妙用軸對稱 巧求最小值

鄺思穎 胡曉莉

(湖北省武漢市江漢大學(xué)人工智能學(xué)院,430056)

“將軍飲馬”問題是初中的一個重要的數(shù)學(xué)問題,解決“將軍飲馬”問題的關(guān)鍵是利用軸對稱,化曲為直,從而找到飲馬的最短路徑.與此類似,“兩定點一動點,求線段和最小值”和“一定點兩動點,求線段和最小值”兩類問題的解題關(guān)鍵同樣是利用軸對稱,化曲為直.在解決以上兩類問題的過程中,構(gòu)造對稱點可以使原問題得到等價轉(zhuǎn)化,化繁為簡,巧妙求得線段和最小值[1].本文將針對以上兩類問題,談?wù)勢S對稱的妙用.

1兩定點一動點

如圖1,已知一動點P在直線l上,定點A，B在直線l異側(cè),試求AP+BP的最小值.此時的解題關(guān)鍵是“兩點之間,線段最短”,由于AP+BP≥AB,所以線段AB的長度就是原問題的解[2].

如圖2,已知一動點P在直線l上,定點A，B在直線l同側(cè),試求AP+BP的最小值.這是典型的“將軍飲馬”問題,此時可作點B關(guān)于直線l的對稱點B′,把原問題中“定點A，B在直線l同側(cè)”轉(zhuǎn)化為“兩定點A，B′在直線l異側(cè)”的情況,根據(jù)“兩點之間,線段最短”,線段AB′的長度則為原問題的解.

例1如圖3,在等腰三角形ABC中,AC=BC=5,AB=4,BC的垂直平分線DE分別交BC，AC于點D，E.P為直線DE上一動點,?ABP周長的最小值為多少?

解如圖4,連結(jié)PC.

∵直線DE為BC的垂直平分線,且點P在DE上,

∴BP=PC,

∵AC=BC=5,AB=4,

∴?ABP的周長=AB+AP+BP=AB+AP+PC≥AB+AC=4+5=9,

∴三角形ABP周長的最小值為9.

評注本題屬于“兩定點一動點,求線段和最小值”類型的問題.雖然題中的定點A,B在直線DE的同側(cè),但是不難發(fā)現(xiàn),點C是點B關(guān)于直線DE的對稱點,因此可把AB+AP+BP的和轉(zhuǎn)化為AB+AP+CP的和,根據(jù)“兩點之間,線段最短”,線段AB與線段AC的和則為原問題的解.值得注意的是,本題中線段AC的長度屬于“隱藏”的已知條件.發(fā)現(xiàn)題目中的隱藏條件也是解題關(guān)鍵[3].

2.一定點兩動點

例2如圖5,正方形ABCD邊長為6,BD為正方形ABCD的對角線,DE為∠BDC的角平分線,點P，Q分別為線段BD，DE上的動點,PQ+BQ的最小值為______.

解如圖6,作點P關(guān)于DE的對稱點P′,連結(jié)P′Q，BP′.∵DE為∠BDC的角平分線,點Q在DE上,且點P，點P′關(guān)于DE對稱,∴PQ=P′Q,∴PQ+BQ=P′Q+BQ≥BP′,又∵BC⊥CD,所以BP′≥BC,即PQ+BQ=P′Q+BQ≥BP′≥BC=6.因此PQ+BQ的最小值為6.

“苦心人，天不負，臥薪嘗膽，三千越甲可吞吳?！痹酵豕篡`的事跡，婦孺皆知。越國兵敗，為了國家和百姓，他淪為階下囚。但他這并不是向命運低頭，而是為了以后的成功積蓄力量。他每天睡薪草，嘗苦膽，告誡自己不能松懈，告誡自己必須努力，于是他日復(fù)一日地勞作，虛心納賢，才有了“三千越甲吞吳”的奇跡。

評注本題屬于“一定點兩動點,求線段和最小值”類型的問題.解決本題的關(guān)鍵是利用軸對稱把PQ轉(zhuǎn)化為P′Q,即作點P關(guān)于線段DE的對稱點P′,根據(jù)“兩點之間,線段最短”,則有P′Q+BQ≥BP′.由于點到直線垂線段最短,所以BP′≥BC=6,所以BC的長即為原問題的解.與例1類似,本題中線段BC的長度同樣屬于“隱藏”的已知條件.

例3如圖7,已知正方形ABCD邊長為3,沿MN翻折后點B恰好落在直線CD上,求A′B+B′B的最小值.

解如圖8,連結(jié)AB′,作點B關(guān)于CD的對稱點K,連結(jié)CK，AK，B′K.

∵點B′和點B關(guān)于MN對稱,

∴MN為B′B的垂直平分線,

∴MN⊥B′B,

在?PNB′≌?PNB中,

∴∠PB′N=∠PBN.

∵∠A′B′N=∠ABN,

∴∠A′B′B=∠ABB′.

在?A′B′B和?ABB′中,

∴?A′B′B≌?ABB′(SAS),

∴A′B=AB′.

∵點K和點B關(guān)于CD對稱,即CD垂直平分線段BK,且點B′在CD上,

∴B′K=B′B.

∴A′B+B′B=AB′+B′K≥AK.

∵?ABK是直角三角形,且AB=BC=CK=3,即BK=2BC=6,

評注本題屬于“一定點兩動點,求線段和最小值”類型的問題.但本題需要對兩條線段分別進行轉(zhuǎn)化，所以,解決本題的關(guān)鍵是把A′B和B′B分別轉(zhuǎn)化為AB′和B′K.其中,要想把線段A′B轉(zhuǎn)化為AB′,可以采用證明三角形全等的方法進行轉(zhuǎn)化.而把B′B轉(zhuǎn)化為BK,則可通過構(gòu)造點B關(guān)于CD的對稱點K,利用軸對稱進行轉(zhuǎn)化.繼而根據(jù)“兩點之間,線段最短”,線段AK的長則為原問題的解.

本文從“將軍飲馬”問題出發(fā),討論了“兩定點一動點,求線段和最小值”和“一定點兩動點,求線段和最小值”兩類求線段最小值的問題的解題技巧.在解決這兩類問題的過程中,不妨采用構(gòu)造法,構(gòu)造一點關(guān)于某直線的對稱點,使問題得到等價轉(zhuǎn)化,從而化曲為直,化繁為簡.