對(duì)半角模型兩個(gè)重要結(jié)論的深入探究
——以2019年廣州中考第16題為例

劉玉清

(廣東省廣州市二中蘇元實(shí)驗(yàn)學(xué)校，510530)

一、試題呈現(xiàn)

① ∠ECF=45°;

③BE2+DG2=EG2;

其中正確的結(jié)論是______.(填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào))

二、試題分析

由題目條件,在這兩個(gè)三角形中,很容易看到以下三個(gè)條件，HF=BE,∠FHE=∠B=90°,AE+EB=AE+AH,即HE=AB=BC,所以?HFE≌?BCE,所以 ① ∠ECF=45°是正確的.

三、模型提煉

半角模型:如圖2(1),在正方形ABCD中,已知E,F分別是邊BC,CD上的點(diǎn),且滿足∠EAF=45°,AE,AF分別與對(duì)角線BD交于點(diǎn)M,N.

(1)求證:BE+DF=EF;

(2)如圖2(2),連結(jié)BD,交AE于點(diǎn)M,交AF于點(diǎn)N,求證:BM2+DN2=MN2.

分析證明線段和的常用辦法是截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)造全等,而本題中若想用過(guò)點(diǎn)A作EF垂線的方法來(lái)截長(zhǎng),并不能證得全等,所以改用補(bǔ)短法,如圖3，延長(zhǎng)EB至點(diǎn)F′,使得BF′=DF,連結(jié)AF′(也可以將?ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到?ABF′,再證明B,E,F′三點(diǎn)共線),可得?ADF≌?ABF′(SAS),由兩個(gè)三角形全等得出其對(duì)應(yīng)邊相等(AF′=AF′),對(duì)應(yīng)角相等(∠DAF=∠BAF′);由∠FAE=45°得出∠BAF′+∠BAE=∠DAF+∠BAE=45°,于是?AEF≌?AEF′(SAS),得到EF=BE+BF′=BE+DF,由上可知,兩次三角形全等可以證得這個(gè)線段和的結(jié)論.

對(duì)于第 ② 個(gè)結(jié)論,我們首先需要將?ADN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到?ABN′,從而?ADN≌?ABN′,對(duì)應(yīng)線段有DN=BN′,AN=AN′,對(duì)應(yīng)角有∠DAN=∠BAN′,∠ADN=∠ABN′=45°,如圖4，從而得到∠BAE+∠BAN′=∠BAE+∠DAN=45°,所以∠EAN′=∠EAN,于是得到第二組全等?AMN≌?AMN′,得到對(duì)應(yīng)線段MN=MN′,此時(shí)三條線段BM,MN,ND都已集中到一個(gè)三角形中,易證∠DBN=∠ABN′+∠ABD=90°,根據(jù)勾股定理就可以得出結(jié)論了.

四、模型應(yīng)用

看似簡(jiǎn)單的兩個(gè)結(jié)論,學(xué)生在題目的華麗包裝下,總有霧里看花的感覺(jué),有時(shí)難以回歸到問(wèn)題的本質(zhì),所以解決起來(lái)思路并不是很順暢．我們一起來(lái)探討一下下面的幾個(gè)典型例題.

分析∠GOD=45°這個(gè)條件如何用?45°很特殊,但是直線的位置不特殊,所以角度不好用,那么我們會(huì)思考:怎么將45°轉(zhuǎn)移到一個(gè)特殊位置呢?

將直線GH平移到特殊的位置,如圖6,或者將DE平移到特殊的位置,因?yàn)辄c(diǎn)D為正方形的頂點(diǎn),所以將直線GH平移到經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)半角模型就出現(xiàn)了,這是本題的難點(diǎn),接下來(lái)的解答就已經(jīng)順理成章了.

然后,設(shè)AE=x,BE=4-x,在Rt?EBM中,斜邊EM如何用未知數(shù)表示?根據(jù)半角模型結(jié)論 ①,可以得出EM=2+x,從而在Rt?BEN中由勾股定理列出方程，解出未知數(shù),求得結(jié)果.

從本題的解答來(lái)看,如何在條件的轉(zhuǎn)化過(guò)程中發(fā)現(xiàn)和構(gòu)造出半角模型很關(guān)鍵,最明顯的特征是直角頂點(diǎn)中處有45°的夾角.

經(jīng)典題2如圖7,正方形ABCD中,點(diǎn)E是AC上一點(diǎn),點(diǎn)F是EC的中點(diǎn),EP⊥AB于點(diǎn)P.

(1)連結(jié)DF,探究DF與PF的大小關(guān)系與位置關(guān)系;

(2)連結(jié)DP交AC于Q,求證:FQ2=AQ2+CF2.

分析第(1)問(wèn)觀察圖形中DF與PF的特點(diǎn),一般我們會(huì)得出的結(jié)論DF=PF,DF⊥PF,但是如何證明猜想呢?我們不妨想象,如果結(jié)論成立,連結(jié)DP,?DFP應(yīng)該是等腰直角三角形,F是EC的中點(diǎn)、PE⊥AP這兩個(gè)條件怎么用?由中點(diǎn)條件,我們常用方法是倍長(zhǎng)中線PF至FP′,如圖8,由倍長(zhǎng)中線作出輔助線得到?EPF≌?CP′F(SAS),證得P′在BC延長(zhǎng)線上,以及F為PP′中點(diǎn),再由PE⊥AP得到?APE為等腰直角三角形,所以AP=PE=P′C,從而證得?DAP≌?DCP′(SAS),再證得?P′DP為等腰直角三角形,根據(jù)等腰三角形的三線合一,得出結(jié)論.

第(1)問(wèn)提供半角模型所需要的∠FDP=45°,下面證法完全等同于半角模型結(jié)論 ② 的證明,也可以先由第(2)問(wèn)的結(jié)論,聯(lián)想到半角模型,從而得出第(1)問(wèn)要證明?DFP是等腰直角三角形.

經(jīng)典題3如圖9，已知在正方形ABCD中,AB=6,P為邊CD上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BD于點(diǎn)E,連結(jié)BP，O為BP的中點(diǎn),連結(jié)CO并延長(zhǎng)交BD于點(diǎn)F.

(1)連結(jié)OE,求證:OE⊥OC;

四、解題探究

從以上題目中,我們總結(jié)出以下三點(diǎn):

①明確半角模型的條件;

②熟練掌握半角模型的結(jié)論(還有很多結(jié)論,本文限于篇幅,只研究了這兩個(gè)結(jié)論);

③能夠?qū)︻}目條件進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化,從而發(fā)現(xiàn)半角模型.

熟練掌握初中平面幾何中的一些重要模型,比如“一線三等角”模型(在這組模型中,考查最多的是其中的三垂直模型,射影定理模型,這是相似模型中應(yīng)用最廣泛的模型之一),以及最近幾年中考的熱點(diǎn)問(wèn)題“定弦定角問(wèn)題”、“路徑旋縮問(wèn)題”等等．這些模型對(duì)幾何題的分析與解答很有幫助,但是知識(shí)的遷移能力需要一定的知識(shí)儲(chǔ)備和經(jīng)驗(yàn)積累．