(中線長(zhǎng)定理)
因?yàn)镮為EF的中點(diǎn),
所以IB=IE=IF,IO=IE=IF,IB=IO.
所以∠IOB=∠IBO,∠IEB=∠IBE.
所以∠OIE=2(∠IBO+∠IBE)=90°,
∠OEF=45°=∠OFE,OF=OE.
解法7如圖16,17，延長(zhǎng)FO交AD于點(diǎn)N,連結(jié)EN,EF(一線三垂直).
可證 ?ADN≌?CDF(ASA).
EO垂直平分FN,EN=EF.
設(shè)AB=k,AE=m,BF=n.
m2+(k-n)2=n2+(k-m)2,解得m=n.
所以AE=BF,∠EAN=∠FBE,
EB=NA,∴AEN≌?BFE，
?ENF為等腰直角三角形.
所以DF=DE.
歸納2如圖18,對(duì)角互補(bǔ)模型
① 已知∠ABC=∠EOF=90°；
②BD平分∠ABC，
結(jié)論:①OE=OF；
拓展:如圖19,點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上.
結(jié)論:①OE=OF；
三、結(jié)束語
教師要引導(dǎo)學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中,不僅要重視教材本身知識(shí)的學(xué)習(xí),還要學(xué)會(huì)將復(fù)雜圖形進(jìn)行“削枝剪葉留主干,追本溯源尋本質(zhì)”,要由淺入深,由繁到簡(jiǎn),循序漸進(jìn),形成一系列的問題串、方法鏈、知識(shí)網(wǎng)，從而激發(fā)他們學(xué)習(xí)興趣,提升數(shù)學(xué)思維能力.這樣，我們就能讓教材的使用更加有效,數(shù)學(xué)教學(xué)更加高效．
